2026-2027学年上学期北师大版数学八年级上册全册教案教学设计

2026-2027学年上学期八年级上册教教案1探索勾股定理(第1课时)角形的主要依据之一。勾股定理把形的特征(三角形中一个角是直角)转化成数量关系 三、教学目标教学重点：探索勾股定理的内容。教学难点：探寻直角三角形三边数量关系。【第二环节】动手实践，发现定理可能的关系(2)如图2,方格纸中每个小方格的边长均为1.直角三角形三条边长度的平方分别(3)如果直角三角形的两条直角边的长度分别为1.6和2.4,那么上面所猜测的数量关系还成立吗?说说你的理由。(1)通过让学生画一画、量一量、算一算，自主探究，初步猜想直角三角形的三条边的数量关系。3.注意事项的面积(即c)。1,能否解决课程开始的问题2.随堂练习1,2(1)勾股定理的内容是什么?它有什么作用?①完成习题1.1知识技能：第1,2,3题。问题解决：第6,7题。②完成习题1.1数学理解：第4题。五、教学反思2.突出重点、突破难点的策略学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法，但学生对用割补的方法及面积法证明几何命题的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系有机地结合还很陌生。因此，在教学中让学生直接发现“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”有一定的难度，这就需要由浅入深地设置问题，先从等腰直角三角形入手，引导学生发现规律，再从特殊到一般，探究一般直角三角形是否满足规律。探究活动中，学生第第一章勾股定理1探索勾股定理(第2课时)二、学生起点分析三、教学目标【第一环节】创设问题，引发回忆1.活动内容3.注意事项方法一：割正方形C,如图2。方法二：补正方形C,如图方法一：还能计算出正方形C的面积吗?如图4,你是如何做的?图5。(2)图5、图6中正方形ABCD的面积分别是多少?你有哪些表示方式?(3)你能分别利用图5、图6验证勾股定理吗?1.活动内容他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图6称为“赵爽弦图”,20年国际数学家大会会标的主要图案(如图7)就取材于此图。2.活动目的图102.活动目的3.注意事项中用字母、数据表示出来(如图9)?能否根据图9所示的几何模型解决实际问题?1.活动内容方等于另外两边长的平方和”吗?以图11为例(方格纸中每个小方格的边长均为1),说2.飞机在空中水平飞行，飞机距离某建筑的竖直高度为4km,过了20s,飞机与该建问题2:对这些内容你有什么体会?基础作业：习题1.1知识技能第3题。拓展提升作业：习题1.1第6,7题。2.活动目的四、教学反思2.突出重点、突破难点的策略分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a²+b²=c²。图第一种方法：如图2,边长为c的正方形可以看作是由4个两条直角边正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可aab第二种方法：如图3,这个直角梯形是由2个两条直角边长分别为a,b,勾股定理及其验证方法主要考查利用勾股定理求三角形的第三边。题型多样，填空题、选择题、解答题均有可能出现，常与直角三角形、三角函数、四边形、圆等知识点综合进行考查。1.利用勾股定理求直角三角形的第三边的长度时，应先明确哪条边是直角4.应用勾股定理解题时，只能是在同一个直角三角形中，才能求第三边的典型例题;a²=b²+c²=3²+4²=25.(1)当BC为斜边时，BC²=AB²+AC²=4²+3²=25,所以BC=5;积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图4或图5aa请参照上述证法，利用图5完成下面的证明。将两个全等的直角三角形按图5所示摆放，其中∠DAB=90°。求答案：BD,过点B作DE边上的高BF(如图6)则BF=b-a第一章勾股定理2.一定是直角三角形吗三、教学目标3.经历一般规律的探索过程，发展抽象思维能力、归纳能力，进一步体会数形结合思想的应用。(2)在直角三角形中(如图1、图2所示),已知两条边的长度，利用勾股定理求出第341.活动内容3,4,5;5,12,13;8,15,17;7,2例如3,4,5;8,15,17等都是勾股数。(3)下列各组数是勾股数的是()。A每道题都要求学生独立完成(5分钟),并指出各题分师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示(单位：cm),这个零件符合要求吗?(2)如图5.在正方形ABCD中，AB=4,AE=2,DF=1.图中共有几个直角三角形?问题1是例题，以教师讲解为主；问题2主要是让学生练习，巩固所学；问题3为备必做题：习题1.2第1,2,3,4,5题。选做题：你还能找出哪些勾股数呢?这些勾股数有着五、教学反思附：板书设计已知已知结论图形能得到直角三角形吗例1用几何语言表述为：因为a²+b²=c²,所以∠C=90,即若a²+b²=c²,则此三角形是直角三角形；若a²+b²<c²,则此三角形是钝角三角形；若a²+b²>c²,则此三角形是锐角三角形。例1下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是()例2在如图2所示的方格纸中，每一格小正方形的边长均为1,小莉画出一个等腰直角三角形ABC,她画得对吗?请你设法验证一下。勾股定理求出三边长a,b,c,若满足a²+b²=c²,则为直角三角形。所以△ACB是等腰直角三角形。例3如图3,有一块地，已知AD=4m,CD=3m,的关键在于利用勾股定理的逆定理推导出△AC解：如图4,连接AC。勾股数满足a²+b²=c²(c为最长边)的三个正整数，称为勾股数。2.勾股数有无数组，常见的有：3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,12,15;9,40,41等。(1)满足a²+b²=c²(c为最长边2.每组勾股数中必有一个为5的倍数。例1下列各组数是勾股数的有()UA.1,4,5U足a²+b²=c²;只有B选项满足：5²+12²=13²,是勾股数。所以DC=AB=8cm,BC=AD=10cm,∠B=∠C=90。又因为折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的所设EC的长为xcm,则EF的长为(8-x)cm,根据题意，得(8-x)²=x²+4²,解得x=3,即EC的长为3cm。第一章勾股定理3勾股定理的应用本节课是北师大版数学八年级(上册)第一章“勾股定理”第3节。学生已经初步掌握勾股定理及其逆定理，也掌握了一些较为零散的解决此类问题的方法，但知识和方法尚未形成完整的体系。本节课的具体要求是，在解决这些实际问题的过程中，学生需经历对实际问题中的文字描述、数学符号以及几何图形的理解与抽象过程，把抽象出的问题转化为与直角三角形相关的问题，或利用三角形三条边长度的数量关系a²+b²=c²判定是否为直角三角形。在勾股定理的一些实际应用中，要求学生能够抽象出数学图形，通过构建数学模型(构建直角三角形),建立方程求解边长。“勾股定理的应用”一节的教学，不仅需要学生加强对以往知识的理解，更强调学生要从实际问题中提炼出直角三角形的模型，继而通过分析某个直角三角形中三条边长度的数量关系，建立方程解决问题。.二、学情起点分析1.通过构建直角三角形，巩固勾股定理及逆定理的应用。2.在实际问题中抽象出数学问题，并通过列方程加以解决，培养和提高抽象能力、运算能力、数学模型思想和应用意识等核心素养。教学重点：勾股定理及逆定理的应用。【第一环节】情境引入，提出问题AD垂直于边AB吗?当在问题(1)中建立了解决问题的策略之后，问题(2)在问题(1)的基础上，教师一步思考如何构造三角形来解决问题，明确构成直角三角形的条件：三边的长度满足3.注意事项【第二环节】合作探究，解决问题1.活动内容如图2,正方形纸片ABCD的边长为8cm,点E是边AD的于点G,交边CD于点F。你能求出DF的长吗?3.注意事项你能求出DF的长吗?齐。问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》,1丈=10尺)【第四环节】解题反思，感受策略1.活动内容(1)五根小木棒的长度分别是7cm,个是正确的?9(2)如图5,一座城墙高11.7m,墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根9m处架一架长为15m的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端?为什么?(3)如图6所示，当秋千OA静止的时候，踏为1尺(即AC=1尺),将秋千往前推动两步(这里“两步”在古代计量中，一步约为5尺，即EB=10尺)后，此时踏板距离地面的竖直高度增加到5 (4)运用勾股定理解决问题，关键是要发现直角三角形，如果没有现成的直角三角形，就需要构建直角三角形。通过小结，学生可以梳理本节课的主要知识和学习的方法，体会到在实际生活中数学知识的广泛应用以及数学建模的重要性。更重要的是在复盘这节课的学习时，要去思考知识形成的过程，学会如何在以后的生活中，常常带着数学的眼光观察现实世界，做一个数学的“有心人”。3.注意事项让学生各抒己见，针对问题自由发挥，锻炼学生的表达能力和对知识的复盘整理能力，(1)必做题：习题1.3第1,2,3题。五、教学反思1.精选素材内容三角形，可以通过添加辅助线的方法构造出直角三角形，再利用勾股定理解典型例题的长等于()。A.10B.8C.6或10D.8或10情况对三角形的边长BC进行讨论。根据题意，可得(如图1例2如图3,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路C.√61cm意，利用轴对称原理(如图4)可知蚂蚁爬行的最短路径是线段A'B,它正好是Rt△A'DB的斜边，而A'D为底面周长例3如图5,C为线段BD上一动点，分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,设(1)用含x的代数式表示AC+CE的长。值最小?最小值是多少?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式√x²+4+√(12-x)²+9解：(1)因为CD=x,所以BC=8-x。 EE根据(2)中的规律和结论构造图7,如图7,过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F,则第一章勾股定理☆问题解决策略：反思二、学情分析三、教学目标2.在解决问题的过程中，体会反思策略。教学重点：反思策略的感悟与习得。教学难点：在不同问题中反思策略的使用。制作学具：用矩形纸片做成高为12cm、底面圆的周长为18cm的圆柱。如图，一个圆柱的高为12cm、底面圆的周长为18cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对A理解问题，在回答问题(2)时，学生通过实际操作，自然想要将空间(曲)问题转化为平面(平)问题。追问之前遇到的都是哪些问题?如何解决?解决问题的根据是什么?这个问题与之前确定?(2)在图中标出点B的位置。【第四环节】解题反思，感受策略回顾反思例1如图，圆柱的高为13cm,底面周长为10cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚊，它想吃到与点A相对、离上底面1cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?在此基础上引导学生思考改变圆柱的形状呢?一定是沿侧面最短吗例3如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别是8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁爬行的最短路程是多少?(1)教科书第17页问题第1,2题。(2)请你围绕教科书第17页问题第1(2)题，写一篇解题后的反思小作文。2.活动目的通过课后作业让学生巩固本节课所获得的立体图形中路径最短问题的解决方法，使学生再次体会反思这一问题解决策略的意义。.五、教学反思1.要充分利用好教材提供的素材2.尊重教材，领会编者意图以“蚂蚁怎么走最近”为载体，带领学生经历“问题一理解问题—拟订计划—实施计划一回顾反思”的过程，使问题解决的过程程序化。第一章勾股定理二、学生起点分析三、教学目标2.在回顾与思考的过程中，建立模型观念，提高解决问题、反思问题的能力。BA.1,2,3B.0.3,0.4,0.5BC.6,8,12的最短路程为()。现实情境3.注意事项【第二环节】典例分析1.活动内容已知大正方形的边长为10,直角三角形的两条直角边的比是3:4,变式1:在△ABC中，∠C=90°,BC:AC=3:4,AB=10,求变式2:在△ABC中，∠C=90°,BC:AC=3:4,△A变式3:在△ABC中，三条边长度的比为3:4:5,△ABC的周长为48,求△ABC的面积。AA(2)若圆柱高为9cm,底面半径cm,水深2cm,一只蚂蚁在点A处。3.注意事项EE(1)教科书复习题第2,6,9,11题。第二章实数1认识实数(第1课时)学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些拼图操作、网格画三、教学目标1.在有理数认识的基础上，结合图形判断正方形的边长是不是有理数，感受客观世界中无理数的存在；能用有理数估计一个无理数的大致范围。【第一环节】回顾置疑(2)一个分数的平方一定是分数吗?2.活动目的(1)如图2,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?它是我们学过的数吗?通过动手操作，初步感知客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数不够用了”。3.注意事项面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图3,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由。(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器(4)面积为5的正方形的边长b的值是多少?b可能是有限小数吗?与同伴进行交流。(2)活动最后，教师需要明晰：事实上，a=1.