材料力学（I）（第5版）课件单辉祖 第6-11章 弯曲应力-压杆稳定

第

6

章弯曲应力第

6

章弯曲应力

对称弯曲正应力

对称弯曲切应力

梁的强度条件与合理设计

非对称弯曲应力本章主要研究：2

§1

对称弯曲正应力

§2

惯性矩与平行轴定理

§3对称弯曲切应力

§4梁的强度条件

§5梁的合理强度设计§6

非对称弯曲应力3§1

对称弯曲正应力

引言

弯曲试验与假设

对称弯曲正应力公式

例题4

引言弯曲应力弯曲正应力－梁弯曲时横截面上的正应力弯曲切应力－梁弯曲时横截面上的切应力对称弯曲对称截面梁,在纵向对称面承受横向载荷时的受力与变形形式－对称弯曲5

弯曲试验与假设弯曲试验6弯曲变形交互式动画,演示正或负弯矩及其大小变化下梁的变形或通过按钮点击画面7试验现象

横线为直线，仍与纵线正交，横线间相对转动弯曲假设

梁弯曲时，横截面保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设（纯弯与正弯矩作用）

靠顶部纵线缩短，截面宽度增大,靠底部纵线伸长,

截面宽度则减小

各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设8推

论

梁内存在一长度不变的过渡层－中性层中性层与横截面的交线－中性轴

横截面间绕中性轴相对转动

中性轴⊥截面纵向对称轴9

对称弯曲正应力公式公式的建立

几何方面:

物理方面:

静力学方面:10(a)

(b)中性轴通过横截面形心(a)

(c)(d)

(a)－抗弯截面系数(d)－惯性矩11结论中性轴过截面形心

中性轴位置：

正应力公式：

中性层曲率：,对称弯曲

应用条件：总结假设平面假设,单向受力假设综合考虑三方面12几个易混淆的概念

对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式

中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴

弯曲刚度－梁截面抵抗弯曲变形的能力

抗弯截面系数－梁截面几何性质对弯曲强度的影响

中性轴与形心轴

对称弯曲与纯弯曲

截面弯曲刚度与抗弯截面系数纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零、弯矩为常数的受力状态13

例题例题

梁用№18工字钢

制成,Me=20kN•m,E=200GPa,

试求最大弯曲正应力smax，梁轴曲率半径

r解：工字钢：一种规范化、系列化的工字形截面标准钢材№18工字钢：142.

弯矩计算例题已知钢带厚

d=2mm,宽

b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。试计算带内的

smax与

M解：1.

应力计算15解：例题矩形截面梁,材料单向受力时,

,k为材料常数,试根据平面假设与单向受力假设建立弯曲正应力公式。

根据平面假设,由静力学可知，由此得弯曲正应力为将式(a)代入上式,分别得：于是得：中性轴通过截面形心；16§2

惯性矩与平行轴定理

静矩与惯性矩

简单截面惯性矩

平行轴定理

例题17

静矩与惯性矩静矩惯性矩截面对z轴的静矩截面对z轴的惯性矩组合截面：组合截面：18

简单截面惯性矩矩形截面惯性矩圆形截面惯性矩19三角形截面惯性矩20

平行轴定理Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系

截面对于任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩,

加上截面面积与两轴间距离平方之乘积，称为惯性矩平行轴定理。二者平行21

例题例题

已知

F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm

试求截面B-B

的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.形心位置计算由矩形

1

与

2

组成的组合截面223.惯性矩计算4.最大弯曲正应力23例题

图示半径为R的半圆截面,试求截面对水平形心轴

z0的惯性矩解：2.惯性矩计算1.形心位置24d最佳值：解：未切削时：切削后：例题

图示正方形截面,为提高Wz,试求切削高度d的最佳值dopt。25§3

对称弯曲切应力

矩形截面梁弯曲切应力

薄壁与圆形截面梁弯曲切应力

弯曲正应力与弯曲切应力比较

例题26

矩形截面梁的弯曲切应力假设：t

(y)

//

截面侧边,并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁

(h>b)

Sz(w)－坐标y一侧截面

w

对中性轴

z的静矩弯曲切应力公式

适用于对称弯曲梁横截面上任意闭合区域

w2728截面翘曲与非纯弯推广

切应变非均布

截面翘曲（aba'b'（=,弯曲

s仍保持线性分布切应力非均布

当梁上作用横向分布载荷时,只要

l>

5h,纯弯正应力公式仍足够精确当FS=常数时，

29

薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力工字形薄壁梁假设:t//腹板侧边,并沿其厚度均匀分布w－y下侧部分截面对中性轴

z的静矩30盒形薄壁梁ww－y下侧部分截面对中性轴

z的静矩假设:t//腹板侧边,并沿腹板厚度均匀分布31圆形截面梁分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布32

弯曲正应力与弯曲切应力比较当l>>h时，smax>>tmax33

例题例题

FS=15kN,Iz=8.8410-6m4,b=120mm,d=20mm,yC

=45mm。求

tmax,腹板与翼缘交接处切应力ta解：可通过计算切应力ta?

34

－截面

w1对中性轴

z的静矩例题螺钉沿梁轴等距离排列,梁段剪力FS,分析螺钉受力解：

－截面

w2对中性轴

z的静矩铅垂钉子水平钉子35例题图示截面组合梁,由上、下盖板与左、右腹板胶接而成,试计算胶缝切应力tg。解：36§4

梁的强度条件

梁危险点处的应力状态

梁的强度条件

例题37

梁危险点处的应力状态d三类应力状态：单向应力；纯剪切；s与t联合作用38

梁的强度条件

弯曲正应力强度条件：

弯曲切应力强度条件：[t]-材料纯剪切许用切应力[s]-材料单向应力许用应力强度条件的应用

细长非薄壁梁

短而高梁、薄壁梁、M小FS大的梁或梁段梁的强度条件

对一般薄壁梁，还应考虑

s与t

联合作用下的

强度问题（详见强度理论）39

例题例题

简易吊车梁，F=20kN，l=6m，[s]=100MPa，

[t]=60MPa，选择工字钢型号。解：1.危险状态分析移动载荷问题

载荷接近支座时,剪力值最大

载荷位于梁中点时,

弯矩值最大402.按弯曲正应力条件选截面选

№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切强度№22a：41例题

铸铁梁,

y1

=45mm,y2

=95mm,[st]=35MPa,[sc]=140MPa，Iz=8.84

10-6m4，校核强度解：MD－最大正弯矩MB－最大负弯矩危险截面－截面D,B42危险点－a,b,c截面D截面B43§5

梁的合理强度设计

合理截面形状

合理截面变化

合理加载与约束设置44

合理截面形状

将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的强度特性差异上下对称塑性材料脆性材料

注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度腹板一定厚度避免剪切破坏45

合理截面变化－弯曲等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁－剪切等强条件4647

合理加载与约束设置合理设置约束

a=?[F]最大48合理安排加载方式49例题矩形截面阶梯梁，承受载荷F作用。梁长l，截面宽度b，许用应力[s]，试根据梁重量最小要求，确定h1，h2与

a的最佳值。

解：画弯矩图梁的强度条件：50§6

双对称截面梁非对称弯曲

弯曲正应力分析

中性轴与最大弯曲正应力

例题51

弯曲正应力分析非对称弯曲两互垂对称截面梁非对称截面梁双对称截面梁非对称弯曲载荷偏离对称面，或不作用在同一对称面一般非对称弯曲52弯曲正应力分析矢量沿坐标轴正向的弯矩M为正弯曲正应力沿横截面线性分布x截面正应力53

中性轴与最大弯曲正应力中性轴为通过横截面形心的直线中性轴位置与方位中性轴的方位角为54smax发生在离中性轴最远的各点处矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：最大弯曲正应力55

例题例题Fy=Fz

=F=1.0kN,a=800mm,截面高h=80mm,

宽b=40mm,[s]=160MPa,校核梁强度解：1.内力分析危险截面－截面A562.应力分析危险点－d,f3.强度校核危险点处于单向应力状态57本章结束！58第

7

章弯曲变形第

7

章弯曲变形

弯曲变形基本方程

计算梁位移的方法

简单静不定梁分析

梁的刚度条件与合理设计本章主要研究：60

§1

引言

§2

挠曲轴近似微分方程

§3

计算梁位移的积分法

§4

计算梁位移的叠加法

§5

简单静不定梁

§6

梁的刚度条件与合理设计61§1引言

弯曲变形及其特点

挠度与转角62

弯曲变形及其特点

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,变形后横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交

变形很小时，横截面形心的轴向位移忽略不计挠曲轴

变弯后的梁轴，称为挠曲轴

挠曲轴是一条连续、光滑曲线

研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算,分析静不定梁,为

研究压杆稳定问题提供有关基础63

挠度与转角挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方位的位移－挠度方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）挠度方程也是挠曲轴方程(忽略截面形心轴向位移时)64§2

梁变形基本方程

挠曲轴微分方程

挠曲轴近似微分方程65

挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）

w－弯矩引起的挠度

－挠曲轴微分方程66

挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴近似微分方程

小变形

坐标轴

w

向上应用条件：坐标轴

w

向下时：67

例题例题

图示梁,EI为常数,已知

w=ax3,试分析梁的外力。解：1.内力分析2.外力分析截面B-存在剪力与弯矩，杆端B一定存在外力与外力偶杆端微段受力如图示,画剪力与弯矩图于是得68§3

计算梁位移的积分法

梁位移分析的边界条件

积分法求梁位移

挠曲轴的绘制

例题69

梁位移分析的边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数70

积分法求梁位移

qA=?EI=常数

建立挠曲轴近似微分方程并积分

利用边界条件确定积分常数由条件

(1),(2)

与式

(b)

，得

计算转角（

）71

挠曲轴的绘制绘制依据

满足基本方程

满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤

画

M图

由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

由

M

图的正、负、零点或零值区,确定挠曲轴的凹、凸、拐点或直线区,即确定挠曲轴的形状72

例题例题

用积分法求梁的最大挠度，EI

为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段733.最大挠度分析（

）当

a>b时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数最大挠度发生在AC段最大挠度：74例

题

建立挠曲轴微分方程,写出边界条件,EI

为常数解：75例

题

建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI

为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：76F=qa例题绘制挠曲轴的大致形状F=qa77§4

计算梁位移的叠加法

叠加法逐段软化法

两种方法比较

例题78

叠加法分解载荷分别计算位移

求位移之和

当梁内应力不超过比例极限，且变形很小，则任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和，称为计算梁位移的叠加法。

叠加法不仅可用于计算位移,也可用于计算内力与应力等；不仅可用于梁,也可用于拉压杆、轴及其组成结构。79叠加法进一步论述小变形,形心轴向位移忽略不计小变形,比例极限内于是得

当梁上同时作用几个载荷时,挠曲轴近似微分方程的解,等于各载荷单独作用时挠曲轴近似微分方程的解之和。当F=0,q=0时，wF=wq=0,w=0，故c=d=080

逐段软化法

分解梁

AB段变形所致位移w1

求总位移逐段分析各梁段变形在需求位移处引起的位移并求其和

BC段变形所致位移w2这时,AB段为刚体,截面B对梁BC的约束,相当于固定端AB段与BC段在分析梁段

i变形所致位移wi

时,其余梁段均视为刚体81

叠加法

逐段软化法(或逐段软化求和法)

注意：两种方法的应用条件不同；实际求解时,常将叠加法与逐段软化法联合应用,因此,通常将二者统称为叠加法。

当梁或刚架内应力不超过比例极限,且变形很小,则任一横截面的总位移,等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和。

当梁或刚架的变形很小时,任一横截面的总位移,等于各杆段变形在该截面引起的位移的代数和或矢量和。

两种方法比较82

例题例题q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求

wB解：(

)(

)根据附录Ｅ之２83例题

图示阶梯形梁,求WC解：(

)(

)(

)84例题

图示组合梁，EI=常数，求

wB与qA(

)(

)解：85例题图示刚架,求截面

C

的铅垂位移解：86例题图示简支梁,试用叠加法计算截面C的挠度dC。

解：

梁段AC刚性转动,截面C位移至C’

；梁段CB为固定在截面C的悬臂梁,在力FBy作用下发生弯曲变形。

设梁段AC的转角为q，则87例题

求自由端位移d位移方位与载荷方位一般不重合一般情况下解：88§6

简单静不定梁

静不定度与多余约束

简单静不定梁分析方法

例题89

静不定度与多余约束多余约束

对于维持梁平衡或限制其刚体位移非必须约束多余反力

与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度

＝未知支反力(力偶)数－独立平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3

=

2度静不定静不定梁

支反力(含力偶)数超过独立平衡方程数的梁90

简单静不定梁分析方法－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程算例综合考虑三方面求梁的支反力,EI=常数选FBy

为多余力1度静不定受力与原静不定

梁相同的静定梁,称为相当系统91

判断梁的静不定度

计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程

由补充方程确定多余力

通过相当系统计算支反力、内力、位移与应力等静不定梁分析方法与步骤相当系统相当系统相当系统有多种选择,关键是确定多余支反力

用多余力代替多余约束作用，构建相当系统92

例题例题

求支反力解：1.

问题分析2.

求解静不定水平反力忽略不计,2多余未知力93例题悬臂梁

AB,用短梁

DG

加固,试分析加固效果解：1.静不定分析942.加固效果分析（刚度）减少62.5%减少39.9%3.加固效果分析（强度）95例题

图示杆梁结构,试求杆

BC

的轴力解：梁截面形心的轴向位移一般忽略不计96例题直径为d的圆截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：两个多余未知力97例题一单位长度重量为q、EI为常数的细长直梁,放置在水平刚性平台上,在载荷F作用下,部分梁段离开台面,求分离段长度a。

解：在接触段DA与BG,因此,在分离截面A与B处,可见,分离梁段AB可简化为简支梁,且98例题梁AB、CD与刚性圆柱相连组成系统,在Me作用下,圆柱转动。

已知EI为常数,d=l/2,求圆柱转角q。解：

系统变形与受力如图示包含两未知力,一度静不定

圆柱的平衡方程为

系统的补充方程

99例题图示结构,AB与CD为铜片,EI为常数,杆BD为刚体,求水平位移。解：

6个约束力,3度静不定

忽略轴力影响,两铜片弯曲变形相同,杆BD水平移动,故考虑杆BD水平平衡,且FSB=FSD=F/2

确定多余力

变形条件为MB=MDFSB=FSD

杆BD水平位移为100§7

梁的刚度条件与合理设计

梁的刚度条件

梁的合理刚度设计

例题101

梁的刚度条件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处102

梁的合理刚度设计

合理截面形状

合理选材使用较小的截面面积

A，获得较大惯性矩

I

的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是

E

，为提高刚度，宜选用E

较高的材料注意：各种钢材（或各种铝合金）的

E

基本相同103

合理选取跨度跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如

l

缩短

20％，dmax

将减少

48.8%104

合理安排约束与加载方式q=F/l增加约束，制作成静不定梁105

例题例

题已知

F

=

35

kN，l

=

4

m，[s

]=

160

MPa，[d

]=l/500，E

=

200

GPa，试选择工字钢型号。解：选№22a106本章结束！107第

8

章应力应变状态分析第

8

章应力应变状态分析

本章主要研究：

应力状态分析基本理论

应变状态分析基本理论

应力应变一般关系

平面应力状态应力电测

复杂应力状态应变能

复合材料应力应变关系简介109

§1

引言

§2

平面应力分析

§3

应力圆

§4

极值应力与主应力

§5

复杂应力状态的最大应力

§6

平面应变分析

§7

广义胡克定律

§8

电测应力与应变花

§9

复杂应力状态应变能

§10

复合材料应力应变关系简介110§1

引言

实例

应力与应变状态

平面与空间应力状态111

实例微体A

112113

应力与应变状态构件内一点处所有微截面的应力总况或集合，称为该点处的应力状态应力状态应变状态构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合,称为该点处的应变状态研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础114

平面与空间应力状态仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态平面应力状态的一般形式微体各侧面均作用有应力－空间应力状态空间应力状态一般形式115§2

平面应力分析

斜截面应力分析

例题116

斜截面应力分析问题：建立sa,

ta与sx,

tx,sy,

ty

间的关系问题正负符号规定：

方位角a－以x轴为始边、者为正

切应力t－以企图使微体沿

旋转者为正方位用a表示；应力为

sa,

ta斜截面：//z轴；117斜截面应力公式118由于tx

与

ty

数值相等，同时上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题119

例题例题计算截面

m-m

上的应力解：120§3

应力圆

应力圆

应力圆的绘制与应用

例题121

应力圆应力圆原理在s-t坐标面内，sa与ta的关系曲线为圆,称为应力圆圆心位于s

轴122应力圆的绘制结论：所画圆，确为所求应力圆问题

：画相应应力圆作图法：由坐标(sx,tx)与(sy,ty)确定D与E点；以DE为直径画圆123应力圆求a截面应力同理可证：画相应应力圆D点对应x截面D点转2a得H点，即

a截面证明：124点、面对应关系

转向相同,转角加倍

互垂截面,对应同一直径两端应力圆上的a点

~

微体中的截面A应力圆上的b点

~

微体中的截面B125例题利用应力圆求截面

m-m

上的应力解：1.画应力圆2.由应力圆求sm与tmA点对应截面

x,B点对应截面

y由A点（截面

x

）顺时针转60o至D点（截面

m-m）

例题126§4

极值应力与主应力

平面应力状态的极值应力

主平面与主应力

主应力迹线

例题127

平面应力状态的极值应力极值应力大小128极值应力方位

极值正应力方位：smax与smin所在截面正交t极值与s极值所在截面,成

45°

夹角上式有两个解,且相差90°应力圆:D到A,-2a0：微体:x截面到smax截面,-a0

极值切应力方位：129

主平面与主应力主平面－切应力为零的截面微体不受力表面切应力为零,也是主平面主应力－主平面上的正应力主应力符号与规定－主平面微体－相邻主平面相互垂直,构成一正六面形微体（按代数值）s1s2s3130应力状态分类

单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态

二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态

三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称复杂应力状态131

主应力迹线－

主拉应力迹线－主压应力迹线钢筋主要沿主拉应力迹线排列132

例题解：1.主应力大小与方位角

例题

图示应力状态，试确定主应力的大小与方位1332.主应力方位判断

由坐标（-70,50）与（0,-50）确定D与E点sA=s1，

sB=s3

以DE为直径画圆

D点对应x截面，A点对应主平面s1a01对应主应力s1方位134§5

复杂应力状态的最大应力

三向应力圆

最大应力

例题135

三向应力圆与任一截面相对应的点，位于应力圆上，或由应力圆所构成的阴影区域内136

最大应力最大切应力位于与

s1及

s3均成45

的截面上137

例题例题

已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=－40MPa，求主应力、最大正应力与最大切应力解：sz

z平面为主平面,对应E点

由(sx,tx)与(sy,ty)

由E,D与C,画三向应力圆画应力圆,得D与C138

例题

图示纯剪切状态，试求最大正应力与最大切应力,

并对圆轴扭转失效进行分析。主平面微体位于45°方位解：1.纯剪切应力分析由O,A,B三点,画三向应力圆1392.圆轴扭转失效分析滑移与剪断发生在tmax的作用面断裂发生在smax

作用面140§6

平面应变分析

平面应变状态

任意方位的应变

应变圆

最大应变与主应变141

平面应变状态构件内一点处的变形均发生在同一平面内时的应变状态，称为平面应变状态142

任意方位的应变要求：已知应变ex,ey与gxy,求a方位的应变ea与ga

使左下直角增大之

g为正规定：

方位角

a

以

x轴为始边,为正方法：先分析ex,ey与gxy分别引起的变形,然后相叠加问题143应变与角位移分析144应变ea与ga公式145上述分析建立在几何关系基础上,所得各公式适用于任何小变形问题,而与材料的力学特性无关。结论

一点处任意方位应变：

一点处互垂方位的应变：146

应变圆147

最大应变与主应变切应变为零方位的正应变－主应变主应变位于互垂方位主应变表示：e1

e2

e3148§7

广义胡克定律

平面应力胡克定律

三向应力胡克定律

主应力与主应变的关系

例题149

平面应力胡克定律适用范围：各向同性材料，线弹性范围内150平面与三向应力胡克定律，统称为广义胡克定律

三向应力胡克定律151

主应力与主应变的关系

当切应力为零时,相应切应变也为零,因此,

最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位

最大拉应变发生在最大拉应力方位如果

s10，且因

m<1/2，则主应变与主应力的方位重合152

例题例题已知

E

=

70

GPa,m=

0.33,求

e45。解：1.应力分析2.e45。计算153例题

对于各向同性材料，试证明：证：1.利用几何关系求e45。2.利用广义胡克定律求e45。3.比较154例题边长

a

=10

mm正方形钢块,置槽形刚体内,

m

=

0.3,F

=

8

kN，m

=

0.3，求钢块的主应力。解：155例题圆柱体在刚性圆柱形凹模中承受压应力s作用,已知柱径d、柱长l、E与m,试计算圆柱体的轴向变形。解：于是得圆柱体的轴向变形为径向微体应力图设圆柱体侧表压应力为

p，则圆柱体的径向变形为

圆柱体横截面的正应力为

156§8

电测应力与应变花

应力分析电测方法

应变花

例题157

应力分析电测方法构件表层应力一般情况（无表面力)要确定三未知应力，需贴三应变片158

应变花三轴直角应变花三轴等角应变花159

例题解：根据广义胡克定律,得根据剪切胡克定律,于是得例题

在O点表明测得应变,已知弹性常数E

与m,试求该点处的应力sx,sy与tx。160§9

复杂应力状态应变能

应变能密度一般表达式

体应变

畸变能密度161

应变能密度一般表达式单位体积内的应变能－应变能密度162

体应变微体的体积变化率－体应变163

畸变能密度体积改变形状不变相应应变能密度畸变能密度

vd体积不变形状改变164§10

复合材料应力应变关系简介

正轴应力应变关系

偏轴力学特性165

正轴应力应变关系E1－纵向弹性模量m12－纵向泊松比E2－横向弹性模量m21－横向泊松比G12－纵向切变模量－正轴应力应变关系166

偏轴力学特性

拉伸与剪切之间存在耦合效应

弹性常数具有方向性偏轴拉伸时,正应力sx同时引起切应变gxy偏轴剪切时,切应力txy同时引起正应变ex与ey

应力主轴与应变主轴不重合

167本章结束

!168第

9

章强度理论第

9

章强度理论

本章主要研究：

关于断裂的强度理论

关于屈服的强度理论

承压薄壁圆筒强度计算

§1

引言

§2

关于断裂的强度理论

§3

关于屈服的强度理论

§4

强度理论的应用

§5承压薄壁圆筒强度计算

§6莫尔强度理论§1

引言

复杂应力状态强度问题

材料静荷失效形式与原因

强度理论概说

复杂应力状态强度问题单向应力与纯剪切一般复杂应力状态每种比值情况下的极限应力，很难全由试验测定本章研究：材料在静态复杂应力状态下的失效规律，及其在构件强度分析中的应用su,tu由试验测定

材料静荷失效形式与原因塑性材料脆性材料拉神与扭转失效现象失效形式与原因初析

屈服或滑移－可能是切应力过大所引起

断裂－可能是st,max或et,max过大所引起断裂断裂断裂断裂关于材料在静载荷作用下失效规律的学说，称为强度理论。

关于断裂的强度理论

最大拉应力理论

最大拉应变理论

关于屈服的强度理论

最大切应力理论

畸变能理论

强度理论概述目前常用的强度理论：§2

关于断裂的强度理论

最大拉应力理论

最大拉应变理论

试验验证

例题

最大拉应力理论（第一强度理论）材料断裂条件：

最大拉应力理论

引起材料断裂的主要因素是最大拉应力,而且,不论材料处于何种应力状态,只要最大拉应力smax达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力smax,单拉,材料即发生断裂。材料单拉断裂时，－构件强度条件

s1－构件危险点最大拉应力[s]－

材料单向拉伸许用应力复杂应力状态下，177

最大拉应变理论（第二强度理论）材料的断裂条件：

最大拉应变理论材料单向拉伸断裂时:

引起材料断裂的主要因素是最大拉应变,而且,不论材料处于何种应力状态,只要最大拉应变emax达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应变emax,单拉,材料即发生断裂－构件的强度条件

sr－在促使材料失效方面,与复杂应力状态应力等效的单向应力,称为相当应力复杂应力状态下，

试验验证

在二向拉伸、以及压应力值超过拉应力值不多的二向拉－压应力状态下，最大拉应力理论与试验结果相当接近。铸铁二向断裂试验

当压应力值超过拉应力值时，最大拉应变理论与试验结果大致相符。例题

铸铁构件危险点处受力如图,

试校核强度，[s]=30MPa宜用第一强度理论考虑强度问题

例题解：§3

关于屈服的强度理论

最大切应力理论

畸变能理论

试验验证

最大切应力理论（第三强度理论）材料屈服条件

最大切应力理论引起材料屈服的主要因素是最大切应力,而且,不论材料处于何种应力状态,只要最大切应力tmax达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力tmax,单拉，材料即发生屈服。

材料单拉屈服时，－构件强度条件

复杂应力状态下，182材料屈服条件：

畸变能强度理论

引起材料屈服的主要因素是畸变能,而且,不论材料处于何种应力状态,只要畸变能密度vd,达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度

vd,单拉,材料即发生屈服。

材料单拉屈服时，－构件强度条件

复杂应力状态下，

畸变能理论（第四强度理论）183

试验验证最大切应力理论与畸变能理论与试验结果均相当接近，后者符合更好钢、铝二向屈服试验§4

强度理论的应用

强度理论的选用

单向与纯剪切组合应力

纯剪切许用应力

例题

强度理论的选用脆性材料：抵抗断裂的能力<抵抗滑移的能力塑性材料：抵抗滑移的能力<抵抗断裂的能力第一与第二强度理论，一般适用于脆性材料第三与第四强度理论，一般适用于塑性材料

一般情况

全面考虑材料的失效形式,不仅与材料性质有关,且与应力状态形式、温度与加载速率等有关低碳钢,三向等拉，,断裂低碳钢,低温断裂

单向与纯剪切组合应力塑性材料：在组合变形杆件与薄壁截面梁的危险点处常见应力状态187

纯剪切许用应力纯剪切情况下（s=0）塑性材料:

例题例题钢梁,F=210kN,[s]

=

160MPa,h

=

250mm,b

=

113mm,t

=10mm,d

=

13mm,Iz

=

5.2510-5m4,校核强度解：1.问题分析危险截面－截面C+2.smax与tmax作用处强度校核如采用第三强度理论危险点：横截面上下边缘；中性轴处；

腹板翼缘交界处3.腹板翼缘交界处强度校核4.讨论对短而高薄壁截面梁,除应校核smax与tmax作用处的强度外,还应校核腹板翼缘交界处的强度§5

承压薄壁圆筒的强度计算

薄壁圆筒实例

承压薄壁圆筒应力分析

承压薄壁圆筒强度条件

例题

薄壁圆筒实例

承压薄壁圆筒应力分析轴向应力纵、横截面上均存在正应力,对于薄壁圆筒,可认为沿壁厚均匀分布周向应力1径向应力

承压薄壁圆筒强度条件仅适用于的薄壁圆筒强度条件塑性材料：脆性材料：

例题例题已知

[s],E,

m,M=pD3p/4,试按第三强度理论建立筒体强度条件,并计算筒体轴向变形解：1.应力分析2.强度分析3.轴向变形分析§6

莫尔强度理论

莫尔理论

莫尔理论强度条件

莫尔理论

对于某一应力状态

(s1,s2,s3)，如其三向应力圆

与极限应力圆的包络线相切或相交,则材料失效

以单拉与单压失效应力圆之公切线为失效边界线理论要点试验依据以失效或极限应力圆族之包络线为失效边界线

莫尔理论强度条件对于给定应力状态,当其应力圆与许用包络线相切时强度条件：对于抗拉与抗压强度不同的脆性材料,莫尔理论给出较满意的结果本章结束！第

10

章组合变形单辉祖编著：材料力学Ⅰ第

10

章组合变形

本章主要研究：

弯拉(压)组合强度计算

弯扭与弯拉(压)扭组合强度计算

矩形截面杆组合变形一般情况204

§1

引言

§2

弯拉(压)组合

§3偏心压缩与截面核心概念

§4圆轴弯扭组合§5圆轴组合变形一般情况

§6矩形截面杆组合变形一般情况

205§1

引言

组合变形与实例

组合变形分析方法206

组合变形与实例基本变形：轴向拉压,扭转与弯曲组合变形：由两种或三种不同基本变形组成的变形形式拉扭组合弯扭组合弯拉组合207

组合变形杆分析方法

如果杆件处于线弹性范围，变形很小，且可按原始几何关系分析杆的内力与位移，则任一载荷引起的内力与应力不受其他载荷影响，或影响很小可以忽略不计，称为叠加原理。分析依据－叠加原理组合变形杆的分析方法

将组合变形分解成为若干基本变形的组合

分别分析杆件在每种基本变形时的应力

叠加分析结果，得杆件组合变形下的应力

根据危险点处应力状态，建立相应强度条件208§2

弯拉(压)组合

弯拉(压)组合应力

例题209

弯拉(压)组合应力危险点处－单向应力内力－FN，Mmax210

例题例题F=

10

kN，l

=

2

m，e

=

l

/

10，a

=

30

，[s]

=

160

MPa，选择工字钢型号解：1.外力与内力分析2112.截面型号初选选№12.6,Wz=7.75×10-4m4,A=1.81×10-3m23.校核与修改设计№12.6满足强度要求,否则修改设计按弯曲强度初步设计212§3

偏心压缩与截面核心

偏心压缩应力

截面核心

例题213

偏心压缩应力外力向形心平移弯压组合

轴向压力：横截面应力：附加力偶：214

截面核心偏心压缩的中性轴－中性轴方程偏心距愈小,中性轴离形心愈远215截面核心概念

当中性轴与横截面边缘相切时,截面上各点处仅受压中性轴

2

对应外力作用点

，点

、点

、点

…构成一封闭边界,当外力作用于该边界内时,横截面上各点处仅受压

使横截面仅受压之偏心压力作用点的集合,称为截面核心

脆性材料杆偏心承压时,外力作用点宜控制在截面核心内

中性轴1对应外力作用点

，216解：1.第

1象限内截面核心之边界例题试确定矩形截面杆的截面核心第1象限内截面核心之边界－直线

122172.其余象限内截面核心之边界－边界23同理：得边界

34

与

41菱形区域1234即截面核心2182.其余象限内截面核心之边界－边界23同理：得边界

34

与

41菱形区域1234即截面核心例题确定等边三角形截面杆的截面核心219§4

圆轴弯扭组合

弯扭组合实例

弯扭组合强度计算

例题220

弯扭组合实例221

弯扭组合强度计算危险截面:截面A危险点:a,b应力状态:单向＋纯剪切强度条件（塑性材料,圆截面）

222例题

图示钢质传动轴,Fy=3.64kN,Fz=10kN,F’z=1.82kN,

F’y=5kN,D1=0.2m,D2=0.4m,[s]=100MPa,轴径

d=52mm,试按第四强度理论校核轴的强度。解：1.外力分析

例题2232.内力与应力分析由M1与M2画T图由Fy与F’y画Mz图由Fz与F’z画My图BC段

图－

凹曲线2243.强度校核危险截面－截面B弯扭组合225例题

圆弧形圆截面杆,许用应力为[s],试按第三强度理论确定杆径解：226例题图示结构，由圆截面杆AB与CD以及刚性块1与2组成，并承受矩为Me的扭力偶作用,试求两块体间相对角位移a。

提示：截面B与D的内力：FS,M,T截面B与D位移：qB,dB,jB变形协调条件：平衡方程：227§5

圆轴组合变形一般情况

实例

弯拉(压)扭组合强度计算

拉(压)扭组合强度计算

例题228

圆轴弯拉(压)扭组合实例圆轴弯拉(压)扭组合229

圆轴弯拉(压)扭组合强度计算危险截面:截面A危险点:a强度条件（塑性材料）230

圆轴拉(压)扭组合强度计算圆轴拉(压)扭组合强度条件（塑性材料）圆轴拉(压)扭组合圆轴拉(压)扭组合强度条件内力表示式（塑性材料）231§6

矩形截面杆组合变形一般情况

内力分析

应力分析

强度条件232

内力分析图示钢质曲柄，试分析截面

B

的强度233危险点a,b,ca点-s最大

b点-t最大c点-t相当大

应力分析tS一般可忽略不计234

强度条件a点处：b点处：c点处：235本章结束！236第

11

章压杆稳定第

11

章压杆稳定

本章主要研究：

压杆稳定概念

压杆临界载荷的确定

压杆稳定条件与合理设计238

§1

稳定性概念

§2

两端铰支细长压杆的临界载荷

§3两端非铰支细长压杆的临界载荷

§4

非细长压杆的临界应力

§5

压杆稳定条件与合理设计239§1

稳定性概念

引言

稳定与不稳定平衡

压杆稳定概念

其他形式的稳定问题240

引言

轴向受压细长杆，当所受压力

F

达到或超过一定数值时，杆将突然变弯，即产生失稳现象

杆件失稳往往产生显著弯曲变形，甚至导致系统局部或整体坍塌。241

稳定与不稳定平衡

系统微偏状态的受力分析

Fd＝kd

l

即

F=kl

系统可在任意微偏状态保持平衡刚杆－弹簧系统平衡分析力矩Fd－使竖杆更偏斜力矩kd

l－使竖杆回复初始位置Fcr=kl

Fd<kd

l

即

F<kl

系统回复初始平衡状态

Fd>kd

l

即

F>kl

系统更加偏离初始平衡状态

稳定与不稳定平衡稳定平衡不稳定平衡临界状态临界载荷242F<Fcr

稳定平衡F>Fcr

不稳定平衡F=Fcr

临界状态临界载荷－使压杆直线形式的平衡，开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值临界状态特点－压杆可在任意微弯状态保持平衡F<Fcr

压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线F>Fcr压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲F

=Fcr压杆在任意微弯状态均可保持平衡

压杆稳定性观念

理想轴向受压直杆的三种平衡形式243压杆稳定性交互式演示动画点击画面,进入压杆稳定性演示动画。红色箭头表示干扰,白色箭头控制压力F的大小。244

其他形式的稳定问题245§2

两端铰支细长压杆的临界载荷

临界载荷的欧拉公式

大挠度理论与理想压杆模型

例题246

两端铰支细长压杆的临界载荷注意：M(x),w－设正法求解思路：使压杆微弯,再求能保持其平衡的最小轴向压力临界载荷欧拉公式247位移边界条件取n=1欧拉公式248－欧拉临界载荷结论说明压杆在临界状态时的平衡,是一种有条件的随遇平衡,微弯程度可任意,但轴线形状一定

压杆临界状态挠曲轴方程

欧拉公式仅适用于线弹性情况

压杆临界状态时的挠曲轴一正弦曲线249

大挠度理论与理想压杆模型小挠度理论大挠度理论

按大挠度理论,不存在随遇平衡,但曲线

AB

在

A

点附近极平坦,可用水平短直线代替

微弯平衡

两种理论的Fcr解相同,说明以微弯平衡为特征并用挠曲轴近似微分方程求解,既正确,又简单实用

当

F

Fcr,实际压杆的

wmax急剧增大,说明Fcr同样导致实际压杆失效,说明采用理想压杆作为分析模型确定Fcr,具有实际意义

曲线AB

在A点附近极平坦,当F略超过

Fcr时,压杆变形急剧增大,说明失稳极危险实际压杆250

例题例题

图示细长压杆，l=0.8m,d=20mm,E=20