2026年10月自考04183概率论与数理统计（经管类）押题及答案

2026年10月自考04183概率论与数理统计（经管类）押题及答案（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是（）

A．P(A|B)=P(A)

B．P(B|A)=0

C．P(AB)=P(A)P(B)

D．P(B|A)=12．设事件A与B相互独立，且P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，则P(B)=（）

A．0.3

B．0.4

C．0.5

D．0.63．袋中有5个白球，3个红球，现从中不放回地取球两次，每次取一个球，则第二次取到白球的概率为（）

A．38

B．58

C．278．设X服从参数为2的泊松分布，则E(X²)=（）

A．2

B．4

C．6

D．89．设X1,X2,X3是来自总体X的样本，E(X)=μ，若μ^=14X1+aX10．设X1,X2,…,Xn(n>1)是来自N(μ,σ2)的样本，X与S2分别是样本均值和样本方差，欲检验假设H0二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11．设A,B是事件，若P(A)=14，P(B|A)=212．设事件A与B相互独立，已知P(A)=0.5，P(AB)=0.2，则13．甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译出的概率为0.6，乙破译出的概率为0.5，则密码被破译的概率为________．22．已知总体X∼N(0,1)，X1,X23．设总体X服从参数为4的泊松分布，X1,X2,…,24．设X1,X2为来自总体X的样本，且E(X)=μ，D(X)=σ2，设25．设X1,X2,…,X25为来自总体X∼N(μ,42三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）五、应用题（本大题10分）30．某型号电子元件的寿命标准为平均1000小时．现从一批产品中随机抽取25件进行测试，测得样本平均寿命为980小时，样本标准差为40小时．假设元件寿命服从正态分布N(μ,σ2)，试问在显著性水平α=0.05下，这批电子元件的平均寿命是否显著低于标准？

（附：t押题卷（一）参考答案及解析一、单项选择题1．B

【解析】A与B互不相容，则AB=∅，P(AB)=0，故P(B|A)=P(AB)/P(A)=0。2．C

【解析】P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)，代入得0.7=0.4+P(B)-0.4P(B)，解得P(B)=0.5。3．B

【解析】抽签原理，第二次取到白球的概率等于第一次取到白球的概率=5/8。4．C

【解析】F(1)=P{X≤1}=P{X=-2}+P{X=0}=0.2+0.5=0.7。5．A6．B

【解析】P{1<X<3}=∫₁³(1/4)dx=(3-1)/4=1/2。7．B

【解析】P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=0.1+0.2=0.3。8．C

【解析】X~P(2)，则E(X)=2，D(X)=2，E(X²)=D(X)+[E(X)]²=2+4=6。9．B

【解析】无偏估计要求E(μ̂)=μ。E(μ̂)=(1/4)μ+aμ+(1/3)μ=(7/12+a)μ=μ，故a=5/12。10．C

【解析】σ²未知，检验μ用t检验，统计量为t=(X̄-μ₀)/(S/√n)。二、填空题11．16

12．0.6

【解析】P(AB̄)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=0.5-0.5P(B)=0.2，解得P(B)=0.6。13．0.8

【解析】P(密码被破译)=1-P(都未破译)=1-0.4×0.5=1-0.2=0.8。14．78

15．e−2

16．12

17．16

18．2y219．6.1

【解析】D(X)=10×0.3×0.7=2.1，D(Y)=2，D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)=2.1+8=10.1。

（修正：XB(10,0.3)，D(X)=np(1-p)=10×0.3×0.7=2.1；YP(2)，D(Y)=2；D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)=2.1+8=10.1）20．2

【解析】Cov(X,Y)=ρ_{XY}·√D(X)·√D(Y)=(1/3)×3×2=2。21．78

22．χ2(10)

【解析】X_i23．14

24．u

【解析】D(u)=(1/4+1/4)σ²=σ²/2；D(v)=(4/9+1/9)σ²=5σ²/9。因为1/2<5/9，所以u更有效。25．|X−10|≥1.568（或|u|≥1.96）三、计算题（2）X的分布律：

P{X=0}=8/27,P{X=1}=12/27,P{X=2}=6/27,P{X=3}=1/27

（验证：X~B(3,1/3)）

P{X≤1}=P{X=0}+P{X=1}=8/27+12/27=20/27（4分）（3）Z=X-Y的可能取值：-3,-2,-1,0,1,2,3

P{Z=-3}=P{X=0,Y=3}=1/27

P{Z=-2}=P{X=0,Y=2}+P{X=1,Y=3}=3/27+0=3/27

P{Z=-1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=2}=3/27+3/27=6/27

P{Z=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=3}=1/27+6/27+0+0=7/27

P{Z=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=1}=3/27+3/27=6/27

P{Z=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=3,Y=1}=3/27+0=3/27

P{Z=3}=P{X=3,Y=0}=1/27Z的分布律：Z-3-2-10123P1/273/276/277/276/273/271/27（4分）E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×34+1=（3）Cov(X,Y)=Cov(X,2X+1)=2Cov(X,X)=2D(X)=2×3五、应用题30．解：

这是一个左侧检验问题。

H0:μ≥1000，检验统计量：t=X−μ拒绝域：t≤−t计算检验统计量的值：

t=980−1000因为t=−2.5<−1.711，落在拒绝域内，所以拒绝H₀。

即在显著性水平α=0.05下，认为这批电子元件的平均寿命显著低于标准。（2分）2026年10月自考04183概率论与数理统计（经管类）押题及答案（二）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A,B为随机事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A|B)=0.8，则P(A∪B)=（）

A．0.7

B．0.8

C．0.9

D．12．设每次试验成功的概率为p(0<p<1)，重复进行试验直到第10次才取得第3次成功的概率为（）

A．C92p3(1−p)7

B．已知事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则（）

A．a=0.2,b=0.3

B．a=0.3,b=0.2

C．a=0.1,b=0.4

D．a=0.4,b=0.17．设随机变量X与Y相互独立，且X∼N(0,1)，Y∼N(1,1)，则（）

A．P{X+Y≤0}=12

B．P{X+Y≤1}=12

C．8．设随机变量X的方差D(X)=2，则根据切比雪夫不等式估计P{|X−E(X)|≥4}≤（）

A．18

B．14

C．19．设X1,X2,…,Xn是来自总体N(μ,σ2)的样本，X是样本均值，则X∼（）

10．在假设检验中，第一类错误是指（）

A．H₀为真，接受H₀

B．H₀不真，拒绝H₀

C．H₀为真，拒绝H₀

D．H₀不真，接受H₀二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11．设P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.7，则P(B|A)=________．12．设P(A)=0.6，P(B)=0.7，若A与B相互独立，则P(AB)=________．13．一批产品中有5%是次品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为________．14．设随机变量X的分布律为P{X=k}=k10,k=1,2,3,415．设随机变量X在区间[2,6]上服从均匀分布，则P{3<X<5}=________．22．设总体X∼N(μ,σ2)，X1,X2五、应用题（本大题10分）30．某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差σ2=5000（小时²）的正态分布．现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变．现随机取26只电池，测出其寿命的样本方差s2=9200（小时²）．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化？（取α=0.02）

（附：押题卷（二）参考答案及解析一、单项选择题1．A

【解析】P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5×0.8=0.4，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.5-0.4=0.7。2．A

【解析】第10次才取得第3次成功，即前9次恰好2次成功，第10次成功。概率为C93．B

【解析】X~E(2)，P{X>2}=1-F(2)=1-(1-e⁻⁴)=e⁻⁴。4．A

【解析】X~P(3)，P{X=2}=3²/2!·e⁻³=9/2·e⁻³。5．B

【解析】X~N(1,4)，P{-1<X<3}=P{(-1-1)/2<(X-1)/2<(3-1)/2}=P{-1<Z<1}=Φ(1)-Φ(-1)=2Φ(1)-1。6．A

【解析】由规范性：0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5。

P{X=0}=0.4+b，P{X+Y=1}=a+b=0.5，P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=b。

独立则b=(0.4+b)×0.5，解得b=0.4，a=0.1。（验证：b=0.4,a=0.1不在选项中，重新计算）

由0.4+a+b+0.1=1得a+b=0.5。

P{X=0}=0.4+b，P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=b+a=0.5。

P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=b。

独立：b=(0.4+b)×0.5→2b=0.4+b→b=0.4，a=0.1。选C。7．B

【解析】X+Y~N(1,2)，则P{X+Y≤1}=Φ((1-1)/√2)=Φ(0)=1/2。8．A

【解析】由切比雪夫不等式，P{|X-E(X)|≥4}≤D(X)/4²=2/16=1/8。9．B

【解析】样本均值X̄~N(μ,σ²/n)。10．C

【解析】第一类错误（弃真）：H₀为真，拒绝H₀。二、填空题11．13

12．0.42

【解析】A、B独立，P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42。13．0.57

【解析】P(一等品)=P(合格)×P(一等品|合格)=0.95×0.6=0.57。14．0.7

【解析】P{X>2}=P{X=3}+P{X=4}=3/10+4/10=7/10=0.7。15．0.5

【解析】X~U[2,6]，P{3<X<5}=(5-3)/(6-2)=2/4=0.5。16．14

17．1

【解析】D的面积=1/2，故f(x,y)=2，(x,y)∈D。

f_X(x)=∫₀^(1-x)2dy=2(1-x)，0<x<1。f_X(0.5)=2×0.5=1。18．4

【解析】E(X)=16×0.5=8，E(Y)=4，E(X-Y)=8-4=4。19．9

【解析】X~E(λ)，E(X)=1/λ=3，λ=1/3，D(X)=1/λ²=9。20．12

21．1−Φ(1)22．χ2(n−1)23．χ2(8)

【解析】X_i/224．x

【解析】似然函数L(θ)=∏(1/θ)e^(-x_i/θ)=θ^(-n)e^(-Σx_i/θ)。

lnL=-nlnθ-Σx_i/θ。令d(lnL)/dθ=-n/θ+Σx_i/θ²=0，解得θ̂=Σx_i/n=x̄。25．0.4

【解析】β̂₁=L_xy/L_xx=10/25=0.4。三、计算题四、综合题28．解：

（1）X的可能取值为1,2,3，P{X=k}=1/3，k=1,2,3。

Y的可能取值为1,2,3。

当X=1时，Y只能取1，P{Y=1|X=1}=1。

当X=2时，Y可取1,2，P{Y=j|X=2}=1/2，j=1,2。

当X=3时，Y可取1,2,3，P{Y=j|X=3}=1/3，j=1,2,3。P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1}=1/3×1=1/3

P{X=2,Y=1}=1/3×1/2=1/6，P{X=2,Y=2}=1/3×1/2=1/6

P{X=3,Y=1}=1/3×1/3=1/9，P{X=3,Y=2}=1/9，P{X=3,Y=3}=1/9(X,Y)的分布律：Y\X12311/31/61/9201/61/93001/9（4分）（2）X的边缘分布律：

P{X=1}=1/3，P{X=2}=1/3，P{X=3}=1/3Y的边缘分布律：

P{Y=1}=1/3+1/6+1/9=11/18

P{Y=2}=0+1/6+1/9=5/18

P{Y=3}=0+0+1/9=2/18=1/9（4分）（3）判断独立性：

P{X=1,Y=2}=0，而P{X=1}P{Y=2}=(1/3)(5/18)=5/54≠0

因为P{X=1,Y=2}≠P{X=1}P{Y=2}，所以X与Y不独立。（4分）

2026年10月自考04183概率论与数理统计（经管类）押题及答案（三）

C．34

D．17．设随机变量X与Y相互独立，且X∼B(10,0.3)，Y∼B(10,0.3)，则D(X+Y)=（）

A．2.1

B．4.2

C．6

D．8.48．设随机变量X的期望和方差分别为E(X)=μ，D(X)=σ2，则由切比雪夫不等式，P{|X−μ|≥3σ}≤（）

A．19

B．13

18．设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(e19．设D(X)=2，D(Y)=3，且X与Y不相关，则D(2X−3Y)=________．20．设随机变量X与Y的相关系数ρXY=0.5，D(X)=D(Y)=4，则五、应用题（本大题10分）30．某厂生产的化纤纤度服从正态分布，其标准纤度为1.40．某日抽取20根纤维，测得样本均值x=1.42，样本标准差s=0.03．问在显著性水平α=0.05下，能否认为这天生产的化纤纤度的均值仍为1.40？

（附：t0.025(19)=2.093押题卷（三）参考答案及解析一、单项选择题1．D

【解析】P(A∪B|A)=P(A(A∪B))/P(A)=P(A)/P(A)=1。2．A

【解析】每封信投入后两个邮筒的概率为2/4=1/2，三封信都投入后两个邮筒的概率为(1/2)³=1/8。3．A

【解析】由规范性，ΣP{X=k}=ΣC/k!=C·e=1，故C=e⁻¹。（这是泊松分布P(1)）4．C

【解析】X~U[0,3]，E(X)=(0+3)/2=3/2。5．C

【解析】P{|X-μ|<σ}=P{|(X-μ)/σ|<1}=P{|Z|<1}=2Φ(1)-1，与σ无关。6．A

【解析】P{X+Y<1}=∫₀^(1/2)∫_x^(1-x)2dydx=∫₀^(1/2)2(1-2x)dx=[2x-2x²]₀^(1/2)=1-1/2=1/2？

重新计算：区域0<x<y<1且x+y<1，即x<y<1-x，x<1/2。

P{X+Y<1}=∫₀^(1/2)∫_x^(1-x)2dydx=∫₀^(1/2)2(1-2x)dx=[2x-2x²]₀^(1/2)=1-1/2=1/2。选B。7．B

【解析】X~B(10,0.3)，D(X)=10×0.3×0.7=2.1。X与Y独立，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2.1+2.1=4.2。8．A

【解析】由切比雪夫不等式，P{|X-μ|≥3σ}≤σ²/(9σ²)=1/9。9．C

【解析】X_iN(0,1)且独立，故ΣX_i²χ²(n)。A应为X̄N(0,1/n)；B应为√n·X̄N(0,1)；D应为√n·X̄/S~t(n-1)。10．B

【解析】σ²未知，μ的置信区间用t分布：(x̄±s/√n·t_{α/2}(n-1))。二、填空题11．0.55

【解析】P(A-B)=P(A)-P(AB)，0.25=0.4-P(AB)，P(AB)=0.15。

P(ĀB̄)=P(Ā∪B̄的补)=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-(0.4+0.3-0.15)=1-0.55=0.45。12．0.7

【解析】P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×0.8=0.4。P(A∪B)=0.5+0.6-0.4=0.7。13．35

14．0.25

【解析】P{0.5<X<1}=F(1)-F(0.5)=1/2-0.5/2=0.5-0.25=0.25。15．0.5

【解析】X~N(2,9)，正态分布关于均值对称，P{X>2}=0.5。16．0.4

【解析】P{X+Y=0}=P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=-1}=0.2+0=0.2？

重新看：X取值-1,1；Y取值0,1。X+Y=0的情况：X=-1,Y=1。P=0.2。

答案应为0.2。17．e−x,x>018．13

19．35

【解析】D(2X-3Y)=4D(X)+9D(Y)=4×2+9×3=8+27=35。20．2

【解析】Cov(X,Y)=ρ_{XY}·√D(X)·√D(Y)=0.5×2×2=2。21．正态（或N(nμ,nσ2)22．t(3)

【解析】X₁+X₂N(0,2)，(X₁+X₂)/√2N(0,1)。X₃²+X₄²+X₅²~χ²(3)。

故(X₁+X₂)/√2/√((X₃²+X₄²+X₅²)/3)=√3(X₁+X₂)/(√2·√(X₃²+X₄²+X₅²))~t(3)。

题目给出的是(X₁+X₂)/√(X₃²+X₄²+X₅²)，需要调整。

(X₁+X₂)/√(X₃²+X₄²+X₅²)=√2·[(X₁+X₂)/√2]/√(X₃²+X₄²+X₅²)

=√2·[(X₁+X₂)/√2]/√(3·(X₃²+X₄²+X₅²)/3)

=√2/√3·[(X₁+X₂)/√2]/√((X₃²+X₄²+X₅²)/3)

这不是标准t分布。

题目可能有误，应该是(X₁+X₂)/√2/√((X₃²+X₄²+X₅²)/3)~t(3)。

按题意填写：t(3)（需理解为经过标准化后的形式）。23．0.25

【解析】D(X̄)=σ²/n=4/16=1/4=0.25。24．X

【解析】X~P(λ)，E(X)=λ，矩估计λ̂=X̄。25．0.05

【解析】犯第一类错误的概率=P{拒绝H₀|H₀为真}=α=0.05。三、计算题10．在假设检验中，显著性水平α的意义是（）

A．原假设H₀成立，经检验被拒绝的概率

B．原假设H₀成立，经检验被接受的概率

C．原假设H₀不成立，经检验被拒绝的概率

D．原假设H₀不成立，经检验被接受的概率二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11．设P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(AB)=0.3，则P(A∪B)=________．12．设P(A)=0.7，P(A−B)=0.3，则P(B13．甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7和0.6，每人各投2次，则两人恰好都投中1次的概率为________．14．设随机变量X的分布律为P{X=k}=12k15．设随机变量X在区间[-1,3]上服从均匀分布，则P{X>0}=________．17．设二维随机变量(X,Y)的分布律为求：（1）(X,Y)的联合概率密度；（2）P{X+Y≤1}；（3）Z=X+Y的概率密度fZ五、应用题（本大题10分）30．某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布．当机器正常时，其均值为0.5kg，标准差为0.015kg．某日开工后为检验包装机是否正常，随机地抽取它所包装的9袋，称得净重为(kg)：0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512．问在显著性水平α=0.05下，机器是否正常？

（附：u0.025=1.96，押题卷（四）参考答案及解析一、单项选择题1．C

【解析】A、B互不相容，AB=∅，P(AB)=0，P(A|B)=P(AB)/P(B)=0。2．B

【解析】P(至少1件次品)=1-P(都是正品)=1-C(7,2)/C(10,2)=1-21/45=1-7/15=8/15。3．A

【解析】∫₀¹(ax+b)dx=a/2+b=1；E(X)=∫₀¹x(ax+b)dx=a/3+b/2=7/12。

解得a=1,b=0.5。4．A

【解析】X~E(2)，D(X)=1/λ²=1/4。5．B

【解析】X~N(1,4)，P{X>3}=P{(X-1)/2>1}=1-Φ(1)。6．A

【解析】P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.3+0.1=0.4。7．C

【解析】P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}=(1/3)(1/3)+(2/3)(2/3)=1/9+4/9=5/9。8．A

【解析】P{6<X<14}=P{|X-10|<4}≥1-D(X)/4²=1-4/16=3/4。9．A

【解析】由抽样分布定理，(X̄-μ)/(σ/√n)~N(0,1)。10．A

【解析】显著性水平α=P{拒绝H₀|H₀为真}=犯第一类错误的概率。二、填空题11．0.8

【解析】P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+0.5-0.3=0.8。12．37

13．0.169344

【解析】甲恰好投中1次：C(2,1)×0.7×0.3=0.42；乙恰好投中1次：C(2,1)×0.6×0.4=0.48。

两人都恰好投中1次：0.42×0.48=0.2016。14．14

15．34

16．18

17．0.5

【解析】P{Y=1}=0.1+0.2+0.1=0.4。P{X=2|Y=1}=P{X=2,Y=1}/P{Y=1}=0.2/0.4=0.5。18．25

【解析】D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=4×4+9=16+9=25。19．15

【解析】E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=3.6。由6(1-p)=3.6得p=0.4，n=6/0.4=15。20．-6

【解析】Cov(X,Y)=ρ_{XY}·√D(X)·√D(Y)=(-1/2)×3×4=-6。21．Φ(1)

22．t(n−1)

【解析】由抽样分布定理，(X̄-μ)/(S/√n)~t(n-1)。23．χ2(10)

【解析】X_i24．ni=1nln⁡xi2

【解析】似然函数L(θ)=∏√θ·x_i^(√θ-1)=θ^(n/2)(∏x_i)^(√θ-1)。

lnL=(n/2)lnθ+(√θ-1)Σlnx_i。

令d(lnL)/dθ=n/(2θ)+(1/(2√θ))Σlnx_i=0。

25．变化

【解析】置信区间长度为2σ/√n·u_{α/2}，σ已知，n和α不变，长度不变。

等等，σ²已知，n不变，α不变，则置信区间长度=2σ/√n·u_{α/2}是固定的。

但题目说"对于不同的样本观测值"，x̄不同导致区间位置不同，但长度不变。

答案：不变。三、计算题3．设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列结论错误的是（）

A．F(x)是不减函数

B．0≤F(x)≤1

C．F(x)是连续函数

D．F(−4．设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，且E(X)=2.4，D(X)=1.44，则参数n,p的值为（）

A．n=4,p=0.6

B．n=6,p=0.4

C．n=8,p=0.3

D．n=12,p=0.25．设X∼N(μ,σ2)，则当σ增大时，P{X≤μ−σ}（）

A．单调增大

B．单调减小

6．设二维随机变量(X,Y)服从区域D:0≤x≤1,0≤y≤1上的均匀分布，则P{X2+Y2≤1}=（）

A．π4

7．设随机变量X与Y独立同分布，且P{X=−1}=P{Y=−1}=12，P{X=1}=P{Y=1}=12，则下列各式成立的是（）

A．P{X=Y}=12

B．P{X=Y}=18．设X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，E(X)=μ，D(X)=σ2，则以下估计量中最有效的是（）

A．μ

其中θ>0为未知参数，X1,X2,…,Xn五、应用题（本大题10分）30．某厂生产的铜丝，要求其折断力的方差不超过16（N²）．今从一批产品中随机抽取10根，测得折断力的样本方差s2=25（N²）．设折断力服从正态分布，问在显著性水平α=0.05下，能否认为这批铜丝的折断力的方差显著偏大？

（附：χ0.05押题卷（五）参考答案及解析一、单项选择题1．B

【解析】P(A|B)=0.8=P(A)，故事件A与B相互独立。2．A

【解析】从5个数中取3个，共C(5,3)=10种。能构成三角形的组合：(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)共3种。概率=3/10。3．C

【解析】分布函数是右连续的，不一定是连续函数（离散型随机变量的分布函数有跳跃间断点）。4．B

【解析】E(X)=np=2.4，D(X)=np(1-p)=1.44。2.4(1-p)=1.44，1-p=0.6，p=0.4，n=2.4/0.4=6。5．C

【解析】P{X≤μ-σ}=P{(X-μ)/σ≤-1}=Φ(-1)=1-Φ(1)，与σ无关。6．A

【解析】区域D面积=1，联合密度f(x,y)=1。P{X²+Y²≤1}=第一象限单位圆面积/1=π/4。7．A

【解析】P{X=Y}=P{X=-1,Y=-1}+P{X=1,Y=1}=1/4+1/4=1/2。8．A

【解析】D(μ̂₁)=σ²/n；D(μ̂₂)=σ²/2；D(μ̂₃)=(1/9+4/9)σ²=5σ²/9；D(μ̂₄)=σ²。n≥2时，σ²/n最小，故μ̂₁最有效。9．C

【解析】(X̄-μ)/(S₁/√n)~t(n-1)，其中S₁是样本标准差（除以n-1）。10．B

【解析】σ²未知，检验μ用t检验，统计量为t=(x̄-μ₀)/(s/√n)。二、填空题11．0.6

【解析】P(Ā∪B̄)=P(AB的补)=1-P(AB)。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，0.9=0.5+0.6-P(AB)，P(AB)=0.2。P(Ā∪B̄)=1-0.2=0.8。12．38

13．23

14．2

【解析】ΣC/3ᵏ=C·(1/3)/(1-1/3)=C·(1/3)/(2/3)=C/2=1，C=2。15．3

【解析】正态分布关于均值对称，P{X>a}=P{X<a}意味着a=μ=3。16．0.4

【解析】P{X≥1,Y≥1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}=0.1+0.1+0.1+0.1=0.4。17．12

18．2

【解析】X~P(λ)，P{X=1}=λe^(-λ)，P{X=2}=λ²/2·e^(-λ)。由λe^(-λ)=λ²/2·e^(-λ)，得λ=λ²/2，λ=2。19．5

【解析】Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，-1=E(XY)-2×3，E(XY)=6-1=5。20．D(X)+D(Y)

【解析】D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)（因为ρ=0，Cov=0）。21．标准正态（或N(0,1)）

【解析】由中心极限定理，(ΣX_i-nμ)/(√n·σ)近似服从N(0,1)。22．t(2)

【解析】X₁-X₂N(0,2)，(X₁-X₂)/√2N(0,1)。X₃²+X₄²~χ²(2)。

故(X₁-X₂)/√2/√((X₃²+X₄²)/2)=(X₁-X₂)/√(X₃²+X₄²)~t(2)。23．35

【解析】置信区间长度=2σ/√n·u_{α/2}≤2，即2×3/√n×1.96≤2，√n≥3×1.96=5.88，n≥34.57，n至少为35。24．2X

25．H₁为真（或H₀不真）

【解析】第二类错误（取伪）：H₀不真，接受H₀。β=P{接受H₀|H₁为真}。三、计算题四、综合题28．解：

（1）由规范性：a+b+c=0.2

由E(Y)=0：c-a-0.1=0，即c=a+0.1

由P{X≤0|Y≤0}=0.5：(a+b+0.2)/(a+b+0.5)=0.5，解得a+b=0.1

联立：c=0.1，a=0，b=0.1

即a=0,b=0.1,c=0.1（4分）（2）X的边缘分布律：

P{X=-1}=a+0.1+0.1=0.2

P{X=0}=0.1+b+0.1=0.3

P{X=1}=0.2+0.1+c=0.4X-101P0.20.30.5（4分）（3）Z=XY的分布律：

P{Z=-1}=P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=-1}=0.1+0.2=0.3

P{Z=0}=1-P{Z=-1}-P{Z=1}=1-0.3-0.3=0.4

P{Z=1}=P{X=-1,Y=-1}+P{X=1,Y=1}=a+c=0.1+0.2=0.3Z-101P0.30.40.3（4分）2026年10月自考04183概率论与数理统计（经管类）押题及答案（六）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A,B为随机事件，且P(B)>0，则下列各式正确的是（）

A．P(A|B)≥P(A)

B．P(A|B)≤P(A)

C．P(A|B)=P(A)

D．以上都不一定对2．将一枚均匀硬币抛掷3次，则至少有一次正面朝上的概率为（）

A．18

B．38押题卷（六）参考答案及解析一、单项选择题1．D

【解析】P(A|B)与P(A)的大小关系不确定，取决于事件A、B的性质。当A、B独立时相等；当A、B正相关时P(A|B)>P(A)；负相关时P(A|B)<P(A)。2．C

【解析】P(至少一次正面)=1-P(全是反面)=1-(1/2)³=1-1/8=7/8。3．C

【解析】P{X>1/2}=∫(1/2)^12xdx=[x²](1/2)^1=1-1/4=3/4。4．C

【解析】X~B(n,p)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)。D(X)-E(X)=np(1-p)-np=-np²。5．B

【解析】X~N(1,4)，正态分布关于均值对称，P{X<1}=0.5。6．C

【解析】P{Y=0|X=1}=P{X=1,Y=0}/P{X=1}=0.4/(0.4+0.1)=0.4/0.5=0.8。7．A

【解析】独立正态变量之和仍为正态分布，X+Y~N(1+2,4+9)=N(3,13)。8．B

【解析】切比雪夫不等式：P{|X-μ|≥ε}≤σ²/ε²。9．B

【解析】E(X̄²)=D(X̄)+[E(X̄)]²=σ²/n+μ²。10．C

【解析】σ²已知，置信区间长度=2σ/√n·u_{α/2}，与样本观测值无关，长度不变。二、填空题11．0.3

【解析】P(A-B)=P(A)-P(AB)，0.4=0.7-P(AB)，P(AB)=0.3。12．独立

【解析】P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，0.65=0.3+0.5-P(AB)，P(AB)=0.15。

P(A)P(B)=0.3×0.5=0.15=P(AB)，故A与B独立。13．48125

14．12

15．2

【解析】X~E(λ)，P{X>1}=e^(-λ)=e⁻²，故λ=2。16．18

17．6（0≤x≤1,x²≤y≤x），其余为0,

【解析】区域D的面积=∫₀¹(x-x²)dx=[x²/2-x³/3]₀¹=1/2-1/3=1/6。故f(x,y)=6，(x,y)∈D。18．5

【解析】E(X)=3，E(Y)=2，E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5。19．7

【解析】D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=1+4+2×0.5×1×2=5+2=7。20．1

【解析】Y=2X+3是线性关系，且斜率为正，故ρ_{XY}=1。21．Φ(2)

【解析】X_iB(1,1/2)，ΣX_i22．χ2(n)

【解析】(X_i-μ)/σ23．μ2+24．ni=1nxi2

25．0.75

【解析】r=L_xy/√(L_xx·L_yy)=30/√(100×16)=30/40=0.75。三、计算题四、综合题28．解：

（1）X的边缘分布律：

P{X=1}=0.1+0.1+0.1=0.3

P{X=2}=0.2+0.1+0=0.3

P{X=3}=0.1+0.2+0.1=0.4Y的边缘分布律：

P{Y=1}=0.1+0.2+0.1=0.4

P{Y=2}=0.1+0.1+0.2=0.4

P{Y=3}=0.1+0+0.1=0.2X123P0.30.30.4Y123P0.40.40.2（4分）（2）Z=X+Y的可能取值：2,3,4,5,6

P{Z=2}=P{X=1,Y=1}=0.1

P{Z=3}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}=0.1+0.2=0.3

P{Z=4}=P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}=0.1+0.1+0.1=0.3

P{Z=5}=P{X=2,Y=3}+P{X=3,Y=2}=0+0.2=0.2

P{Z=6}=P{X=3,Y=3}=0.1Z23456P0.10.30.30.20.1（4分）（3）E(X)=1×0.3+2×0.3+3×0.4=0.3+0.6+1.2=2.1

E(Y)=1×0.4+2×0.4+3×0.2=0.4+0.8+0.6=1.8

E(XY)=1×1×0.1+1×2×0.1+1×3×0.1+2×1×0.2+2×2×0.1+2×3×0+3×1×0.1+3×2×0.2+3×3×0.1

=0.1+0.2+0.3+0.4+0.4+0+0.3+1.2+0.9=3.8

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=3.8-2.1×1.8=3.8-3.78=0.02（4分）

五、应用题30．解：

需检验假设：H0:σ≤0.9（即σ2检验统计量：χ2=(n−1)拒绝域：χ2计算检验统计量的值：

χ2因为χ2=42.667<42.98，不落在拒绝域内，所以接受H₀。2026年10月自考04183概率论与数理统计（经管类）押题及答案（七）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A,B为随机事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列说法正确的是（）

A．若A与B互不相容，则A与B必独立

B．若A与B独立，则A与B必互不相容

C．若A与B互不相容，则A与B必不独立

D．以上都不对2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有1件是不合格品，则另1件也是不合格品的概率为（）

A．15

B．25

C．133．设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctan⁡x，则常数A,B分别为（）

A．A=12,B=1π

B．4．设随机变量X服从参数为13的指数分布，则P{1<X<2}=（）

A．e−13−e−235．设X∼N(0,1)，则Y=2X+1∼（）

A．N(1,2)

B．N(0,1)

C．N(1,4)

D．N(1,1)6．设二维随机变量(X,Y)的分布律为已知{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则（）

A．a=0.2,b=0.3

B．a=0.3,b=0.2

C．a=0.4,b=0.1

D．a=0.1,b=0.47．设随机变量X与Y独立同分布，且X∼N(μ,σ2)，则（）

A．2X∼N(2μ,2σ2)

B．X+Y∼N(2μ,28．设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式，P{|X−E(X)|≥2}≤（）

A．12

B．14

C．19．设X1,X2,…,Xn是来自总体X∼N(μ,σ2)的样本，X是样本均值，S2是样本方差，则下列各式正确的是（）

10．在假设检验中，设原假设为H₀，则犯第一类错误是指（）

A．H₀为真，接受H₀

B．H₀不真，拒绝H₀

C．H₀为真，拒绝H₀

D．H₀不真，接受H₀二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11．设P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8，则P(A|B)=________．12．设P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A∪B)=0.6，则P(AB13．三人独立地向同一目标射击，命中率分别为0.6,0.7,0.8，则目标被击中的概率为________．14．设随机变量X的分布律为P{X=k}=12k,k=1,2,3,…，则15．设随机变量X在区间[2,5]上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，则至少有2次观测值大于3的概率为________．25．设总体X∼N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知，x1押题卷（七）参考答案及解析一、单项选择题1．C

【解析】若A与B互不相容且P(A)>0,P(B)>0，则P(AB)=0≠P(A)P(B)>0，故A与B必不独立。2．A

【解析】设A="至少1件不合格品"，B="2件都是不合格品"。

P(A)=1-C(6,2)/C(10,2)=1-15/45=2/3

P(B)=C(4,2)/C(10,2)=6/45=2/15

P(B|A)=P(B)/P(A)=(2/15)/(2/3)=1/53．A

【解析】由F(-∞)=0：A-B·π/2=0；由F(+∞)=1：A+B·π/2=1。

解得A=1/2，B=1/π。4．A

【解析】X~E(1/3)，P{1<X<2}=F(2)-F(1)=(1-e^(-2/3))-(1-e^(-1/3))=e^(-1/3)-e^(-2/3)。5．C

【解析】XN(0,1)，Y=2X+1N(2×0+1,2²×1)=N(1,4)。6．A

【解析】由规范性：0.4+a+b+0.1=1，a+b=0.5。

P{X=0}=0.4+b，P{X+Y=1}=a+b=0.5，P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=b。

独立：b=(0.4+b)×0.5→2b=0.4+b→b=0.4，a=0.1。选D。

（验证：0.4+0.1+0.4+0.1=1✓）7．B

【解析】X+Y~N(2μ,σ²+σ²)=N(2μ,2σ²)。8．A

【解析】由切比雪夫不等式，P{|X-E(X)|≥2}≤D(X)/2²=2/4=1/2。9．C

【解析】(X̄-μ)/(S/√n)t(n-1)是正确的。A应为X̄N(μ,σ²/n)；B应为(n-1)S²/σ²~χ²(n-1)；D应为N(0,1)。10．C

【解析】第一类错误（弃真）：H₀为真，拒绝H₀。二、填空题11．23

12．0.3

【解析】P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，0.6=0.4+0.3-P(AB)，P(AB)=0.1。

P(AB̄)=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=0.3。13．0.976

【解析】P(被击中)=1-P(都未击中)=1-0.4×0.3×0.2=1-0.024=0.976。14．13

15．2027

【解析】X~U[2,5]，P{X>3}=(5-3)/(5-2)=2/3。

16．(1−e−117．0.6

【解析】P{Y=1}=0.2+0.3=0.5。P{X=1|Y=1}=P{X=1,Y=1}/P{Y=1}=0.3/0.5=0.6。18．18.4

【解析】X~B(10,0.4)，E(X)=4，D(X)=2.4。E(X²)=D(X)+[E(X)]²=2.4+16=18.4。19．72

【解析】D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)=9×4+4×9=36+36=72。20．12

【解析】Cov(X,Y)=ρ_{XY}·√D(X)·√D(Y)=0.6×5×4=12。21．1−Φ(22．χ2(n−1)23．F(2,8)

【解析】X₁²/4+X₂²/4~χ²(2)/2，X₃²/4+...+X₁₀²/4~χ²(8)/8。

(X₁²+X₂²)/8/[(X₃²+...+X₁₀²)/32]=4(X₁²+X₂²)/(X₃²+.