小升初数学衔接 第12讲 有理数的混合运算（知识讲练）（教师版）（北师大版）

1.掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算.（重点）2.在运算过程中能合理地使用运算律简化运算.(难点)新课导入新课导入我们目前都学习了哪些运算？请举出一些例子.加法、减法、乘法、除法、乘方.从一副扑克牌(去掉大、小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌只能用一次)，使得运算结果为24或－24.其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11,12,13.只含某一级运算——从左到右依次运算【例题1】计算1)-2+5-82)-100÷25×(-4)=3-8=-5=-4×(-4)=162.不同级运算混合—从高级到低级运算，先算乘除二级;再算加减一级.【例题2】计算14-14÷(-2)+7×(-3)=14-(-7)+(-21)=21-21=03.带有括号的运算—从内到外依次进行运算，先算小括号;再算中括号;最后算大括号里面的.【例题3】计算-3-｛［-4+(1-1.6×)]÷(-2)｝÷2=-3-｛［-4+(1-1)]÷(-2)｝÷2=-3-［(-4)÷(-2)]÷2=-3-1=-4=-3-2÷24.带有乘方的运算思考:上式含有哪几种运算?先算什么，后算什么？【归纳总结】有理数混合运算的法则：（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减;（2）如有括号，先进行括号里的运算.【学以致用】在运算过程中，一定要注意运算符号在运算过程中，一定要注意运算符号.讨论交流：你认为哪种方法更好呢？讨论交流：你认为哪种方法更好呢？点拨：在运算过程中，巧用运算律，可简化计算点拨：在运算过程中，巧用运算律，可简化计算有理数的加法运算律有a＋b＝b＋a，a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.乘法的运算律有ab＝ba，a(bc)＝(ab)c，a(b＋c)＝ab＋ac.提示：有理数的运算律可以顺用，也可以逆用．【学以致用】注意运算顺序及符号注意运算顺序及符号本题用乘法分配律进行运算较简单本题用乘法分配律进行运算较简单【典例分析01】（2022秋•翔安区期末）计算下列各题：（1）2+（﹣2）＝0；（2）1﹣3＝﹣2；（3）（﹣1）×（﹣3）＝3；（4）12÷（﹣3）＝﹣4；（5）＝5；（6）3﹣|﹣2|＝1．【思路点拨】（1）根据有理数的加法进行计算；（2）根据有理数的减法进行计算；（3）根据有理数的乘法进行计算；（4）根据有理数的除法进行计算；（5）根据有理数的乘方与乘法进行计算；（6）根据有理数的减法进行计算即可求解．【规范解答】解：（1）2+（﹣2）＝0，故答案为：0；（2）1﹣3＝﹣2，故答案为：﹣2；（3）（﹣1）×（﹣3）＝3，故答案为：3；（4）12÷（﹣3）＝﹣4，故答案为：﹣4；（5）＝，故答案为：5；（6）3﹣|﹣2|＝3﹣2＝1，故答案为：1．【考点评析】本题考查了有理数的计算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【典例分析02】（2022秋•秦淮区期末）计算的结果是．【思路点拨】设，化简求解即可．【规范解答】解：设，原式＝＝＝．故答案为：．【考点评析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意把看作一个整体．【举一反三01】（2023•兴宁区校级模拟）计算：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4．【思路点拨】先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．【规范解答】解：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4＝2×3+4÷4＝6+1＝7．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【举一反三02】（2022秋•翔安区期末）计算：（1）﹣17+23+（﹣16）；（2）3﹣（﹣2）3÷（﹣3）×9；（3）．【思路点拨】（1）根据有理数加法计算法则求解即可；（2）按照先计算乘方，再计算乘除法，组合计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；（3）按照先计算乘方，再计算乘除法，组合计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．【规范解答】解：（1）﹣17+23+（﹣16）＝6+（﹣16）＝﹣10；（2）3﹣（﹣2）3÷（﹣3）×9＝＝3﹣（﹣8）×（﹣3）＝3﹣24＝﹣21；（3）＝﹣1+（﹣2）×（﹣3）﹣5＝﹣1+6﹣5＝0．【考点评析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数加法计算，掌握相关计算法则是解题的关键．一．选择题（共7小题）1．（2023•明水县模拟）定义一种新的运算：如果，则有x▲y＝x+xy+|﹣y|，那么2▲（﹣4）的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣5 D．4【思路点拨】原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值．【规范解答】解：根据题中的新定义得：原式＝2+2×（﹣4）+|﹣（﹣4）|＝2﹣8+4＝﹣2．故选：B．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．2．（2023•南京三模）下列算式结果为负数的是（）A．﹣1+2 B．2﹣3 C．﹣1×（﹣2） D．0÷（﹣1）【思路点拨】计算出各个选项中式子的结果，然后和0比较大小，即可判断哪个选项符合题意．【规范解答】解：﹣1+2＝1＞0，故选项A不符合题意；2﹣3＝﹣1＜0，故选项B符合题意；﹣1×（﹣2）＝2＞0，故选项C不符合题意；0÷（﹣1）＝0，故选项D不符合题意；故选：B．【考点评析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3．（2023春•松北区校级月考）下列计算正确的是（）A．﹣3+7＝﹣4 B．﹣8﹣（﹣5）＝﹣3 C． D．﹣18÷3＝6【思路点拨】根据有理数混合运算的法则对各选项进行逐一计算即可．【规范解答】解：A、﹣3+7＝4，原计算错误，不符合题意；B、﹣8﹣（﹣5）＝﹣8+5＝﹣3，正确，符合题意；C、﹣×（﹣）＝，原计算错误，不符合题意；D、﹣18÷3＝﹣6，原计算错误，不符合题意．故选：B．【考点评析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．4．（2023•衡水模拟）计算1□2结果为负数，“□”中应填的符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【思路点拨】分别按照选项中运算符号进行计算，查看结果是否为负数即可．【规范解答】解：选项A中，1+2＝3；选项B中，1﹣2＝﹣1；选项C中，1×2＝2；选项D中，；只有选项B结果为负数．故选：B．【考点评析】本题考查有理数的加减乘除运算，正确计算是解题的关键．5．（2023•丰润区模拟）与﹣（﹣）互为倒数的是（）A．﹣×5 B．6×5 C．×5 D．﹣6×5【思路点拨】对所给的式子进行整理，从而求出其倒数，对比各选项即可．【规范解答】解：﹣（）＝，的倒数是：30．A、，故A不符合题意；B、6×5＝30，故B符合题意；C、，故C不符合题意；D、﹣6×5＝﹣30，故D不符合题意，故选：B．【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．（2022秋•新乡县校级期末）按如图的程序计算，若输出的结果是﹣3，则输入的符合要求的x有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【思路点拨】用给定的计算程序，分一次运算、两次、三次、……运算得出相应的x即可．【规范解答】解：如果输入的数经过一次运算就能输出结果，则2x+（﹣9）＝﹣3，解得x＝3，如果输入的数经过两次运算才能输出结果，则第1次计算后的结果是3，于是2x+（﹣9）＝3，解得x＝6，如果输入的数经过三次运算才能输出结果，则第2次计算后的结果是6，第1次计算后的结果是，……综上所述，x的值有无数个．故选：D．【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．7．（2022秋•龙亭区校级期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝23，则第2022次“F”运算的结果是（）A．74 B．37 C．92 D．23【思路点拨】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，从而可以计算出n＝23，第2022次“F”运算的结果．【规范解答】解：由题意可得，当n＝23时，第一次的运算结果为3×23+5＝74，第二次的运算结果为：74÷2＝37，第三次的运算结果为：3×37+5＝116，第四次的运算结果为：116÷22＝29，第五次的运算结果为：3×29+5＝92，第六次的运算结果为：92÷22＝23，第七次的运算结果为：3×23+5＝74，…，由上可得，每六次为一个循环，∵2022÷6＝337，∴n＝23，则第2022次“F”运算的结果是23，故选：D．【考点评析】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现运算结果的变化特点．二．填空题（共5小题）8．（2022•杭州模拟）一天，小明利用温差测量山峰高度，已知此时山脚测得温度是5℃，且该地区高度每增加126米，气温大约降低0.6℃，该山峰的高度大约是2646米，则和山顶温度比较温度升高12.6℃．【思路点拨】根据该地区高度每增加126米，气温下降0.6℃，列出算式，计算即可得到结果．【规范解答】解：根据题意得：5+2646÷126×（﹣0.6）＝5﹣12.6＝﹣7.6（℃），5﹣（﹣7.6）＝5+7.6＝12.6（℃），故和山顶温度比较温度升高12.6℃，故答案为：12.6℃．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．9．（2023•阳信县二模）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座山上海拔为150米的地方测得气温是3℃，则此时山顶的气温约为﹣3℃．【思路点拨】表示出山顶的气温的代数式后计算．【规范解答】解：根据题意，山顶比海拔150米高（1150﹣150）米，山顶的气温为：3﹣×0.6＝﹣3（℃），答：此时山顶的气温约为﹣3℃．故答案为：﹣3．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．10．（2023•株洲三模）某公园划船项目收费标准如下：某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为360元．船型双人船（限乘两人）四人船（限乘四人）六人船（限乘六人）八人船（限乘八人）每船租金（元/小时）80100120150【思路点拨】分五种情况，分别计算即可得出结论．【规范解答】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2＝9（艘），∵每小时80元，∴租船费用为80×9＝720元；当租四人船时，∵18÷4＝4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+80＝480元；当租六人船时，∵18÷6＝3（艘），∵每小时120元，∴租船费用为120×3＝360元；当租八人船时，∵18÷8＝2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用150×2+80＝380元，当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，100+120+150＝370元，∴租船费用为150×2+90＝390元，而720＞480＞370＞360，∴当租3艘6人船，费用最低是360元，故答案为：360．【考点评析】此题主要考查了有理数的混合运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．11．（2023春•天宁区校级期中）计算＝5.16．【思路点拨】先将所求式子变形，然后根据平方差公式计算即可．【规范解答】解：＝（×6.16）2﹣（2×1.04）2＝3.082﹣2.082＝（3.08+2.08）×（3.08﹣2.08）＝5.16×1＝5.16，故答案为：5.16．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．12．（2023春•佛山月考）观察下列运算并填空：①1×2×3×4+1＝24+1＝25＝52④4×5×6×7+1＝840+1＝841＝22；②2×3×4×5+1＝120+1＝121＝112⑤7×8×9×10+1＝5040+1＝5041＝712；③3×4×5×6+1＝360+1＝361＝192⑥（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝（n2+5n+5）2【思路点拨】根据题目中的式子可以发现各个式子的结果等于第一个数和第四个数乘积再加1的平方，从而可以写出结论．【规范解答】解：①1×2×3×4+1＝24+1＝25＝52＝（1×4+1）2；②2×3×4×5+1＝120+1＝121＝112＝（2×5+1）2；③3×4×5×6+1＝360+1＝361＝192＝（3×6+1）2；④4×5×6×7+1＝840+1＝841＝292＝（4×7+1）2；⑤7×8×9×10+1＝5040+1＝5041＝712＝（7×10+1）2；由以上规律可知：⑥（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝[（n+1）（n+4）+1]2＝（n2+5n+5）2．故答案为：（n2+5n+5）2．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．三．解答题（共7小题）13．（2023•柳州二模）计算：15﹣8÷4+（﹣3）2×2．【思路点拨】首先进行乘方运算，再计算乘除，最后计算加减即可．【规范解答】解：原式＝15﹣8÷4+9×2＝15﹣2+18＝31．【考点评析】本题考查含乘方的有理数混合运算，掌握运算法则是解题关键．14．（2023•兴宁区校级模拟）计算：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4．【思路点拨】先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．【规范解答】解：（﹣2+4）×3+（﹣2）2÷4＝2×3+4÷4＝6+1＝7．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．15．（2023•池州三模）一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N，当N＞0时，我们把N放在M的左边，将所构成的新数叫做M的“叠加数”．例如：M＝47，∵N＝（2×4）2﹣72＝15＞0，∴47的“叠加数”为1547；M＝26，∵N＝（2×2）2﹣62＝﹣20＜0，∴26没有“叠加数”．（1）根据定义，求出“35”的“叠加数”；（2）请判断2243是否为某个两位数的“叠加数”，并说明理由．【思路点拨】（1）由（2×3）2﹣52＝11＞0，可得出35的“叠加数”为1135；（2）2243不是43的“叠加数”，利用“叠加数”的定义，可求出43的“叠加数”，进而可得出2243不是43的“叠加数”．【规范解答】解：（1）∵（2×3）2﹣52＝11＞0，∴35的“叠加数”为1135；（2）2243不是某个两位数的“叠加数”，理由如下：∵2243的后两位是43，且（2×4）2﹣32＝55＞0，∴43的“叠加数”为5543，∴2243不是43的“叠加数”．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据“叠加数”的定义，找出35的“叠加数”；（2）根据“叠加数”的定义，找出43的“叠加数”．16．（2023•蔚县校级模拟）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“□”表示一个有理数．（1）若“□”表示3，且与输入的数互为相反数，求计算结果；（2）若“□”表示负数，且计算结果为0，求输入的最大整数．【思路点拨】（1）根据题意，结合相反数的定义，得出输入的数为﹣3，再根据编制的有理数混合运算自左向右计算即可；（2）设输入的数为a，“□”表示的数为b，再根据编制的有理数混合运算自左向右，列出，整理得出b＝2a+1，再根据“□”表示负数，即b是负数，进而得出2a+1＜0，解出即可得出答案．【规范解答】解：（1）解：根据题意，输入的数为﹣3，∴，即计算结果为﹣8；（2）设输入的数为a，“□”表示的数为b，根据题意，可得：，整理得：b＝2a+1，∵b是负数，∴2a+1＜0，∴，∴输入的最大整数为﹣1．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次不等式、相反数的定义，解本题的关键在理解题意，熟练掌握有理数的混合运算法则．17．（2023春•松北区校级月考）计算：（1）8+（）﹣5﹣（﹣0.25）；（2）﹣36×（）；（3）﹣2+2÷×2；（4）﹣3.5××÷．【思路点拨】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（3）原式先算乘除运算，再算加减运算即可求出值；（4）原式先算括号中的减法运算，再算乘除运算即可求出值．【规范解答】解：（1）原式＝8﹣0.25﹣5+0.25＝（8﹣5）+（﹣0.25+0.25）＝3+0＝3；（2）原式＝﹣36×（﹣）﹣36×﹣36×（﹣）﹣36×（﹣）＝24﹣30+21+32＝﹣6+21+32＝15+32＝47；（3）原式＝﹣2﹣2×2×2＝﹣2﹣8＝﹣10；（4）原式＝﹣×（﹣）××2＝1．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2023•襄都区校级一模）老师在课堂上展示了一个数学问题：请你利用式子“7+□×5﹣〇”编题并解决问题．（1）佳佳：若“□”表示﹣2，“〇”表示﹣4，求算式的计算结果．（2）琪琪：若“□”表示﹣3，且算式的计算结果为2，求“〇”所表示的数．【思路点拨】（1）根据题意列出算式7+（﹣2）×5﹣（﹣4），再进一步计算即可；（2）根据题意列出算式7+（﹣3）×5﹣2，再进一步计算即可．【规范解答】解：（1）由题意知7+（﹣2）×5﹣（﹣4）＝7﹣10+4＝1；（2）由题意知“〇”所表示的数为7+（﹣3）×5﹣2＝7﹣15﹣2＝﹣10．【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．19．（2023•襄都区校级模拟）老师设计了接力游戏．用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：（1）接力中，计算错误的学生有佳佳，昊昊；（2）请给出正确的计算过程．【思路点拨】（1）根据题目中的运算顺序，可以发现哪位同学做错了；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【规范解答】解：（1）由题目中的运算过程，可以发现佳佳和昊昊的计算错误，佳佳的错因有理数的乘方算错以及运算顺序出错，昊昊的错因是忘记算﹣6．故答案为：佳佳，昊昊．（2）（﹣1）2023﹣（﹣3）2+3÷＝﹣1﹣9+3÷＝﹣1﹣9+12＝2．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．一．选择题（共6小题）1．（2023•阜宁县校级模拟）下列式子的运算结果是负数的是（）A．（﹣1）+（﹣3） B．（﹣1）﹣（﹣3） C．（﹣1）×（﹣3） D．（﹣1）÷（﹣3）【思路点拨】根据有理数的四则运算法则，逐项判断即可求解．【规范解答】解：A、（﹣1）+（﹣3）＝﹣4，故本选项符合题意；B、（﹣1）﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2，故本选项不符合题意；C、（﹣1）×（﹣3）＝3，故本选项不符合题意；D、（﹣1）÷（﹣3）＝，故本选项不符合题意；故选：A．【考点评析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．2．（2023•滨江区二模）计算下列各式，值最大的是（）A．1﹣（﹣2） B．1+（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）【思路点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【规范解答】解：1﹣（﹣2）＝1+2＝3，1+（﹣2）＝﹣1，1×（﹣2）＝﹣2，1÷（﹣2）＝﹣，由上可得，1﹣（﹣2）的值最大，故选：A．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3．（2023•秦淮区一模）下列计算结果是正数的是（）A．2+（﹣3） B．2﹣（﹣3） C．2×（﹣3） D．﹣32【思路点拨】根据有理数的运算法则分别计算，再比较大小即可求解．【规范解答】解：A、2+（﹣3）＝﹣1，B、2﹣（﹣3）＝5，C、2×（﹣3）＝﹣6，D、﹣32＝﹣9，结果是正数的是5；故选：B．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．也考查了有理数大小比较．4．（2023•慈溪市一模）下列计算正确的是（）A．33+3＝34 B．33•3＝34 C．36÷32＝33 D．（32）3＝35【思路点拨】利用有理数的相应的运算法则对各项进行运算即可．【规范解答】解：A、33+3＝27+3＝30，故A不符合题意；B、33•3＝34，故B符合题意；C、36÷32＝34，故C不符合题意；D、（32）3＝36，故D不符合题意；故选：B．【考点评析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．（2023•肇东市模拟）规定一种新运算“※”，如果a，b是有理数，那么a※b＝ab﹣2b，则2※3等于（）A．3 B．6 C．2 D．0【思路点拨】利用题中的新定义计算即可得到结果．【规范解答】解：根据题中的新定义得：2※3＝23﹣2×3＝8﹣6＝2．故选：C．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2023•长安区模拟）若﹣2□2×（﹣1）＝0成立，则“□”中的运算符号是（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【思路点拨】把加减乘除的符号代入计算即可求解．【规范解答】解：﹣2+2×（﹣1）＝﹣2﹣2＝﹣4，﹣2﹣2×（﹣1）＝﹣2+2＝0，﹣2×2×（﹣1）＝4，﹣2÷2×（﹣1）＝﹣1×（﹣1）＝1．故“□”中的运算符号是﹣．故选：B．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二．填空题（共5小题）7．（2023春•北碚区校级期中）﹣14﹣（﹣3）5+|﹣6|＝248．【思路点拨】先分别计算有理数的乘方与绝对值，然后进行加减运算即可．【规范解答】解：原式＝﹣1﹣（﹣243）+6＝248．故答案为：248．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算．解题的关键在于正确的运算．8．（2023春•南岗区校级月考）若定义一种新运算：a⊕b＝a+（﹣b），则（﹣3⊕9）⊕（﹣5）＝﹣7．【思路点拨】根据a⊕b＝a+（﹣b），可以计算出所求式子的值．【规范解答】解：∵a⊕b＝a+（﹣b），∴（﹣3⊕9）⊕（﹣5）＝[（﹣3）+（﹣9）]⊕（﹣5）＝（﹣12）⊕（﹣5）＝（﹣12）+[﹣（﹣5）]＝﹣12+5＝﹣7，故答案为：﹣7．【考点评析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．9．（2022秋•海林市期末）在数轴上有理数m所表示的点到数2所表示的点的距离为5个单位长度，a、b互为相反数，且都不为0．c、d互为倒数，则多项式3a+3b+m2﹣2cd+的值是6或46．【思路点拨】利用数轴上两点间的距离公式，相反数及倒数的性质求出m，a+b以及cd的值，代入原式计算即可求出值．【规范解答】解：∵在数轴上有理数m所表示的点到数2所表示的点的距离为5个单位长度，∴m＝7或﹣3，∵a、b互为相反数，且都不为0．c、d互为倒数，∴a+b＝0，cd＝1，当m＝7时，3a+3b+m2﹣2cd+＝3（a+b）+m2﹣2cd+＝0+49﹣2﹣1＝46；当m＝﹣3时，3a+3b+m2﹣2cd+＝3（a+b）+m2﹣2cd+＝0+9﹣2﹣1＝6．故答案为：6或46．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（2023•播州区一模）定义新运算：∩，如{a，b，c}∩{c，b，m}＝{b，c}，则{2，8，15，20}∩{3，2，15}＝{2，15}．【思路点拨】根据新定义即可解答．【规范解答】解：根据题意，得{2，8，15，20}∩{3，2，15}＝{2，15}．故答案为：2，15．【考点评析】本题考查了新定义运算，读懂题意，理解新定义是解题的关键．11．（2022秋•栖霞市期末）计算：＝﹣．【思路点拨】先算乘方和括号内的式子，然后算括号外的乘法，最后算减法即可．【规范解答】解：＝﹣1﹣××（2+9）＝﹣1﹣××11＝﹣1﹣＝﹣，故答案为：﹣．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．三．解答题（共7小题）12．（2023春•沈阳月考）计算：（1）3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【思路点拨】（1）先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可；（2）先算乘法，再算加减法即可；（3）先变形，然后根据乘法分配律计算即可；（4）根据乘法分配律计算即可；（5）先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可；（6）先算括号内的式子，再算括号外的乘法即可．【规范解答】解：（1）3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）＝3+（﹣63）+259+41＝240；（2）；＝2+（﹣10）+（﹣）×＝2+（﹣10）+（﹣）＝﹣8+（﹣）＝﹣；（3）＝（﹣30+）×12＝﹣30×12+×12＝﹣360+＝﹣359；（4）＝﹣24×1+24×﹣24×+24×＝﹣24+18﹣4+15＝5；（5）＝﹣9﹣（﹣8）×（﹣4）×（﹣4）＝﹣9+128＝119；（6）＝（﹣9+3）×[1﹣（1﹣）]＝（﹣6）×（1﹣）＝（﹣6）×＝﹣1．【考点评析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．13．（2022秋•二七区期末）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2023②＝1；（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有ABD；（横线上填写序号）A．任何非零数的圈2次方都等于1B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式：aⓝ＝（）n﹣2；（4）计算：﹣1⑧﹣142÷（﹣）④×（﹣7）⑥．【思路点拨】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答；（2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答；（3）根据的圈n次方的意义计算即可；（4）利用（3）的结论，进行计算即可解答．【规范解答】解：（1）2023②＝2023÷2023＝1，故答案为：1；（2）A．因为a2＝a÷a＝1（a≠0），所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确；B．因为a3＝a÷a÷a＝（a≠0），所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确；C．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1，说法错误，（﹣1）②＝1；D．根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确；故答案为：ABD；（3）aⓝ＝a÷a÷a÷…÷a＝a••••…•＝（）n﹣2，故答案为：（）n﹣2；（4）原式＝﹣1﹣196÷4×＝﹣1﹣49×＝﹣1﹣＝﹣1．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．（2023•阜城县校级模拟）定义新运算“@”与“⊕”：a@b＝，a⊕b＝．（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．【思路点拨】（1）根据a@b＝，a⊕b＝，代入计算即可求解；（2）根据a@b＝，a⊕b＝，代入计算求出A和B，再比较A和B的大小即可求解．【规范解答】解：（1）3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）＝﹣＝+＝1；（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）＝+＝3b﹣1，B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）＝+＝3b+1，则A＜B．【考点评析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握定义新运算的运算法则是解本题的关键．15．（2022秋•河东区期末）（1）24×；（2）﹣14+（﹣2）3÷4×[5﹣（﹣3）2]．【思路点拨】（1）根据乘法的分配律进行计算即可；（2）根据乘方、乘除进行计算即可．【规范解答】解：（1）原式＝24×（﹣）+24×﹣24×＝﹣20+9﹣2＝﹣13；（2）原式＝﹣1﹣8÷4×（5﹣9）＝﹣1﹣2×（﹣4）＝﹣1+8＝7．【考点评析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键．16．（2023•池州模拟）请先阅读下列一组内容，然后解答问题：因为：所以：＝＝＝问题：计算：①；②．【思路点拨】（1）分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，第n项为＝﹣，依此抵消即可求解；（2）分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项为＝（﹣），依此抵消即可求解．【规范解答】解：①＝＝＝；②＝＝＝＝＝．【考点评析】考查了有理数的混合运算，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单．17．（2022春•泰兴市期中）阅读材料：因为21﹣20＝20×（2﹣1），22﹣21＝21×（2﹣1），23﹣22＝22×