专题：小正方体最多最少问题教师版

专题：小正方体最多最少问题教师版求：搭成这个几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？解析与解答：最多情况：1.俯视图是2行3列，共6个格子，位置记为(行,列)：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)。2.主视图列高：第1列2，第2列1，第3列1。3.左视图表高：第1行2，第2行1。4.对每个位置(i,j)，取主视列j高度和左视行i高度的最小值：*(1,1)：min(2,2)=2*(1,2)：min(1,2)=1*(1,3)：min(1,2)=1*(2,1)：min(2,1)=1*(2,2)：min(1,1)=1*(2,3)：min(1,1)=15.最多总个数=2+1+1+1+1+1=7个。最少情况：1.底层数量N=6（俯视图6个格子）。2.主视图各列高度要求（需额外添加）：*第1列：2-1=1（需在第1列至少一个位置加1）*第2列：1-1=0（无需添加）*第3列：1-1=0（无需添加）*A=1+0+0=13.左视图各行高度要求（需额外添加）：*第1行：2-1=1（需在第1行至少一个位置加1）*第2行：1-1=0（无需添加）*B=1+0=14.寻找重叠的关键位置：要同时满足主视图第1列和左视图第1行的高度要求，最佳位置是(1,1)。在此位置添加1，可同时满足A和B的需求，避免重复添加。5.最少总个数=6+(1+1-1)=6+1=7个？（此处似乎与最多情况相同，是因为该题数据特殊，使得最多和最少在此例中恰好相等，即该视图对应的几何体是唯一的。）*验证：在(1,1)位置为2，其余均为1。此时主视图、左视图、俯视图均满足。总个数为2+1+1+1+1+1=7。教师点拨：当给出三个视图时，有时几何体的形状是唯一确定的，此时最多和最少个数相等。这提示我们，在教学中应引导学生认识到，视图信息越充分，几何体的确定性越高。（三）已知主视图和左视图，求最多和最少小正方体个数例题3：一个几何体由若干个相同的小正方体搭成，其主视图和左视图如下。*主视图：（2列，高度分别为2,1）*左视图：（2行，高度分别为2,1）求：搭成这个几何体最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？解析与解答：已知主视图和左视图时，求最多最少，需要先确定俯视图的可能形状范围。最多情况：要使小正方体个数最多，俯视图应尽可能大，即主视图有几列，俯视图就有几列；左视图有几行，俯视图就有几行。然后每个位置的高度取主视列高和左视行高的最小值。1.主视图2列，左视图2行，故俯视图最大为2行2列的“田”字格。2.同例题2的最多算法：*(1,1):min(2,2)=2,(1,2):min(1,2)=1*(2,1):min(2,1)=1,(2,2):min(1,1)=1*最多总个数=2+1+1+1=5个。最少情况：要使小正方体个数最少，俯视图应尽可能小，且要能合理安排关键位置以满足主左视图。1.主视图有2列，至少需要2列；左视图有2行，至少需要2行。但“最少的俯视图”不一定是2x2。我们需要找到一个最小的格子排布，使得：*有一列能达到主视第1列高2，有一列能达到主视第2列高1。*有一行能达到左视第1行高2，有一行能达到左视第2行高1。2.最少个数：*思考：底层至少需要多少个？为了同时满足主视2列和左视2行，最少的底层是一个2x2的“田”字格吗？或者可以更少？*若底层是2x2（4个），在(1,1)放2个，其余1个，总数5个（同最多？不，此处最多是基于2x2的俯视图，而最少的俯视图是否可以更小？）*重新思考：主视图2列，左视图2行。*满足主视图2列高2和1，至少需要2列，每列至少1个，最高分别为2和1。*满足左视图2行高2和1，至少需要2行，每行至少1个，最高分别为2和1。*最少的底层排布可以是“L”形吗？比如3个小正方体？尝试：*俯视图假设为3个格子：(1,1),(1,2),(2,1)。*主视列：第1列(1,1),(2,1)最高2；第2列(1,2)最高1。满足主视图。*左视行：第1行(1,1),(1,2)最高2；第2行(2,1)最高1。满足左视图。*此时，(1,1)放2，(1,2)放1，(2,1)放1。总数2+1+1=4个。是否可行？*主视图：从正面看，第1列有2个，第2列有1个，符合。*左视图：从左面看，第1行有2个（(1,1)和(1,2)叠起来？不，左视图是从左面看，看到的是每行的高度。第1行（从下往上数？或从上往下数？通常左视图的行对应几何体的前后行）。此处可能因行和列的定义产生混淆。*规范思路：主视图列数=俯视图列数（从前往后数的列）；左视图表数=俯视图行