材料力学（I）（第5版）课件 ch3 轴向拉压变形

第

3

章轴向拉压变形单辉祖编著：材料力学Ⅰ（第５版）单辉祖：材料力学Ⅰ1第

3

章轴向拉压变形

本章主要研究：

轴向拉压变形分析的基本原理

简单拉压静不定问题分析

热应力与初应力分析

单辉祖：材料力学Ⅰ2

§1

拉压杆的变形

§2

节点位移与小变形

§3

应变能概念

§4

简单拉压静不定问题

§5

热应力与初应力

单辉祖：材料力学Ⅰ3§1

拉压杆的变形

轴向变形与胡克定律

横向变形与泊松比

例题单辉祖：材料力学Ⅰ4

轴向变形与胡克定律分析基础－胡克定律

比例极限内,正应力与正应变成正比E－弹性模量,应力-应变图直线段的斜率值轴向变形

拉压杆沿轴线方位的变形横向变形

拉压杆垂直轴线方位的变形单辉祖：材料力学Ⅰ5轴向变形基本公式

EA－杆截面的

拉压刚度

Dl－伸长为正,缩短为负在比例极限内,拉压杆的轴向变形Dl,与轴力FN及杆长l成正比,与乘积EA成反比－仍称胡克定律单辉祖：材料力学Ⅰ6轴向变形一般公式

n－总段数FNi－杆段

i

的轴力

变截面变轴力杆

阶梯形杆单辉祖：材料力学Ⅰ7

横向变形与泊松比拉压杆的横向变形泊松比试验表明：在比例极限内,e’

e,

并异号,m－泊松比

Db－杆的横向变形－杆的横向正应变b－杆的宽度引入比例常数m,得单辉祖：材料力学Ⅰ8

例题例题

已知

l=54mm,di

=15.3mm,E=200GPa,m=

0.3,

拧紧后,AB

段Dl=0.04mm,试求螺栓s,Dd与受力。解：1.

螺栓横截面正应力2.螺栓横向变形

3.螺栓受力单辉祖：材料力学Ⅰ9例

题

图示螺纹杆,承受轴向载荷F,横截面面积为A,弹

性模量为E,试计算螺纹杆的轴向变形。解：1.计算简图载荷集度为设AD段的外力沿杆轴均匀分布单辉祖：材料力学Ⅰ10杆段AD：2.轴向变形分析杆段DB：结论：单辉祖：材料力学Ⅰ11例

题图示椭圆形截面杆,承受轴向载荷F作用。已知弹性常数E与m，试计算杆件的体积改变量。

解：展开并略去高阶小量单辉祖：材料力学Ⅰ12§2

节点位移与小变形概念

节点位移分析

小变形概念

例题单辉祖：材料力学Ⅰ13

节点位移分析1.轴力与变形分析

图示桁架,杆1与2分别用钢与松木制成。F

=

10

kN;E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

10

GPa,A2

=

4000

mm2。试求节点

A的水平与铅垂位移。单辉祖：材料力学Ⅰ14

圆弧法

切线代圆弧法2.作图法求节点位移3.节点位移计算用切线或垂线代替圆弧作图单辉祖：材料力学Ⅰ15

小变形概念小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形应用：在小变形条件下,通常即可：

按结构的原有几何形状与尺寸,计算约束反

力与内力

采用切线代圆弧的方法确定节点位移单辉祖：材料力学Ⅰ16例

题

F1

=

F2

/

2

=

F，求截面

A

的位移DAy解：1.计算FN与Dl

例题3.位移计算2.画变形图刚体EA由Dl与C点垂线确定C’,再由BC’延长线与A点垂线AA’确定A’单辉祖：材料力学Ⅰ17解：1.计算FN与Dl3.位移计算2.画变形图例

题图示桁架,承受载荷F作用,各杆EA相同,求节点A的位移。

由Dl1与Dl2确定B’

；A点铅垂线与A2水平线相交,确定A’单辉祖：材料力学Ⅰ18解：例

题梁BD为刚体,承受F作用,各杆E相同,

A1=2A2=2A3,

求C点位移，

过B1作水平直线,过B作杆2垂线,二者相交于B’,代表刚杆的水平位移

过D1作水平直线,取,D’即节点D的新位置

取,过C1作铅垂线,与轴线B’D’相交于C’,此即中点C的新位置单辉祖：材料力学Ⅰ19§3

应变能概念

应变能与功能原理

外力功与应变能计算

拉压与剪切应变能

例题单辉祖：材料力学Ⅰ20

应变能与功能原理应变能与外力功

弹性体因变形而储存的能量－应变能

Ve

外力在变形过程中所作之功－外力功

W

功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大,弹性体的动能与热能等的变化均可忽略不计。

根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能，数值上等于外力所作的功弹性体功能原理单辉祖：材料力学Ⅰ21

外力功与应变能计算

线弹性杆的外力功

线弹性拉压杆的外力功与应变能单辉祖：材料力学Ⅰ22

拉压与剪切应变能单位体积内应变能－应变能密度拉压应变能密度剪切应变能密度单辉祖：材料力学Ⅰ23

例题解：1.

轴力分析例题

用能量法计算DBy2.应变能计算3.位移计算单辉祖：材料力学Ⅰ24解：例题承载刚性杆AB,由钢丝、光滑滑轮支持。钢丝产生单位轴向变形所需之力为k,试求端点B的铅垂位移DB钢丝应变能：外力功：功能原理：单辉祖：材料力学Ⅰ25例

题

图示隔振器，钢杆与钢套可视为刚体，橡皮的切变模量为G

。求橡皮管内的应力

t

与钢杆的位移

D。解：1.应力分析单辉祖：材料力学Ⅰ262.应变能计算3.位移计算单辉祖：材料力学Ⅰ27§4

简单拉压静不定问题

静不定概念

拉压静不定问题分析

例题单辉祖：材料力学Ⅰ28

静不定概念

静不定度未知力数与独立平衡方程数之差增加杆AD,增加一未知力两个未知力,两平衡方程

静不定问题

仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题

静定问题

仅由平衡方程即可确定全部未知力的问题

静不定问题特点

存在多余杆件或约束，于是静定变为

静不定,同时限制了各杆变形,使其相互关联单辉祖：材料力学Ⅰ29

拉压静不定问题分析

建立平衡方程

建立补充方程补充方程变形协调方程

联立求解求解思路多余约束使各杆变形满足一定关系单辉祖：材料力学Ⅰ30

平衡方程

补充方程

联立求解－变形协调方程E1A1=E2A2求解算例－补充方程单辉祖：材料力学Ⅰ31综合考虑三方面

外力与FNi

满足静力平衡方程

各

Dli

之间满足变形协调方程

Dli

与FNi

间满足给定物理关系（如胡克定律）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点

内力不仅与载荷有关,而且与截面刚度有关

一般讲,对于杆i,

EiAi

加大,FNi

也加大内力特点：单辉祖：材料力学Ⅰ32

例题例题

求两端固定杆的支反力解：联立求解式(a)与(b)一度静不定单辉祖：材料力学Ⅰ33解：

画变形图与受力图注意受力图与变形图协调

伸长～拉力；缩短～压力例题

已知

F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

MPa，A1=A2。试问

A1=?A2=?

建立平衡方程

建立补充方程单辉祖：材料力学Ⅰ34

截面设计

内力计算联立求解平衡方程与补充方程结构条件：A1=

A2单辉祖：材料力学Ⅰ35例题图示桁架,承受水平载荷F作用,杆1长l,各杆各截面EA相同,试计算各杆轴力。

求解

节点A存在双侧约束,只能水平移动。解：问题分析

设节点A位移至A’,各杆均伸长,

未知力3个,独立平衡方程两个,一度静不定。各杆均受拉。联立求解,得单辉祖：材料力学Ⅰ36例题图示桁架,承受铅垂载荷F作用,各杆各截面EA

相同,杆3长度为

l,a=45º,试求各杆的轴力。

分析：A,B两节点,4平衡方程,5未知轴力,一度静不定。节点C下移,杆1

3均受拉；变形协调方程为节点B随之下移,杆4,5均受压单辉祖：材料力学Ⅰ37解：变形协调方程为利用胡克定律,得补充方程为根据节点B与C的平衡,得

联立求解平衡方程与补充方程,得并从而有

单辉祖：材料力学Ⅰ38§5

热应力与初应力

热应力与初应力概念

例题单辉祖：材料力学Ⅰ39

热应力与初应力概念引起应力的非力学因素1.温度变化2.杆长制造误差强致安装后两端固定杆,温度变化DT两端固定杆,制造误差d单辉祖：材料力学Ⅰ40热应力与初应力

由于杆长制造误差或温度变化,结构在未受载时即已存在的应力,分别称为初应力与热应力

在静不定结构中,各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件,因此,温度变化或杆长制造误差,一般将引起应力

由于杆长制造误差或温度变化，静不定结构将可能存在热应力与初应力－静不定结构特点

由于杆长制造误差或温度变化，静定结构将发生外形改变,但不会引起热应力与初应力－静定结构特点单辉祖：材料力学Ⅰ41

例题例题

杆1温度升高

DT,求

FN1,FN2与支座

C

反力解：1.画变形图2.画受力图注意分清哪一段是弹性变形

Dl,哪一段是热膨胀

dT注意轴力

FN与轴向变形

Dl的协调3.

建立平衡方程单辉祖：材料力学Ⅰ424.建立补充方程5.联立求解单辉祖：材料力学Ⅰ43例

题结构左右对称,杆3误差d,试建立平衡与补充方程解：画变形图画受力图

建立平衡与补充方程

单辉祖：材料力学Ⅰ44例

题AC为刚体,各