小学四年级数学《倍数与因数：52的倍数探秘》教案-冀教版上册

小学四年级数学《倍数与因数：52的倍数探秘》教案——冀教版上册

一、教学内容分析

（一）教材定位与价值

本课“52的倍数探秘”是冀教版四年级数学上册第五单元《倍数和因数》的核心起始课。该单元是小学阶段首次系统建立数论概念，本课以具体数“52”作为认知锚点，引领学生从乘除运算意义迈向整数关系抽象。本课学习直接决定后续“2、3、5倍数特征”“质数与合数”“公倍数与约分”等知识的建构质量。教材在此处并未以专题形式呈现“52的倍数”，而是通过典型例题渗透倍数本质。本设计将隐性的知识线索显性化，用“52”贯穿全课，使学生经历“具体—抽象—具体”的完整数学化过程。【非常重要：本课是数论概念系统的逻辑起点，决定着学生能否建立正确的整数关系观】

（二）课标依据与核心素养

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第二学段要求：在具体情境中认识自然数之间的倍数关系，能找出10以内两个自然数的公倍数。本设计超越简单找倍数，以“52”为深度研究对象，精准落实核心素养：数感——通过数轴、实物卡片等多元表征感受52的倍数大小与疏密；量感——在采购、周期等真实任务中赋予倍数现实意义；推理意识——从若干个52的倍数中归纳共同特征，并运用特征进行判断；模型意识——用“52×n”概括所有52的倍数，建立乘法结构模型；抽象能力——从“几个52”过渡到“c是a的倍数”形式化定义。【热点：2022版课标核心素养导向下的深度学习设计】

（三）内容结构与逻辑关联

本课作为单元开启课，前承二年级“表内乘除法”中“几个几”的乘法意义，后启“2、5、3的倍数特征”“质数与合数”“公倍数与最小公倍数”。传统教学设计往往呈现“倍数定义—举例—练习”三段式，知识扁平化，缺乏思维纵深。本设计重构为“跨界唤醒—概念锚定—深度探究—特征聚焦—纵横关联—综合应用—总结升华”七阶探究链，以“52”为唯一核心案例，实现“小切口、大纵深”。【重要：大概念统摄下的单元整体教学，打破课时壁垒】

二、学情分析

（一）知识经验基础

四年级学生已能熟练进行两位数乘一位数、三位数乘两位数的笔算，能根据乘法口诀快速写出积，对“倍数”一词并非完全陌生——在生活语境中常听到“几倍”“翻倍”，在比较类应用题中接触过“甲是乙的几倍”。但此阶段学生对“倍”的理解多停留在“比较量÷标准量”的除法意义上，对“倍数”作为“一个数能被另一个数整除”的包含关系缺乏清晰认知，极易与“份数”“乘法结果”混为一谈。

（二）认知思维特征

该年龄段学生处于皮亚杰认知发展阶段理论中的具体运算阶段向形式运算阶段过渡期。他们对直观、可触摸、可操作的学习材料依赖性强，善于从大量具体例子中归纳共性，但归纳的严谨性不足，容易以偏概全。演绎推理能力开始萌芽，但需要教师提供清晰的推理支架（如“因为……所以……”句式）。本课以“52”这一具体、可感知的数作为全程载体，符合学生“从例中学”的认知规律。【基础：充分尊重儿童概念形成的心理路径】

（三）潜在困难与对策

【难点一】概念混淆：误认为“较大的数就是较小数的倍数”。对策：在定义辨析环节设计“反例轰炸”，如“100是52的倍数吗？虽然100比52大，但100÷52除不尽，所以不是。”

【难点二】有限性错觉：误认为一个数的倍数只有几个，写完几个就停止。对策：借助数轴无限延伸动画，引导学生用省略号、用语言描述“永远写不完”。

【难点三】关系割裂：能说出“156是52的倍数”，却不知道“52是156的因数”。对策：在纵横关联环节用双向箭头板书，创编关系儿歌，强化相互依存。

【难点四】特征泛化：发现52的倍数都是偶数后，误以为所有偶数都是52的倍数。对策：及时呈现反例（如100是偶数但不是52的倍数），修正认知边界。

三、教学目标

（一）知识与技能

1.结合具体实例，准确说出倍数的含义，能用自己的话解释“什么叫做一个数的倍数”。【基础】

2.能正确、有序地列举出52的倍数（至少前8个），并能用乘法算式或除法算式判断任意一个自然数是否是52的倍数。【重要】【高频考点】

3.知道一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。【核心结论】

4.初步感知倍数与因数的互逆关系，能在具体乘法算式中指出谁是谁的因数、谁是谁的倍数。【基础关联】

（二）过程与方法

5.通过“摆卡片—列算式—找规律—说特征”的探究活动，经历52的倍数特征的发现过程，培养合情推理与有条理表达的能力。【核心】

6.在小组共学中，倾听他人思路，辨析不同方法，发展批判性思维与协作能力。

7.借助数轴、表格等工具，初步感悟从有限到无限的极限思想。

（三）情感态度与价值观

8.在破解“52的倍数密码”过程中体验数学发现的好奇与乐趣，激发对整数性质的研究兴趣。

9.通过跨学科素材的浸润，体会数学是描述世界、创造秩序的通用语言，培育人文底蕴与科学精神。【跨学科意识】

四、教学重难点

【重点】理解倍数的本质含义，掌握求一个数的倍数的基本方法（乘法序列），并能正确判断。

【难点】理解倍数的无限性，并能从本质上辨析倍数与因数是一对相互依存的概念，不是孤立的标签。

【关键】以“52”作为贯穿全课的“大案例”，通过足够丰富的变式与反例，在具体与抽象之间反复穿梭，达成概念的深刻内化。

五、教学准备

教具：多媒体课件（内含52张扑克牌叠加动画、数轴动态跳跃、布依族人口地图、钢琴键盘示意图）；52张磁性圆片（每张代表1个单位）；板贴词条若干（“倍数”“因数”“52×n”“无限”等）。

学具：每组一张《52倍数解密探究单》，内设表格（序号、乘法算式、积、观察发现）；计算器（备选，用于验证大数）；红蓝双色马克笔。

环境布置：教室两侧墙壁悬挂“52文化墙”——扑克牌实物图、钢琴白键特写、52周日历页、布依族服饰纹样；后黑板留白区供学生贴便签。

六、教学实施过程

（本部分为全文核心，以七个层层递进的大环节、总计三十余个具体教学行为片段，全景呈现“52倍数探秘”的深度学习历程）

（一）跨界唤醒——情境导入，以“52”点燃认知冲突

1.跨学科素材沉浸式呈现

上课伊始，教师微笑环视全班，轻触屏幕，一段15秒的无声视频自动播放：第一帧，一副扑克牌扇形展开，特写牌背；第二帧，钢琴键盘黑白键交错，琴键上方浮现数字“52”；第三帧，翻页日历停在“第52周”；第四帧，中国地图上贵州黔南州闪烁，标注“布依族人口约52万”。音乐同步渐起，是布依族民歌《好花红》的钢琴改编版片段。教师不急于说话，任由视听信息流淌10秒，然后轻声发问：“这些画面里，藏着一个共同的数字——谁发现了它？”学生脱口而出“52！”。教师顺势将磁性黑板上方的课题“52的倍数探秘”几个大字揭去遮挡，全班齐读课题。【跨学科设计：数学与音乐、美术、地理、民族文化无痕融合】

2.驱动性问题引爆思维

教师手执一副真实扑克牌，抽出全部52张，摞成厚厚一叠：“52张扑克牌，可以玩很多数学游戏。现在老师报一个数，请你快速判断——这个数是不是52的好朋友？是就拍手一下，不是就坐端正。”教师报出“104”，部分学生迟疑后零星拍手；报出“156”，拍手声整齐；报出“200”，教室安静；报出“260”，拍手声再次响起。教师追问：“为什么104和260你们拍手，200却不拍？104和260到底有什么共同点？”学生七嘴八舌：“104是52加52”“260是52×5”“200不是52的倍数”……“倍数”一词被学生自发说出，教师立刻板贴“倍数”词条，并画一个问号——这个词到底什么意思？我们今天就来给它下个定义。【非常重要：用“好朋友”隐喻降低认知门槛，同时精准暴露前概念】

3.前概念暴露与冲突强化

教师记录学生初始想法：“有同学说，一个数如果能写成52乘几，就是52的好朋友。还有同学说，这个数除以52能除得尽。这些说法对吗？我们先用几道简单题验证。”教师板演：52×1=52，52×2=104，52×3=156，52×4=208，52×5=260。顺势提问：“照这样写下去，第10个好朋友是多少？”学生答“520”。教师再问：“那么，像130、182这些数，算不算52的好朋友？为什么不算？”学生通过估算或简单除法发现130÷52≈2.5，不是整数。至此，“能写成52与一个整数相乘”“能被52整除”两条等价表述已成为全班共识。【重要：概念雏形已现，但仍需精确化】

（二）概念锚定——操作建模，从“几个52”抽象倍数定义

1.具身活动：摆卡片，数“几个52”

教师将52张磁性圆片整齐贴成一行，问：“这是几个52？”（1个52）接着紧挨下方再贴同样一行：“现在几个52？”（2个52）一共多少张？（104张）继续贴第三行、第四行。每贴一行，师生共同口述算式：52×1=52，52×2=104，52×3=156，52×4=208。教师请一名学生上台，指着一行行卡片说一句话：“第一行是1个52，第二行是2个52……”教师追问：“第5行应该贴多少张？是多少个52？积是多少？”学生完整表述。此环节持续约3分钟，全体学生视觉、听觉、动觉多感官协同参与。【基础：倍数概念的具身奠基】

2.师生共议：从“好朋友”到“倍数”术语

教师收起卡片，转身指向黑板上的算式序列：“刚才我们一直在说‘52的好朋友’，数学家给这些好朋友起了个正式的名字——52的倍数。”教师板贴“倍数”词条于算式左侧。接着，引导学生用“倍数”重新表述：“52是52的倍数”“104是52的倍数”“156是52的倍数”……教师特别强调：“必须说清楚是谁的倍数，不能只说‘156是倍数’，那是不完整的。”随即板书句式：（）是（）的倍数。【语言规范化】

3.定义精加工：倍数是关系不是个体

教师出示关键问题：“你能尝试用自己的话，说一说什么叫‘一个数a的倍数’吗？”学生尝试表述，教师在倾听中不断提纯，最终凝练为：“自然数a与非0自然数b相乘，得到的积c，就是a的倍数。”板书核心关系式：a×b=c（a、b是非0自然数）→c是a的倍数。教师重读“c是a的倍数”，并辅以手势：手指从c划向a，强调方向性。随即追问：“在这个关系里，c是不是b的倍数？”学生顿悟：也是，因为乘法交换律，b×a=c，c同时也是b的倍数。【重要：概念对称性渗透，为后续因数埋线】

4.即时辨析：判断题组层层递进

教师逐题口述，学生使用红蓝手势卡反馈（红色✗、蓝色✓）：

·因为52×3=156，所以156是倍数。（全体红，正确说法应为“156是52的倍数”）

·因为52×0=0，所以0是52的倍数。（部分犹豫，教师明确：我们研究非0自然数，暂不考虑0，教材约定0除外）

·52是52的倍数。（全体蓝，教师追问：为什么？生：因为52×1=52）

·26是52的倍数。（全体红，有学生小声说“反了”，教师顺势留白，不解释因数，仅强调“52的倍数必须能写成52×整数”）【高频考点：倍数定义的精准辨析】

5.概念泛化：举一个不是52的倍数的例子

学生举例：10、33、100、200等。教师每听到一个例子，快速口算并确认，强化“判断标准”。期间有学生举“104”，立刻被同伴纠正：“104是52的倍数！”课堂形成积极倾听、主动纠错的文化氛围。【基础：正向与反例交织，概念边界清晰】

（三）深度探究——算法多样化，有序列举52的倍数

1.任务驱动与独立思考

教师下发空白探究单，任务指令清晰：“请写出52的倍数，能写几个写几个，时间2分钟。比比谁的策略最巧妙。”学生独立书写，教师巡视，捕捉三类典型方法：①乘法序列（1×52、2×52……）；②加法累加（52+52=104，104+52=156……）；③除法倒推（先写一个数，再用这个数除以52检验）。约70%学生使用乘法序列，20%使用加法，10%混合使用或无从下手。

2.方法展示与策略优化

请三位学生上台板演各自方法。第一人写：52、104、156、208、260……教师追问：“你怎么保证不遗漏？”生答：“用52×1、×2、×3……顺着乘下去。”第二人写：52、104、156、208、260……与第一人结果相同，但过程是连加。教师问：“两种方法，哪种更不容易出错？”学生辩论后达成共识：乘法序列既快又准，加法容易加错且需要记住前一个数。第三人写：100÷52不行，150÷52不行，200÷52不行，260÷52=5，可以，所以260是。教师点评：“这种方法适合验证一个大数是不是52的倍数，但用来从头列举很慢。”【重要：算法多样化与优化】

3.数轴可视化与无限性顿悟

教师播放数轴动画：从0出发，每跳跃一次增加52个单位，落点依次点亮并标注52、104、156、208……跳跃速度越来越快，落点越来越密，直至满屏光点，画面定格。教师轻声问：“能跳到尽头吗？”学生：“不能！”“永远跳不完！”“有无穷多个！”教师板贴关键句：一个数的倍数的个数是无限的。最小的倍数是它本身（52）。没有最大的倍数。【核心概念】【高频考点】

4.限时挑战赛与书写规范

小组合作：探究单最后一栏，“60秒内看哪组写出的52的倍数最多”。教师计时，各组奋笔疾书。时间到，小组交换批阅。教师投影展示一组优秀作品：52,104,156,208,260,312,364,416,468,520……并在末尾郑重添上“……”。教师强调：“这个省略号非常重要，它代表无限、代表我们写不完的倍数。”全体学生齐读省略号含义，并在自己探究单上加画“……”。【细节规范】

（四）聚焦特征——猜想验证，52的倍数有哪些“密码”

1.观察猜想，多元发现

教师出示一组精心筛选的52的倍数：52、104、156、208、260、312、364、416、468、520。任务：“四人小组合作，观察这些数，你发现了什么共同特征？发现越多越好。”学生热烈讨论，教师在组间穿梭，倾听、点拨。5分钟后全班交流，生成以下发现（教师相机板书）：

·发现1：都是偶数。（个位是0、2、4、6、8）【基础特征】

·发现2：个位数字有规律：2、4、6、8、0、2、4、6、8、0……（周期5）【观察入微】

·发现3：它们都能被4整除。（学生举例：52÷4=13，104÷4=26……）【较深层次】

·发现4：它们都能被13整除。（部分学生用计算器验证了52、104、156、208）【深层本质】

·发现5：相邻两个倍数相差52。【结构特征】

·发现6：这些数的末两位是4的倍数（52、04、56、08、60、12、64、16、68、20）【精微发现】

2.聚焦核心，解释成因

教师指着发现3和发现4：“为什么52的倍数一定能被4和13整除？”学生陷入思考。教师分解52=4×13，并运用矩形面积模型：一个长13、宽4的长方形，面积是52；将这样的长方形并排拼接，总面积一定是52的倍数，同时这个总面积一定能被4整除（长边方向），也一定能被13整除（宽边方向）。课件同步演示长方形拼接过程，直观呈现“整体可被各部分整除”。教师小结：“因为52=4×13，且4和13只有公因数1，所以52的倍数一定同时是4和13的倍数；反过来，同时是4和13的倍数的数，也一定是52的倍数。”【难点突破：仅作直观理解，不要求所有学生完全掌握互质推理，但为学优生打开窗口】

3.即时应用，优化策略

教师呈现一组数：104、156、200、265、312、416、520、600。任务：“哪些是52的倍数？你能用几种方法判断？”学生独立判断，全班核对。交流环节提炼三种策略：

策略A：直接除以52，看商是否整数。（通用，但大数计算慢）

策略B：看是不是偶数，再试除以4和13。（快速，但需额外验证）

策略C：回忆52倍数序列，直接定位。（针对熟悉数）

教师肯定所有正确策略，并强调策略选择取决于具体情境和数的大小。【重要：策略迁移与元认知】

（五）纵横关联——倍数与因数的“双向奔赴”

1.逆向思考，引入因数

教师指着乘法算式“52×5=260”，提问：“我们已经知道260是52的倍数。那么，换一个角度，52是260的什么？”部分学生脱口而出“因数！”教师板贴“因数”词条，并与“倍数”并列，画双向箭头。接着呈现一组算式，学生口头填空：

·52×3=156→156是52的（倍数），52是156的（因数）。

·52×8=416→416是52的（倍数），52是416的（因数）。

·13×4=52→52是13和4的（倍数），13和4是52的（因数）。

教师强调：“因数和倍数就像左手和右手，总是成对出现，不能单独存在。”【核心关系】【高频考点】

2.关系儿歌，趣味巩固

师生合作创编手势歌：“乘法算式三个数，（手掌平摊）因倍关系要记住。（双手交叉）积是倍数字是因，（左手比心、右手点赞）互相依存不孤独。（双手相握）”学生边念边做动作，课堂气氛轻松活跃。【情感增值】

3.辨析强化，厘清边界

教师呈现一组易错判断，学生独立在练习本上写“因”“倍”或“×”：

·因为52÷2=26，所以26是52的因数，52是26的倍数。（✓）

·因为52×0.5=26，所以26是52的倍数。（×，研究范围是非0自然数）

·因为52×1=52，所以52既是52的倍数，也是52的因数。（✓，特殊情况）

·100是52的倍数吗？100是52的因数吗？（都不是）【重要：概念清晰度检验】

（六）综合应用——跨学科问题解决，彰显倍数价值

1.生活应用：采购预算与最优方案

“学校图书馆要为四年级添置《数学奇遇记》，每套书52元。李老师带了500元，最多能买几套？还剩多少元？”学生列式500÷52=9（套）……32（元）。教师追问：“9套的总价468元，468是52的倍数吗？剩下的32元呢？”学生肯定前者，否定后者。教师再问：“如果李老师想刚好花完500元，可以怎么办？”学生讨论后提出两种思路：①再添4元，买10套（520元）；②搭配其他文具。教师顺势引导：“生活中很多采购场景都会用到倍数知识，尤其是当单价固定时，总价一定是单价的倍数。”【高频考点：倍数在购物问题中的应用】

2.科学应用：周期规律预测

“海豚训练中，海豚每52秒完成一次顶球表演。从第一次顶球开始计时，请问：520秒时海豚在做什么？156秒呢？260秒呢？”学生发现520÷52=10，正好第10次表演；156÷52=3，第3次表演。教师追问：“哪些时刻海豚一定在顶球？”学生概括：所有52的倍数秒。教师继续延伸：“如果海豚连续表演，第100次表演发生在第几秒？”学生列式52×100=5200秒。【重要：倍数在周期问题中的模型化】

3.艺术应用：节奏创编与音符结构

教师出示一条52拍的节奏条，每52拍为一个乐句。问题：“104拍是几个乐句？208拍呢？”学生快速回答。教师播放一段4/4拍背景音乐，学生用手拍击模拟：每52拍换一种动作（拍手、跺脚、捻指）。当拍数累积到104、156、208时，教师叫停，学生准确说出对应乐句数。教师总结：“音乐中的小节、乐句，美术中的二方连续纹样，建筑中的重复柱式——这些重复结构背后，都藏着倍数的秘密。”【跨学科深度融合】

4.数学探究：包装问题中的倍数

“某工厂生产笔记本，每52本装一箱。现在有800本，能装满多少箱？还剩几本？”学生列式800÷52=15（箱）……20（本）。教师追问：“至少再增加多少本，又可以装满一箱？”学生回答：32本（因为52-20=32）。此问题强化“倍数的补充”思维，为后续最小公倍数作隐性铺垫。【思维拓展】

（七）总结升华——建构知识网络，留白延伸

1.结构化回顾

教师指着满黑板板书，带领学生系统梳理：“今天我们以52为导游，游览了倍数王国。第一站，我们知道了什么是倍数——谁能用关系式说？”学生口述a×b=c，c是a的倍数。第二站，我们学会了找倍数——乘法序列，无限个。第三站，我们破解了52的倍数密码——都是偶数，还能被4、13整除。第四站，我们认识了倍数的孪生兄弟——因数。第五站，我们用倍数解决了采购、周期、音乐中的问题。”每梳理一站，教师擦去该区域问号，贴上一枚“✓”章。【非常重要：认知结构化】

2.生长延伸，悬念留白

教师出示猜年龄游戏：“老师的年龄是52的倍数，同时也是3的倍数，而且是两位数。你猜老师多少岁？”学生迅速计算：52不是3倍数，104不是两位数，无解。教师笑答：“看来老师不可能同时满足这两个条件。那么，有没有一个数，既是52的倍数，又是3的倍数？课后你可以找一找，下节课我们来研究公倍数的奥秘。”【热点：大单元教学下的课时勾连】

3.自我评价与反思

学生静默1分钟，在探究单背面的“学习雷达图”上给自己打分，维度包括：①我理解了倍数的含义；②我能正确找出52的倍数；③我能与同学合作探究；④我对数学与生活的联系有了新感受。教师不回收，仅供学生自我对话。【元认知培育】

七、板书设计

黑板整体划分为三大区域，全部使用彩色磁贴与手写板书的动态生成。

左侧区域（概念生长区）：顶部板贴“52的倍数探秘”。下方依次呈现：

52×1=52

52×2=104

52×3=156

52×4=208

52×5=260……

关系式：a×b=c（a、b非0自然数）→c是a的倍数

关键词：无限、最小倍数（本身）、无最大倍数

中间区域（特征聚焦区）：左侧竖排52的倍数数列（52、104、156、208……520），右侧发散学生发现的各类特征：

·偶数

·个位周期2、4、6、8、0

·能被4整除

·能被13整除（52=4×13）

·相邻差52

下方用双箭头连接“倍数←→因数”，示例：52×5=260，260是52的倍数，52是260的因数。

右侧区域（应用留白区）：简笔画出扑克牌、日历、钢琴键、采购算式500÷52=9……32，并贴学生即时生成的便签（如“520秒海豚顶球”“10套书520元”）。全课结束前，此区域汇总为一个词：模型。

八、作业设计

（一）基础性作业（必做）

1.写出52的倍数，从最小开始，连续写8个，并用“……”。【基础】【高频考点】

2.判断下面各数是不是52的倍数，并写出判断过程：130、312、468、572。【重要】

3.课本第52页“练一练”第1、2、3题。

（二）拓展性作业（选做）

4.逆向思维写话：以“5