材料力学（I）（第5版）课件 ch4 扭转

第

4

章扭转单辉祖编著：材料力学Ⅰ单辉祖：材料力学Ⅰ1第

4

章扭转

圆截面轴的扭转应力与变形

圆截面轴的扭转强度与刚度

矩形等非圆截面轴扭转

薄壁截面轴扭转本章主要研究：单辉祖：材料力学Ⅰ2

§1

引言

§2扭矩

§3

圆轴扭转应力

§4

圆轴扭转强度与合理设计

§5

圆轴扭转变形与刚度条件

§6

简单静不定轴

§7

非圆截面轴扭转

§8

薄壁杆扭转单辉祖：材料力学Ⅰ3§1引言

扭转实例

扭转及其特点单辉祖：材料力学Ⅰ4

扭转实例MFF单辉祖：材料力学Ⅰ5

扭转及其特点变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转,轴线仍为直线－扭转变形外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转

以扭转为主要变形的杆件－轴扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩扭转角：横截面饶轴线间的相对角位移单辉祖：材料力学Ⅰ6§2

扭矩

功率、转速与扭力偶矩的关系

扭矩与扭矩图

例题单辉祖：材料力学Ⅰ7

功率、转速与扭力偶矩的关系传动轴是一种常见受扭构件。现研究轴的转速n(r/min),

所传递功率P(kW)与扭力偶矩M(N.m)间的关系。设角速度为

(rad/s)例:P＝5kW,n=1450r/min,则单辉祖：材料力学Ⅰ8

扭矩与扭矩图扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩，并用

T

表示符号规定－按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，

矢量方向与横截面外法线方向一致

的扭矩为正，反之为负扭矩单辉祖：材料力学Ⅰ9扭矩图（m－轴单位长度内的扭力偶矩）试分析轴的扭矩在x

-T平面内,扭矩沿杆轴变化的图线,称为扭矩图根据上述方程，画扭矩沿杆轴的变化曲线单辉祖：材料力学Ⅰ10

例题例

题

MA=76N

m,MB=191N

m,MC=115N

m,画扭矩图解：单辉祖：材料力学Ⅰ11§3

圆轴扭转应力

扭转试验与假设

扭转应力分析

薄壁圆管扭转切应力

极惯性矩与抗扭截面系数

例题单辉祖：材料力学Ⅰ12

扭转试验与假设圆轴扭转时,横截面仍保持平面,其形状、大小与间距均不改变,而且,半径仍为直线,称为扭转平面假设

当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变扭转平面假设扭转试验

各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面单辉祖：材料力学Ⅰ13扭转变形交互式动画,演示正或负扭矩及其大小变化下圆轴的变形或通过按钮点击画面单辉祖：材料力学Ⅰ14

扭转应力分析物理方面几何方面dj

/

dx－扭转角变化率单辉祖：材料力学Ⅰ15静力学方面应力与变形公式－极惯性矩－抗扭截面系数公式的适用范围：圆截面轴；单辉祖：材料力学Ⅰ16

薄壁圆管扭转切应力假设

切应力沿壁厚均匀分布适用范围适用于所有匀质薄壁杆,包括弹性、非弹性、各向同性与各向异性情况公式精度在线弹性情况下,当

d≤R0/10

时,误差≤4.53

单辉祖：材料力学Ⅰ17

极惯性矩与抗扭截面系数

空心圆截面

实心圆截面单辉祖：材料力学Ⅰ18

例题例

题已知MC=2MA=2MB=200N·m；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。解：单辉祖：材料力学Ⅰ19例

题直径为d圆截面轴,应力应变关系为t=kgn,式中,k与n为材料常数,试利用平面假设建立扭转切应力公式。

解：根据平面假设由静力学可知于是得由此得扭转切应力为单辉祖：材料力学Ⅰ20例题图示托架,承受铅垂载荷F作用。各铆钉的材料相同,直径均为

d,试求铆钉的最大剪切应力。

在分析中,视托架为刚体。解：在F作用下,托架刚性铅垂下移,各铆钉的剪切应力均为

将载荷F平移至铆钉群剪切面形心C,得集中力F与矩为Fl的附加力偶M。在M作用下,托架绕C点刚性转动。设铆钉1的剪切应力为tM1,则铆钉2的剪切应力

tM2=tM1/3,从而有单辉祖：材料力学Ⅰ21§4

圆轴扭转强度与合理设计

扭转极限应力

圆轴扭转强度条件

圆轴合理强度设计

例题单辉祖：材料力学Ⅰ22扭转极限应力塑性材料屈服断裂脆性材料断裂扭转屈服应力与扭转强度极限,统称为扭转极限应力tu圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限扭转极限应力扭转失效形式单辉祖：材料力学Ⅰ23圆轴扭转强度条件tu－扭转极限应力n-安全因数塑性材料：[t]=（0.5~0.577）[s]

脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[st]为保证轴不因强度不够而失效,要求轴的最大扭转切应力不超过扭转许用切应力危险点处于纯剪切状态,又有单辉祖：材料力学Ⅰ24圆轴合理强度设计1.

合理截面形状若

Ro/d

过大将产生皱褶空心截面比实心截面好2.

合理截面变化－采用变截面轴与阶梯形轴注意减缓应力集中单辉祖：材料力学Ⅰ25

例题例

题

已知

T=1.5kN

.

m，[t]

=

50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与

a

=

0.9

的空心圆轴，并进行比较。解：1.确定实心圆轴直径2.

确定空心圆轴外径3.重量比较空心轴远比实心轴轻单辉祖：材料力学Ⅰ26解：1.扭矩分析例

题

R0=50

mm的薄壁圆管,左、右段的壁厚分别为

d1=5mm,d2=4mm,m=3500N

.m/m,l=1m,[t]=50MPa,

试校核圆管强度。2.

强度校核危险截面：截面A与B单辉祖：材料力学Ⅰ27例

题

密圈螺旋弹簧应力分析与强度条件解：1.内力分析密圈螺旋弹簧—螺旋升角a

很小的弹簧单辉祖：材料力学Ⅰ282.应力分析3.应力修正公式4.

强度条件[t]－纯剪切许用切应力单辉祖：材料力学Ⅰ29§5

圆轴扭转变形与刚度条件

圆轴扭转变形

圆轴扭转刚度条件

例题单辉祖：材料力学Ⅰ30

圆轴扭转变形圆轴扭转变形一般公式GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度常扭矩等截面圆轴单辉祖：材料力学Ⅰ31

圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件[q

]－单位长度的许用扭转角

注意单位换算:

一般传动轴，

[q

]=0.5~1

()/m单辉祖：材料力学Ⅰ32

例题例题

已知：MA=180N.m,MB=320N.m,MC=140N.m,

Ip=3105mm4,l=2m,G=80GPa,[q]=0.5()/m。jAC=?校核轴的刚度解：1.变形分析单辉祖：材料力学Ⅰ332.刚度校核注意单位换算！单辉祖：材料力学Ⅰ34例题

试计算图示圆锥形轴的扭转角解：单辉祖：材料力学Ⅰ35例题图示密圈弹簧,由n圈弹簧丝组成,弹簧直径为Ｄ,切变模量为

Ｇ,在拉力F作用下，试计算弹簧的轴向伸长l。解：弹簧的轴向伸长主要是弹簧丝的扭转变形造成的。

微段ds的扭转角与应变能分别为根据功能原理弹簧丝的总长为

弹簧的应变能为

单辉祖：材料力学Ⅰ36§6

简单静不定轴

扭转静不定问题分析

例题单辉祖：材料力学Ⅰ37

扭转静不定问题分析问题

试求图示轴两端的支反力偶矩问题分析未知扭力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定单辉祖：材料力学Ⅰ38建立补充方程计算支反力偶矩联立求解方程(a)与(b)

单辉祖：材料力学Ⅰ39

例题例题

已知

G1

=G2

=

G，Ip1=2Ip2，试求圆盘的转角。解：1.建立平衡方程单辉祖：材料力学Ⅰ402.建立补充方程3.扭矩与圆盘转角联立求解方程(a)与(b)

单辉祖：材料力学Ⅰ41例题由铜管与钢轴组成组合轴,二者的截面极惯性矩分别为Ipc与Ips,且Ipc/Ips=b,钢与铜的切变模量分别为Gs与Gc,且Gs/Gc=2,扭力偶矩为M,试求铜管的扭矩。解：单辉祖：材料力学Ⅰ42§7

非圆截面轴扭转

矩形截面轴扭转

椭圆等非圆截面轴扭转

例题单辉祖：材料力学Ⅰ43

矩形截面轴扭转

圆轴平面假设不适用于非圆截面轴试验现象

截面翘曲,角点处

g为零,侧面中点处

g最大单辉祖：材料力学Ⅰ44应力分布特点

横截面上角点处,切应力为零

横截面边缘各点处,切应力

//

截面周边

横截面周边长边中点处,切应力最大单辉祖：材料力学Ⅰ45弹性力学解系数

a,b,g表长边中点

t最大a

0.208

0.219

0.231

0.239

0.246

0.258

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

b

0.141

0.166

0.196

0.214

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

g

1.000

0.930

0.859

0.820

0.795

0.766

0.753

0.745

0.743

0.742

0.742

0.742

单辉祖：材料力学Ⅰ46狭窄矩形截面扭转h－中心线总长推广单辉祖：材料力学Ⅰ47

椭圆等非圆截面轴扭转

Wt,

It的量纲分别与

Wp,

Ip

相同

计算公式见《材料力学Ⅰ》的附录D椭圆、三角形等非圆截面轴单辉祖：材料力学Ⅰ48

例题解：1.边宽a与直径d的关系例题

材料、横截面面积与长度均同的两轴,一为正方形截面,一为圆形截面。在同值扭力偶矩

M作用下,试比较tmax与扭转变形。2.方形轴的应力与变形单辉祖：材料力学Ⅰ494.

比较圆形截面轴的抗扭性能比方形截面轴好3.

圆形轴的应力与变形单辉祖：材料力学Ⅰ50解：1.闭口薄壁圆管例题

试比较闭口与开口薄壁圆管的抗扭性能,设

R0＝20d2.开口薄壁圆管3.抗扭性能比较闭口薄壁杆的抗扭性能远比开口薄壁杆好单辉祖：材料力学Ⅰ51§8

薄壁杆扭转

开口与闭口薄壁杆

闭口薄壁杆扭转应力与变形

开口薄壁杆扭转简介

薄壁杆合理截面形状

例题单辉祖：材料力学Ⅰ52

截面中心线－截面壁厚平分线闭口薄壁杆－截面中心线为闭合曲线的薄壁杆开口薄壁杆－截面中心线为非闭合曲线的薄壁杆

开口与闭口薄壁杆薄壁杆－壁厚远小于截面中心线长度的杆件单辉祖：材料力学Ⅰ53

闭口薄壁杆扭转应力与变形假设切应力沿壁厚均匀分布,并平行于中心线切线td

－剪流，代表中心线单位长度上的剪切力应力公式闭口薄壁杆扭转应力单辉祖：材料力学Ⅰ54

t与截面中心线所围面积W

成反比

tmax发生在壁厚最薄处单辉祖：材料力学Ⅰ55根据功能原理:一般闭口薄壁杆的应变能常扭矩、等截面闭口薄壁杆的应变能得：式中：单元体

abcd

的应变能闭口薄壁杆的扭转变形单辉祖：材料力学Ⅰ56

开口薄壁杆扭转简介开口薄壁杆扭转切应力沿截面周边呈环流分布,力偶臂小,抗扭性能差用隔板或肋板增强，限制截面翘曲，显著提高开口薄壁杆的抗扭性能开口薄壁杆的抗扭性能与局部增强单辉祖：材料力学Ⅰ57开口薄壁杆的扭转变形与应力计算

hi-狭长矩形截面

i

的长度

di-狭长矩形截面

i

的厚度tmax发生在最薄矩形截面边缘开口薄壁杆可视为狭长矩形