第03讲 矩形的性质（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第03讲矩形的性质（5种题型）【知识梳理】一．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．【考点剖析】题型一：利用矩形的性质求角度例1．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形中，E、F为AC上一点，，，连接、，若，则的度数为（）A． B． C． D．【变式1】（2023·山西晋中·统考一模）将矩形绕点旋转到如图位置，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断∠1与∠2相等吗？说明理由．题型二：利用矩形的性质求线段长例2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．【变式】如图，矩形ABCD，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E，F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当四边形DEBF是菱形时，求菱形的边长．题型三：利用矩形的性质求面积例3．（2023·北京延庆·统考一模）如图，在平行四边形中，连接，，点M为边的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．【变式】（2023·四川广元·统考二模）如图，在中，，过点D作交BC的延长线于点E，点M为的中点，连接．(1)求证：四边形是矩形：(2)若，求四边形的面积．题型四：利用矩形的性质证明例4.已知：如图，在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM＝DN，求证：BN＝CM．【变式】已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝2AB．求证：△AOB是等边三角形．题型五：直角三角形斜边上的中线例5．如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE．【变式1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝AC＝8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，连结AM．（1）求AM的长；（2）求证：MN⊥AC；（3）求MN的长．【变式3】如图．△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE．（1）求证：BD＝2AC；（2）若AE＝6.5，AD＝5，那么△ABE的周长是多少？【过关检测】一、单选题1．（2023·河南驻马店·校考一模）关于矩形性质，下列说法不正确的是（）A．四个角都是直角B．既是轴对称图形，也是中心对称图形C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等2．（2023·山东青岛·统考一模）两个矩形的位置如图所示，若，则的度数为（

）A．34° B．56° C．79° D．146°3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（

）A． B． C． D．4．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E为的中点．若，则的周长为（

）

A．12 B． C． D．145．（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．6．（2023·河南郑州·统考一模）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为（

）A． B． C． D．7．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，周长为24的平行四边形对角线、交于点，且，若，则的周长为（

）A．8 B．9 C．10 D．8．（2023·河南南阳·校联考二模）如图，在中，，点D为斜边的中点，，垂足为E，若，则的长度为()

A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题9．（2023·四川成都·统考一模）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．10．（2023·福建厦门·统考一模）如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长为________．

11．（2023·江西·模拟预测）小明同学在数学兴趣活动课上用图1的“七巧板”，设计拼成了图2的飞船，则飞船模型面积与矩形框的面积之比为______．12．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）矩形，的平分线交直线于点E，，，则矩形的面积为_______．13．（2023·山东济南·统考二模）古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”(如图1)，问题解决：如图2，点P是矩形的对角线上一点，过点P作分别交，于点E，F，连接，．若，，则图中阴影部分的面积和为__________．14．（2023·浙江台州·统考二模）如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB的长为_________．15．（2023·浙江丽水·校联考二模）如图，将矩形按如图方式折叠，使得点与点重合，折痕为．若，，则折痕的长为________．

16．（2023·四川成都·统考一模）如图，在中，，若是AB边的中线，则_____．

三、解答题17．（2023·浙江温州·统考一模）如图，在矩形中，点E，O分别为的中点，过点A作交EO的延长线于点F，连接交于点G．(1)求证：四边形为平行四边形．(2)若，且，求的长．18．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，延长交于点.(1)求证：；(2)连接，若，求的度数．19．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，求的长．20．（2023·辽宁丹东·统考一模）如图①，在上，、都为等腰直角三角形，，连接，以为边作平行四边形，连接．

(1)求证：；；(2)将图①中绕点顺时针旋转，其它条件不变，如图②