第07讲 认识一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第07讲认识一元二次方程（3种题型）【知识梳理】一．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．【考点剖析】一．一元二次方程的定义（共4小题）1．（2023•桐柏县一模）关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（）A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣12．（2022秋•临潼区期中）已知关于x的方程（m+2）x|m|+（m﹣3）x﹣1＝0是一元二次方程，求m的值．3．（2022秋•连平县校级期末）若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≥2且a≠2 B．a≥0且a≠2 C．a≥2 D．a≠24．（2023春•文登区期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B． C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝﹣3二．一元二次方程的一般形式（共3小题）5．（2023春•鼓楼区校级期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（）A．3x+1＝0 B．x2+3＝0 C．3x2+6x＝1 D．3x2+1＝06．（2022秋•新会区期末）把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（）A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6 C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝67．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5三．一元二次方程的解（共17小题）8．（2023春•吴兴区期中）若m是关于x的方程x2﹣2023x﹣1＝0的根，则（m2﹣2023m+3）•（m2﹣2023m+4）的值为（）A．16 B．12 C．20 D．309．（2023春•巴东县期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．410．（2023•微山县三模）已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式的值应（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间11．（2023•定西模拟）若m是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2023的值为．12．（2022秋•镇原县期中）关于x的一元二次方程ax2+5x+a2+a＝0的一个根是0，求a的值．13．（2022秋•锦江区校级月考）化简求值：，已知x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根．14．（2023•枣庄）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为．15．（2023•单县三模）先化简，再求值：÷（﹣x+1），其中x满足方程x2+x﹣1＝0．16．（2023•萍乡二模）先化简，再求值，其中m是方程（m+2）（m﹣3）＝0的解．17．（2023•鹤山市模拟）先化简，再求值：，其中a是方程x2+3x﹣4046＝0的一根．18．（2023•剑阁县二模）先化简，再求值：，其中x是方程x2+4x﹣12＝0的根．19．（2022秋•遵义期末）先化简，再求值．（﹣m+1），其中m为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根．20．（2022秋•长汀县期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）试判断方程x2+2x+1＝0“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．21．（2022秋•吉林月考）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣5＝0，若该方程的一个根为x＝3，求a的值并直接写出该方程的常数项．22．（2023•江汉区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，则的值是（）A． B． C． D．223．（2023•株洲）已知实数m、x满足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．①若，则x2＝；②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对（x1，x2）有个．24．（2022秋•南昌期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式；判断241“喜鹊数”（填“是”或“不是”）；（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．

【过关检测】一、单选题1．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（

）A．2，1，3 B．2，，3 C．2，， D．2，，12．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）把一元二次方程化成一般形式后，一次项系数的一半为（

）A．8 B．4 C． D．-43．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程化成的形式，则，，的值分别为（

）A．，， B．，， C．，， D．，，4．（2022春·甘肃兰州·九年级校考阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是()A． B． C． D．不能确定5．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值是（

）A． B．1 C．或 D．06．（2023·广东惠州·统考一模）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（

）A．1 B．1或 C． D．0.57．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）若a是方程的一个解，则的值是（

）A．10 B．5 C． D．8．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．二、填空题9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）一元二次方程的一次项系数为______．10．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）用公式法解一元二次方程时，应先将其化成“一般形式”为________．11．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为_____．12．（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程，则__________．13．（2023·山东东营·统考一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．14．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若是方程的一个解，则代数式的值是___________．三、解答题15．（2022秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，求不等式：的解集．16．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．17．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程的解，求式子的值．18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．(1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由；(2)若是倍根方程，则___________．19．（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根．20．（2023·北京西城·统考一模）已知a是方程的一个根，求代数式的值．21．（2021秋·江苏·九年级专题练习）设p，q是整数，方程有一个根为，求p﹣q的值．22．（2022秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m