【暑假拔高训练】七年级全等三角形综合尖子生培优系列 专题05 半角、倍角模型的综合应用（解析版）（北师大版）

专题05半角、倍角模型的综合应用模型说明应用：①利用旋转构造全等三角形；②利用翻折构造全等三角形。题型精讲例1.（基本模型1）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．【详解】解：如图，将关于AE对称得到，则，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即与的面积之和为21，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【培优变式训练】如图，，，，，．（1）求的度数；（2）以E为圆心，以长为半径作弧；以F为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点G，试探索的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由．【答案】（1）45°；（2）见详解【详解】解：（1）∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECF＋∠BCF＝90°，∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝90°−∠ECF＝45°；（2）△EFG是直角三角形，理由如下：如图，连接DE，由（1）知，∠ACE＋∠BCF＝45°，∵∠ACD＝∠BCF，∴∠ACE＋∠ACD＝45°，即∠DCE＝45°，∵∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠ECD，在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴DE＝EF，在△CAD和△CBF中，，∴△CAD≌△CBF（SAS），∴AD＝BF，∠CAD＝∠B，∵FG＝BF，∴FG＝AD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴∠DAE＝∠CAB＋∠B＝90°，在△EFG和△EDA中，，∴△EFG≌△EDA（SSS），∴∠EGF＝∠EAD＝90°，∴△EFG是直角三角形．例2.（正方形中的半角模型）（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．【详解】（1）解：，理由如下：延长CD，使DM=BE，连接AM，∵在正方形中，AB=AD，∠B=∠ADM=90°，∴，∴∠BAE=∠DAM，AE=AM，∵，∴∠BAE+∠DAF=∠DAM+∠DAF=90°-45°=45°，∴∠EAF=∠MAF=45°，又∵AF=AF，AE=AM，∴，∴EF=MF=MD+DF=BE+DF；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图，∵∠ADF＝90°，∠ADF＋∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD＋∠DAG＝∠EAD＋∠ABE＝∠BAD，∵，∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DF＋DG＝EB＋DF；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由如下：如图，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG＋∠EAD＝∠DAF＋∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠BAD=∠EAF．∵AE＝AE，AG＝AF．∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF，∵EG＝BE−BG，∴EF＝BE−FD．【培优变式训练】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．(1)求证：；(2)连接，则的值为__________；(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论；（2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；（3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论．【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接，∴，∵E是边的中点，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，，∵正方形外角的平分线为，∴，∴，在和中，∴，∴；（2）解：如图所示，连接，∵点，分别为，的中点，∴为的中位线，∴，由（1）得，∴，∴，∴，故答案为：；（3）解：，理由如下：如图所示，延长至点，使得，连接，由正方形基本性质得：，，∴，∴，，由（1）知，，且，∴，∴，∴，即：，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．迁移应用1．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）．理由见解析．【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论．【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，∵，，即：，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，在和中，AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，∴，∴，∵，∴；故答案为：．（2）结论：．理由：在上截取，连接，∵，，∴，在与中，，∴，∴，，则，∴∵，，∴，在与中，，∴，∴，即，即，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）EF=BE+FD；（3）不成立，理由见解析．【分析】（1）可通过构建全等三角形实现线段间的转换，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等，将EF转换为GE，证得EF=BE+DF，（2）思路和辅助线方法与（1）一样，证明三角形ABG和三角形ADF全等，（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，用（1）中方法，可证得DF=BG，GE=EF，则EF=GE=BE-BG=BE-DF【详解】解：（1）如图，延长EB到G，使BG=DF，连接AG，在与中，；（2）（1）中结论EF=BE+FD仍成立，理由如下，证明：如图，延长CB到M，使BM=DF，在与中即在与中即；（3）结论EF=BE+FD不成立，理由如下，证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG，在与中．【点睛】本题考查四边形综合题，三角形全等的判定与性质，本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．3．已知等边中，点是边，的垂直平分线的交点，，分别在直线，上且，（1）如图所示，点，分别在边，上，求证：；（2）如图所示，点在边上，点在的延长线上，求的值.【答案】（1）见解析，（2）【详解】（1）在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′=30°，∵在△OCN和△OAN′中，∴△OCN≌△OAN′（SAS），∴ON=ON′，∠CON=∠AON′，∴∠N′ON=∠COA=120°，又∵∠MON=60°，∴∠MON=∠MON′=60°∵在△NOM和△N′OM中，，∴△NOM≌△N′OM，∴MN=MN′，∵MN′=AM-AN′=AM-CN，∴MN=AM-CN．即；（2）延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCA=∠OAB=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，∴∠OCN=∠OAN′，∵在△OCN和△OAN′中，∴△OCN≌△OAN′（SAS），∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，∵∠COA=120°，∠NOM=60°，∴∠CON+∠AOM=60°，∴∠AON′+∠AOM=60°，即∠NOM=∠N′OM，∵在△NOM和△N′OM中，∴△NOM≌△N′OM，∴MN=MN′，∵MN′=AM+AN′=AM+CN，∴MN=AM+CN．4．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________；（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，【分析】（1）延长到，使，连接．证明，则，，，证明，得出，由此可得，；（2）思路和作辅助线的方法同（1）；（3）根据（1）的证法，可得出，，那么．【详解】解：（1）延长至，使，连接，∵，，，∴，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，且∴，故答案为：．（）解：（）中的结论仍成立，证明：如图所示，延长至，使，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，即．（），证明：如图所示，在上截取使，连接，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，在和中，

，∴，∴，∵，且，∴．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形．5．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．【答案】（1）CE＋CF＝CD；（2）CF＝CE＋CD，理由见解析；（3）CD＝CE＋CF【详解】（1）证明：CE+CF=CD，理由如下：在CD上截取CH=CE，连接EH，如图1所示：∵ABC是等边三角形，∴∠ECH=60°，∴CEH是等边三角形，∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，∵DEF是等边三角形，∴DE=FE，∠DEF=60°，∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，∴∠DEH=∠FEC，在DEH和FEC中，，∴DEH≌FEC（SAS），∴DH=CF，∴CD=CH+DH=CE+CF，∴CE+CF=CD；（2）解：CF＝CE＋CD理由如下：∵ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，作，交BC于点G，如图2所示∴∠EGC＝∠B＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，∴GCE为等边三角形，∴CG＝CE＝EG，∵EDF为等边三角形，∴ED＝EF，∠DEF＝60°，∴∠DEG＝∠FEC，∴EGD≌ECF（SAS），∴GD＝CF，又GD＝CG＋CD∴CF＝CE＋CD．（3）∵ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，作，交BC于点G，如图所示∴∠EGC＝∠ABC＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，∴GCE为等边三角形，∴CG＝CE＝EG，∠GEC＝60°∴∠GEC＝∠GEF+∠FEC＝60°∵EDF为等边三角形，∴ED＝EF，∠DEF＝60°，∴∠DEF＝∠GEF+∠DEG＝60°∴∠DEG＝∠FEC，∴EGD≌ECF（SAS），∴GD＝CF，又∵GD＝CD-CG，CG＝CE∴CE+CF＝CD6．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．（1）如图①，当时，则的周长为______；（2）如图②，求证：．【答案】（1）4；（2）见解析【分析】（1）首先证明△BDM≌△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可解决问题；（2）延长至点，使得，连接，首先证明，再证明，得出，进而得出结果即可．【详解】解：（1）∵是等边三角形，，，∴是等边三角形，，则，∵是顶角的等腰三角形，，，在和中，，，，∵，∴是等边三角形，，，，∴的周长．（2）如图，延长至点，使得，连接，∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，，，，在和中，，，，，∵，，在和中，．，又∵，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定，等边三角形及等腰三角形的性质是解题的关键．7．（1）如图，在正方形中，、分别是，上的点，且．直接写出、、之间的数量关系；（2）如图，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，求证：；（3）如图，在四边形中，，，延长到点，延长到点，使得，则结论是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．【答案】（1），理由见详解；（2）见详解；（3）结论EF＝BE＋FD不成立，应当是EF＝BE−FD．理由见详解．【分析】（1）在CD的延长线上截取DM＝BE，连接AM，证出△ABE≌△ADM，根据全等三角形的性质得出BE＝DM，再证明△AEF≌△AMF，得EF＝FM，进而即可得出答案；（2）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，证出△ABE≌△ADG，根据全等三角形的性质得出BE＝DG，再证明△AEF≌△AGF，得EF＝FG，即可得出答案；（3）按照（2）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（2）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE−BG＝BE−DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．【详解】（1）解：，理由如下：延长CD，使DM=