第08讲 用配方法求解一元二次方程（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第08讲用配方法求解一元二次方程（3种题型）【知识梳理】一．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.二．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【考点剖析】一．解一元二次方程-直接开平方法（共6小题）1．（2022秋•广宗县期末）解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．2．（2023•庐江县模拟）解方程：2（x﹣1）2﹣18＝03．（2022秋•南关区校级期末）解方程：2（x﹣3）2＝8．4．（2022秋•牡丹区校级期末）4（1﹣x）2﹣9＝0．5．（2023•桦南县一模）解方程：（x+3）2﹣25＝0．6．（2021秋•连平县校级期末）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．二．解一元二次方程-配方法（共8小题）7．（2023•青秀区校级模拟）解方程：x（x﹣2）﹣3＝0．8．（2023•普兰店区一模）解方程：x（x﹣6）＝6．9．（2022秋•青神县期末）解方程：（x+1）（x﹣2）＝3x．10．（2022秋•金平区期末）用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0．11．（2022秋•京口区校级期末）解下列方程：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；（2）2x2﹣4x﹣7＝0．12．（2022秋•武功县期末）解方程：x2+6x+3＝0．13．（2022秋•峰峰矿区期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：2x2+4x﹣8＝0二次系数化为1，得x2+2x﹣4＝0…第一步移项，得x2+2x＝4…第二步配方，得x2+2x+4＝4+4，即（x+2）2＝8…第三步由此，可得…第四步所以，，…第五步（1）小明同学解题过程中，从第步开始出现错误．（2）请给出正确的解题过程．14．（2022秋•青县期末）阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下：解：x2+6x﹣4＝0x2+6x＝4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①x2+6x+9＝4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（x+3）2＝4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③x+3＝±2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④x+3＝2，x+3＝﹣2x1＝1，x2＝﹣5．问题：（1）佳佳解方程的方法是；A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法（2）上述解答过程中，从步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是；（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．三．配方法的应用（共12小题）15．（2023春•苏州月考）先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题：（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．（2）求代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．16．（2022秋•广水市期末）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1））当x＝时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值为．（2）当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）当x，y何值时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？（4）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．17．（2023•秦淮区二模）在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的三角形中，有．（1）推导该结论的一种思路可以用如图的框图表示，请填写其中的空格．​（2）推导该结论的其他思路还有：①利用a+b＞c，，，再配方，…②利用a+b＞c，使用平方差公式，…③利用a+b＞c，…上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路．18．（2022秋•淮安区校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．19．（2022秋•洛阳期末）【阅读材料】若x2+y2+8x﹣6y+25＝0，求x，y的值．解：（x2+8x+16）+（y2﹣6y+9）＝0，（x+4）2+（y﹣3）2＝0，∴x+4＝0，y﹣3＝0，∴x＝﹣4，y＝3．【解决问题】（1）已知m2+n2﹣12n+10m+61＝0，求（m+n）2023的值；【拓展应用】（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2＝8b+4c﹣20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围．20．（2022秋•通川区期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．解决问题：（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），求mn的值；（3）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．21．（2023•定远县校级三模）阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下．∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4．（1）①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为．②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为．（2）延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40m，设矩形ABCD的边面积为Sm2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？22．（2023春•庄浪县期中）若三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．23．（2023春•江都区月考）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）数11“完美数”（填“是”或“不是”）；数53“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝；【拓展提升】（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．24．（2023•桐乡市一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，（1）尝试：①当x＝﹣2，y＝1时，∵x2+y2＝5，2xy＝﹣4，∴x2+y2＞2xy．②当x＝1，y＝2时，∵x2+y2＝5，2xy＝4，∴x2+y2＞2xy．③当x＝2，y＝2.5时，∵x2+y2＝10.25，2xy＝10，∴x2+y2＞2xy．④当x＝3，y＝3时，∵x2+y2＝18，2xy＝18，∴x2+y22xy．（2）归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．（3）运用：求代数式的最小值．25．（2022秋•高州市期末）我们知道：x2﹣6x＝（x2﹣6x+9）﹣9＝（x﹣3）2﹣9；﹣x2+10x＝﹣（x2﹣10x+25）+25＝﹣（x﹣5）2+25，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：（1）探究：当a取不同的实数时，求代数式a2﹣4a的最小值．（2）应用：如图．已知线段AB＝6，M是AB上的一个动点，设AM＝x，以AM为一边作正方形AMND，再以MB、MN为一组邻边作长方形MBCN．问：当点M在AB上运动时，长方形MBCN的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．26．（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12.所以5是“完美数”．解决问题：（1）已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是整数）的形式；（2）若x2﹣4x+3可配方成（x﹣m）2+n（m、n为常数），则mn＝；探究问题：（3）已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，则x+y＝；（4）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．拓展结论：（5）已知实数x、y满足﹣x2+x+y﹣2＝0，求5x﹣3y的最值．

【过关检测】一、单选题1．（广东清远·九年级统考期末）将方程配方后，原方程变形为（

）A． B． C． D．2．（2023·河北衡水·统考二模）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．（2023·贵州贵阳·统考一模）解一元二次方程时，配方后得到方程，则c等于（

）A．6 B．4 C．2 D．4．（2023·北京东城·统考一模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C．0 D．25．（2023·江苏扬州·统考一模）已知，则的最小值是（

）A．8 B． C． D．96．（2022·山东德州·统考中考真题）已知，为任意实数，则的值(

)A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定7．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2022秋·广东佛山·九年级校考期中）一元二次方程配方后得，则的值为_____．9．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）代数式可化为；无论a取何值，所以，即有最小值为4．仿照上述思路，代数式的最大值为__________．10．（2023·全国·九年级专题练习）填空：（1）______．（2）______．（3）___________．11．（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）用配方法将方程进行配方得___________．12．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程，配方后可变形为____．13．（2022秋·全国·九年级专题练习）当_____时，代数式有最小值为______．14．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于__________．15．（2023秋·辽宁丹东·九年级校考期中）将方程化为形式，则______，______．16．（2022秋·福建宁德·九年级统考阶段练习）若将方程化为，则m=___________．17．（2023·浙江台州·统考一模）已知点在一次函数图象上，则的最小值为______．18．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）若实数x，y满足关系式，则的最大值为______．三、解答题19.（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．20.用配方法解方程.

(1)x2-4x-2＝0；(2)x2+6x+8＝0.

21．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）先阅读，后解题．已知，求和的值．解：将左边分组配方：即．，，且和为，且，，．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：，求和的值．(2)已知，，是的三边长，满足且为直角三角形，求．22．（2022秋·江西九江·九年级统考期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值．解：∵无论x取何实数，总有．∴，即的最小值是．即无论x取何