巧用“等时圆”解物理问题

(完整word)(完整word版)巧用“等时圆”解物理问题(完整word)(完整word版)巧用“等时圆”解物理问题PAGEPAGE5(完整word)(完整word版)巧用“等时圆”解物理问题巧用“等时圆"解物理问题一、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为（如右图)。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为,所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。二、等时圆模型（如图所示)图a图b图a图b三、等时圆规律1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（)自由落体的时间,即(式中R为圆的半径。)结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。图1A四、图1A1、可直接观察出的“等时圆”【例1】如图1所示，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C。水平面D.无法确定图1图2解析：由“等时圆”可知,同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”图1图2【例2】如图2所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点.每根杆上都套有一个小滑环(图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则()A。t1<t2<t3B.t1〉t2〉t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图2’所示,设圆半径为R,由牛顿第二定律得：①再由几何关系，细杆长度②图1xymgθ图2’图1xymgθ图2’由以上三式得，④可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确.ABCDM图3【例3ABCDM图3A、a球最先到达M点B、b球最先到达M点C、c球最先到达M点D、d球最先到达M点解析：设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta==2,tb>ta;c做自由落体运动tc=;而d球滚下是一个单摆模型,摆长为R，图4td==，所以C正确。图4【例4】圆O1和圆O2相切于点P，O1、O2的连线为一竖直线，如图4所示。过点P有两条光滑的轨道AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿AB、CD下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是()A。t1〉t2B。t1=t2C。t1<t2D.无法判断解析:因AB、CD处在两个“等时圆”上，所以正确答案为B。OOABLL图52、运用等效、类比自建“等时圆”【例5】如图5,在斜坡上有一根旗杆长为L,现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部,又知OB=L.求小环从A滑到B的时间.解析：可以以O为圆心,以L为半径画一个圆.根据“等时圆"的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间,所以有OOABLLD图5’ABPHhO图6【例6】如图6所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H,现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由AABPHhO图6解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。图6’ABPH图6’ABPHhOO1所以【例7】两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为l，只是乙斜面由两部分组成,如图7所示,将两个相同的小球从斜面的顶端同时由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先到达斜面底端？图7图7’解析：构想一辅助圆如图7’所示:在AF上取一点O，使OA=OC，以O点为圆心，以OA为半径画圆，此圆交AD于E点。由“等时圆”可知，，由机械能守恒定律可知：，,所以。又因为两斜面的总长度相等，所以，根据得,，所以有，即乙球先到达斜面底端。图7图7’图图8【例8】如图8，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？图8’解析：如图8’所示，通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切。然后，画倾角不同的屋顶、、…图8’从图4可以看出:在不同倾角的屋顶中,只有是圆的弦,而其余均为圆的割线。根据“等时圆”规律，雨水沿运动的时间最短,且最短时间为而屋顶的倾角则为PAθB图9’COAPAθB图9’COAθB图9P解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切,如图9'所示,C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等.因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。图1图1图10三、“形似质异”问题的区分【例10】还是如图10的圆周,如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ—μgsinθ，tbd==2.可见t与θ有关。θaObc图11【例11】如图11，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为30θaObc图11A、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上,所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则=gsinθt2，t2=，当θ=450时，t最小，当θ=300和600时，sin2θ的值相等。图图12练习1:如图9，底边为定长b的直角斜面中,球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端,至少需要多少时间？图12’解析:用作图求解。如图12’，以b为半径、O为圆心作一个圆，作出圆的一条竖直切线MN，于圆切于D点。A点为所作圆的最低点.由图可看出:从MN上不同的点由静止滑到A点，以DA时间为最短.（由“等时圆”可知,图中E/、D、C/各点到达A的时间相等。）所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45°的时间为最少，而且此时间与球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。所以图12’图13练习2：在离坡底B为10cm的山坡面上竖直地固定一根直杆，杆高OA也是10cm。杆的上端A到坡底B之间有钢绳,一穿心于钢绳上的物体（如图11)从A点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求它在钢绳上滑行时间（g=10m/s2

图13图13’解析：如图13图13’s。“等时球”--“等时圆”概念演变过空间一点作无数条直线光滑轨道,求某时刻圆环所在点构造的面问题,这里证明如下：

“等时圆”的条件是从圆的最高点发散状光滑轨道，或者从圆周上汇聚至最低点的轨道滑行时间等时问题，对于上述球状例子，画图如下：C1表示竖直平面，C2表示与C1相交的平面。任取竖直平面内一条轨道，从顶点A沿所在竖直平面轨道AB无摩擦下滑到达其圆周上点B的时间为t1.

根据等时圆理论，t1等于从点A沿AD自由落体至底部点D的时间。

同理,轨道AC所在直线与AD相交，AD⋂AC