南京市燕子矶中学2026届九年级下学期期初调研数学试卷（含解析）

江苏省南京市燕子矶初级中学2025-2026学年第二学期期初九年级数学调研卷一、单选题1．一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．2．在中，，，，则的值是（

）A． B． C． D．3．某校七年级有名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的（）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差4．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，四边形内接于，是直径，是弧的中点．若，则的度数为（

）A． B． C． D．6．若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（

）A． B． C． D．二、填空题7．若，则的值为______．8．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率为__________．9．设是关于的方程的两个根，则___________．10．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留）11．如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE=_____°．12．下列关于二次函数的图像的结论：①对称轴为直线；②最高点的坐标为；③与轴有两个公共点；④与轴的交点坐标为．其中所有正确结论的序号是___________13．已知二次函数（a、b、c是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…10m2125…当时，x的取值范围是________．14．如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______．15．如图，在正方形中，是边上的点，以为直径的与相切．若，则的长为___________．16．如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为___________．三、解答题17．计算与解方程：(1)解方程：；(2)计算：．18．如图为、两家酒店今年上半年（月份）的月营业额折线统计图．(1)将表格补充完整．酒店平均数（百万元）中位数（百万元）方差（百万元）A①_______③_______B②_______(2)根据上述信息，你认为A、B两家酒店哪家经营状况较好？请简述理由．19．某校计划在暑假第二周的星期一条星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．(1)甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是_______；(2)乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少?（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．20．如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线．(1)如图①，点在外．(2)如图②，点在外．（要求：不写作法，保留作图痕迹）21．如图，在中，，，．(1)求的长；(2)直接写出的值是___________．22．如图，在□ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长．23．已知二次函数（a为常数，）．(1)求证：该函数的图象与轴总有公共点；(2)该函数的图象经过的定点的坐标是___________、___________24．如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点在同一直线上，点在同一直线上，且都与垂直，交于点．若，求像的长．25．如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，．(1)求证：；(2)若，，求的半径和的长．26．如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为时，绳子的最高点C与地面的距离为，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变．(1)求该抛物线表示的二次函数；(2)如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动；(3)由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）．27．课本内容再探索：(1)将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”．①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”）②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明．如图（1），在和中，，．求证：．(2)将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考．已知和均为锐角三角形，，，，是高，且．在满足下列情形时，证明．①如图（2），，是中线，且；②如图（3），，是中线，且．（说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．）参考答案1．C解：∵原方程为，∴可得或，解得．2．B解：∵在中，，，，∴，∴．故选：B．3．A【详解】共有13名学生参加竞赛，取前6名，所以小梅需要知道自己的成绩是否进入前六、我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小梅知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选：A．4．D解：∵，∴，又∵，∴，即，解得：．5．A解：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵是直径，∴，∴，∵是弧的中点，∴，∴，∴．6．C解：∵二次函数图象经过四个象限，∴方程有两个实根、，且两根异号，即，∵，∴，∴．故选：C．7．解：，，故答案为：．8．解：总的球数为：3+2=5个，∴从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为：，故答案为：．9．1解：∵是关于的方程的两个根，∴，∴．10．解：由题意得：这个圆锥的侧面积是；故答案为：．11．67.5【详解】∵图中是正八边形，∴各内角度数和=（8﹣2）×180°=1080°，∴∠HAB=1080°÷8=135°，∴∠BAE=135°÷2=67.5°．故答案为67.5．12．①②③解：由于二次函数的图象开口向下，则对称轴为，顶点坐标为，即最高点的坐标为，故①②正确；令得：整理得：判别式则该二次函数与轴有两个公共点，故③正确；令得：，则该二次函数与轴的交点坐标为，故④错误；综上所述，所有正确结论的序号是①②③．13．/解：由表格知：抛物线开口向上，顶点坐标为，故当时与时函数值相同，∴，当时，即当时，由表格得．故答案为：．14．/40度解：连接交于点G，，，∵点O为的内切圆的圆心，，，，垂直平分，，，故答案为：．15．1解：令切点，连接、相交于点，∵与相切，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，，即N、M分别是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得．16．解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图：在中，，∴，设，则，∵，平分，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴∴，∴，∵，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴．17．(1)，(2)【详解】（1）解：或，解得：，（2）解：．18．(1)①；②；③(2)酒店的经营情况较好，理由见解析（1）解：酒店营业额的平均数．酒店营业额的方差，将酒店的营业额按从小到大排列为：，故酒店营业额的中位数，故答案为：①；②；③；（2）解：酒店的经营情况较好．因为酒店的月月营业额的平均数和中位数都大于酒店，说明的平均营业额更多，同时酒店的月月营业额逐月上升，说明酒店的营业额处于增长状态．综上所述，酒店的经营情况较好．（另解：酒店的经营情况较好．因为酒店的月月营业额的平均数与酒店相差不大且方差小于酒店，说明酒店的营业额情况稳定，因此酒店的经营情况较好．）19．(1)(2)（1）解：同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是：，故答案为：；（2）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为：．20．(1)作图见解析(2)作图见解析【详解】（1）如图，直线为所作．（2）如图，、为所作．21．(1)；(2)（1）解：作于点，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：构造，其中，，延长到，使，连接，则，，设则，，，，．22．（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）证明：中，，又，；（2）解：，，，．又，．23．(1)见解析(2)，【详解】（1）证明：二次函数，，该函数的图象与轴总有公共点；（2）解：．令，则或．当时，．当时，．不论a为何值，该函数的图象经过的定点坐标是，．24．解：∵都与垂直，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，，∴，，即，，解得，（经检验，符合题意），答：像的长为．25．(1)证明见解析(2)的半径为3，（1）解：如图，连接，∵以为半径的⊙与相切于点，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，设的半径为，∴，，而，，∴，解得：，即的半径为3，∴，，，∵，则，∴，∵，∴，∴，∴.26．(1)(2)最多有9名学生能同时参加跳长绳活动(3)0.05（1）解：由题意可得：，，，由图象可得：二次函数的顶点坐标为，∴二次函数的解析式为，将代入可得，解得：，∴该抛物线表示的二次函数为；（2）解：在中，当时，，解得：或，∴与轴的两交点间的水平距离为，∵相邻学生站位间隔均为，∴间隔数为，取整数部分，∴人数为（人），故最多有9名学生能同时参加跳长绳活动；（3）解：抛物线上移后，解析式为，∵需要容纳人，∴总水平距离为，令，则，解得：或，∴水平距离为，由题意可得：，解得：，∴h的最小值为．2