2.1 第1课时 不等关系与比较大小-2026-2027学年高一数学上学期必修一人教A版课件

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与比较大小长短大小高矮轻重你能列举生活中的不等关系吗?你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗?1.雷声大，雨点小；2.捡了芝麻，丢了西瓜;3.道高一尺，魔高一丈;4.三个臭皮匠，顶个诸葛亮.【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子生活中的不等关系在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．文字语言大于高于超过多于小于低于少于大于等于至少不低于小于等于至多不多于不超过符号语言><≥≤1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；2.会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.(重点)3.学会用作差法比较两个实数的大小，掌握作差法比较大小的步骤.(重点、难点)数学建模：用不等式(组)表示实际问题，培养数学建模的核心素养逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式的性质，培养逻辑推理的核心素养

体会课堂探究的乐趣，汲取新知识的营养，让我们一起吧！进走课堂问题导入问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；解：设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40

问题1

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

解：设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足D,E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE.你能写出其他的可能情况吗？问题导入用不等式表示实际问题中不等关系的方法从实际问题中抽象出不等关系用字母表示不等关系中的相关量用不等号连接这些字母建立不等式数学抽象的过程以此研究相应的问题问题小结1．某环保平台规定，每回收1千克塑料瓶积5分，1千克废纸积3分．小明计划兑换至少200积分的礼品．设回收塑料瓶x千克，废纸y千克，则符合条件的不等式是()A．

5x+3y≤200B．5x+3y≥200C．5x−3y>200D．3x+5y<200B即学即练【解析】塑料瓶对应积5分，则x千克积5x分，废纸对应积3分，则y千克积3y分，至少即“≥”，故为5x+3y≥200．2．写出满足下列条件的不等式:(1)今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃．(2)某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高５m”．7℃≤t≤13℃即学即练问题2

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？

如何解这个不等式呢？怎样构建变量所满足的不等关系？1、要先弄清题意，分清是常量与常量、常量与变量的不等关系；2、类比等式的建立找到不等式，选准不等号连接；3、注意不等式与不等关系的对应，做到不重、不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围。问题导入问题3

解方程的主要依据是什么？类比解方程，你能找到解不等式的主要依据吗？解方程的主要依据：类比解不等式的主要依据：等式性质不等式性质比较两个式子的大小关系为此，我们需要先研究不等式的性质.问题导入

实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数___.ab

ba

a(b)

大>

<

＝如果a－b＞0

a＞b;如果a－b＝0

a＝b

；如果a－b＜0

a＜b.结论：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.作差法探求新知

作差变形判号定论典例解析0是正数与负数的分界点，它为比较实数的大小提供了“标杆”.这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法.作差法比较大小的一般步骤对差变形的目的是什么？你认为一般会用到哪一些方法？(1)作差；(2)变形；

(3)定号；(4)定论。目的：便于判定差的符号常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等如果差的符号不确定，该怎么办？当差的符号不确定时，一般需要分类讨论作结论的依据是什么？

根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论归纳小结即学即练

A

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作差法与“0”比较作商法与“1”比较方法基本事实表示转化适用于作差法1、如果a-b是正数，那么a>b;2、如果a-b等于0.那么a=b;3、如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对。a>b⇔a-b>0;a=b⇔a-b=0;a<b⇔a-b<0.比较两个实数的大小⇓比较它们的差与0的大小具有多项式结构特征的式子的大小比较作商法比较两个实数的大小⇓比较它们的商与1的大小含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小比较关于实数a,b大小的比较方法探求新知

3、平方法平方法的一般步骤：对两式先平方，再比较大小。4、介值比较法介值比较法的理论依据是：

若a>b,b>c,则a>c,其中b是a与c的中介值介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值。探求新知关于实数a,b大小的比较方法

即学即练

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探求新知问题4

如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使得它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？

ABCDEFGH设直角三角形的两条直角边的长为a,b(a≠b)，那么(1)正方形ABCD的边长为________；

正方形ABCD的面积S=________；

四个直角三角形的面积和S'

=

;(2)

S与S'有什么样的不等关系，如何表示？(3)

S与S'会出现相等的情况吗，什么时候相等？

S大于S'

ACDE(FGH)当a=b时

当a=b时，S=S'，即

a,b>0探求新知问题5

对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明.

探求新知作差法重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab当且仅当a=b时，等号成立.概念生成芭蕾舞演员在立起脚尖的时候，给人以美的享受，这是为什么呢？思考交流思考交流

实践作业请大家回去为自己和家人量一量身材，也许最美的东西就在你身边哦！如果是女性可以为她们设计高跟鞋的高度。人员下半身长x全身长y高跟鞋高度m甲乙丙丁世界上并不缺少美，只是缺少发现美的眼睛不等关系与比较大小利用不等式表示不等关系比较大小作差法：通常利用配方法化成完全平方式与0比较作商法：适用于同号的式子作商与1比较比较大小常用方法(1)利用不等式时，要注意等号能否取到(2)利用不等式表示不等关系时要注意实际意义数学建模：用不等式(组)表示实际问题，培养数学建模的核心素养逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式的性质，培养逻辑推理的核心素养方法总结核心知识易错提醒核心素养1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为(

)A.v≤120km/h且d≥10m B.v≤120km/h或d≥10mC.v≤120km/h D.d≥10mA【解析】选A.v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10m，即d≥10m.2．某企业年度碳排放配额为1200吨。其中使用技术A减排a吨，每吨成本为200元；其余使用技术B减排，每吨成本为180元，但需额外支付5000元设备费，要求该企业本年度碳排总成本不超过25万元，则用不等式表示为()A.200a+180(1200-a)+5000>250000B.200a+180(1200-a)+5000<250000C.200a+180(1200-a)+5000≥250000D.200a+180(1200-a)+5000≤250000D【解析】选D.“不超过”即“≤”，故D选项符合.3．如图，在一块长为22m,宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分別与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm,根据题意可列出的不等式为(

)A.(22-x)(17-x)≤300B.(22-x)(17-x)≥300C.(22-x)(17-x)>300D.(22-x)(17-x)<30022m17mxB【解析】选B.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，

设道路的宽应为x米，草坪面积为(22﹣x)(17﹣x)，因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x)>300.4．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是()D【解析】选D.“不低于”即“≥”，故x≥95；“高于”即“>”，故y>380；“超过”即“>”，故z>45.5．若b<0，a＋b>0，则a－b的值(

)A．大于零 B．小于零C．等于零 D．不能确定【解析】选A.因为b<0，a＋b>0，所以a>－b>0，所以a－b>0.A6．设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为(

)A．M>N

B．M=NC．M<N D．与x有关A

7．若实数a>b，则a2－ab____ba－b2.(填“>”或“<”)>【解析】因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0，所以a2－ab>ba－b2.8．用不等式或不等式组表示下面的不等关系:(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;(2)a与b的和是非负实数;