第14讲 一元二次方程（八大题型综合归纳）（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第14讲一元二次方程（八大题型综合归纳）目录：题型1：一元二次方程的相关概念；题型2：一元二次方程的解法题型3：一元二次方程根的判别式；题型4：一元二次方程根与系数的关系题型5：配方法的应用；题型6：一元二次方程的实际应用题型7：一元二次方程的几何应用；题型8：材料信息题题型1：一元二次方程的相关概念1．下列方程，是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是（

）①，②，③，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行判断即可．【解析】解：①是一元二次方程，②含有两个未知数，不是一元二次方程，③不是整式方程，不是一元二次方程，④当时，不是一元二次方程；综上：是一元二次方程（其中，是未知数）的个数是1个；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．2．写出一个以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程：___________．【答案】【分析】利用因式分解的形式解题即可．【解析】解：以和5为两根且二次项系数为1的一元二次方程可表示为：，化简后为：，故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解法解二次方程的逆用，能熟练运用因式分解法是解题关键．3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．4．当______时，关于的方程是一元二次方程．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，，解得，故答案为：．【点睛】考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．5．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是(

)A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】将代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．【解析】解：将代入方程得：，解得：，∴原方程为：，则，解得：或，∴另一个根为1．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．6．若是关x的方程的解，则的值为___________．【答案】2019【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．【解析】解：∵是关x的方程的解，∴，即：，∴；故答案为：2019．【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．7．若实数，分别满足，，且，则的值为______．【答案】【分析】先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，再代入代数式进行求解即可．【解析】解：∵、分别满足，∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．8．设，是方程的两个根，则_______．【答案】【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入式子求值即可．【解析】解：由题意知，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．题型2：一元二次方程的解法9．解方程：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；（3）利用因式分解法解方程．（4）求出，根据公式即可求出答案．【解析】（1）解：，两边除以4得：，两边开平方得：，∴；（2）解：，∴，∴，即，∴所以；（3）解：∴，∴或，所以；（4）解：，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．用适当方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【解析】（1）解：直接开平方可得：，或∴原方程的解为：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解为：，；（3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解为：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解为：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解为：，【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择．11．用配方法解方程：，开始出现错误的一步是（

）①，②，③，④．A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】按照配方法的步骤逐步分析即可.【解析】解：，，，．即．从用配方法的解题过程中可知，第③步开始出现错误．故选：C．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．12．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可．【解析】解：，，，，，故选：．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．13．以为根的一元二次方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据求根公式逐一判断即可．【解析】解：A．此方程的根为x=，符合题意；B．此方程的根为x=，不符合题意；C．此方程的根为x=，不符合题意；D．此方程的根为x=，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查解一元二次方程—公式法，解题的关键是掌握求根公式．14．若，则的值为（

）A． B．4 C．或4 D．3或4【答案】B【分析】根据题意，采用换元法，令，将转化为，即，得到，解得或，再结合，即可确定，从而确定答案．【解析】解：令，将转化为，，即，解得或，，，故选：B．【点睛】本题考查代数式求值，涉及换元法、解一元二次方程等知识，熟练掌握换元法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．题型3：一元二次方程根的判别式15．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值有可能是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围即可得到答案．【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根，整理得∴且，∴且，∴四个选项中，只有D选项符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．【答案】C【分析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，由此即可求出的取值范围．【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，解得：且，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当

时，方程没有实数根．17．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________（写出一个满足条件的值）．【答案】（答案不唯一，合理即可）【分析】先根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，根据的取值范围，选取合适的值即可．【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，当时，满足题意，故答案为：（答案不唯一，合理即可）【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．18．已知，关于的一元二次方程，(1)若，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）对一元二次方程，先明确其各项系数，，的值，再利用判别式证明方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个整数根，即，由求出的范围，且必须为能被开方的奇数，据此列出关系式，求解．【解析】（1）证明：对关于的一元二次方程，其中，，，则，当时，，该方程有两个不相等的实数根．（2）解：由（1）得，方程有两个整数根，，．为平方数．，．为整数，为奇数．是大于小于的能被开方的奇数，即，解得．【点睛】本题考查对于一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握利用判别式分析一元二次方程根的情况是解题的关键．19．关于的一元二次方程有两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．【答案】(1)(2)14【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根，结合根的判别式可得出，解之即可得出结论；（2）根据题意，设的两条直角边分别为，由根与系数的关系可得出、，结合勾股定理可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由方程的两根是对应的直角边长，均为正值，可确定的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论．【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根，，解得：；（2）解：设的两条直角边分别为，，是方程的两个实数根，，，，即，解得或，由于是直角三角形的两条直角边，从而有，即，，这个三角形的周长为．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及勾股定理，解题的关键是：（1）由方程有两个实数根找出；（2）利用根与系数的关系结合勾股定理找出．题型4：一元二次方程根与系数的关系20．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．【解析】解：∵关于x的一元二次方程两根为，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．21．已知方程的两根分别为、，则的值为（

）A．1 B． C．2023 D．【答案】B【分析】由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可．【解析】解：∵方程的两根分别为、，∴，，，∴∴．故选：B．【点睛】本题考查根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．22．已知，是方程的两根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程个与系数的关系得出，将代数式因式分解，然后代入值即可求解．【解析】解：∵，是方程的两根，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．23．关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，且，则值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据韦达定理可知，，利用完全平方公式可得，整体代入解方程即可．【解析】解：关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，，，，，，，整理得：，解得，，，故选：B．【点睛】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是解题关键．24．已知关于x的一元二次方程．(1)若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围；(2)若此方程的两根互为倒数，求的值．【答案】(1)(2)7【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）根据根与系数的关系结合倒数的定义得到，再由进行求解即可．【解析】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即，∴；（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，，且互为倒数，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．题型5：配方法的应用25．已知，(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】求出的结果，再判断即可．【解析】根据题意，可知，所以．故选：B．【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．26．若，则p的最小值是（

）A．2021 B．2015 C．2016 D．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【解析】解：，∵，，∴p的最小值为2016，故选：C．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是将原式分组配方．27．若（为实数），则的最小值为__________．【答案】【分析】运用配方法将变形为，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．【解析】解：===∵为实数，∴∴的最小值为,故答案为：．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．28．已知，则的值是_____．【答案】【分析】把已知条件式相加得到，利用非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：0．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确根据已知条件式推出是解题的关键．29．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴当时，有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，则的值为______．【答案】(1)(2)(3)(4)4【分析】（1）根据题意，由完全平方公式，可以知道横线上是，（2）按照题干上的示例可以将分为，再利用完全平方公式即可求解，（3）根据题意的方法，先将因式分解为完全平方的形式即，即可求出最小值，（4）根据题意先将因式分解，变成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出结果．【解析】（1）解：，故答案为：；（2）解：；（3）解：，∵，∴当时，有最小值为；（4）解：，，，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．题型6：一元二次方程的实际应用30．某县年人均可支预收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意列出一元二次方程即可．【解析】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，根据题意得，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．31．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（

）个人．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：，即，解方程得(舍去)，即每轮传染中平均一个人传染了10个人；故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．32．空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（）

A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法【答案】A【分析】设矩形的边为x米，则宽为米，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案．【解析】解：如图所示，设矩形的边为x米，则宽为米，

根据题意得：，即：，解得：，，而，∴，∴，∴只有一种围法，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．33．如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是______．【答案】1米【分析】设道路的宽为．由题意可得：，解方程即可求解．【解析】解：设道路的宽为．由题意可得：，整理得：，

解得：，（不符合题意，舍去）．∴道路的宽为米．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．34．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元【答案】A【分析】根据题意设每件商品降价元，则平均每天可售出件，根据每日的总利润每件商品的利润每日的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值．【解析】解：设每件商品降价元，则平均每天可售出件，依题意得：，整理得：，解得：，，又，，．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．35．《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步，”意思是：一个矩形的面积为平方步，宽比长少步，问宽和长各多少步？如果设矩形的长为步，由题意，可列方程为______．【答案】【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的宽为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵矩形的长为步，且宽比长少12步，∴矩形的宽为步．依题意，得：．故答案为：．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．36．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．【答案】16或49【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可．【解析】设一位数为，则两位数为．则根据题意可得：，

整理得：．分解得：，解得：，．答：这个两位数为16或49．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键．37．年7月1日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】4【分析】设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值．【解析】解：设圈出的四个数中最小数为x，则最大的数为，根据题意得：，得，解得，(不合题意舍去)，故这个最小数是4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．38．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少1625个/天，工厂的产线共x条（1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）．（2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？【答案】（1）；（2）12或36【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案．【解析】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天故答案为：；（2）根据题意，得：或∴即该工厂引进了12或36条生产线．【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．题型7：一元二次方程的几何应用39．将一个边长为4的正方形分割成如图所示的9部分，其中全等，也全等，中间小正方形的面积与面积相等，且是以为底的等腰三角形，则的面积为（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】连结并向两端延长分别交于点连结，证明为等腰三角形，证得，，设，则，根据正方形的面积与面积相等，列出即可解得．【解析】解：如图，连结并向两端延长分别交于点连结，

∵四边形为正方形，∴，∵是以为底的等腰三角形，∴，则点E在AB的垂直平分线上，∵≌，∴为等腰三角形，∴，则点G在的垂直平分线上，∵四边形为正方形，∴的垂直平分线与的垂直平分线重合，∴即为或的垂直平分线，则，，∵正方形的边长为4，即，∴，设，则，∵正方形的面积与面积相等，即，解得：，∵不符合题意，故舍去，∴，则，∵，，，全等，∴，∵正方形的面积，，，，也全等，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得的面积．40．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，(1)的面积等于平方厘米？(2)五边形的面积最小？最小值是多少？【答案】(1)2秒或4秒(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是63平方厘米【分析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，从而可得答案．【解析】（1）解：设运动时间为，则，，则，解得：或．∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．（2）由（1）可得：∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，则此时五边形的面积最小，最小值为．【点睛】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．41．如图1，在平面直⻆坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，连接，，的面积为32．(1)求的长；(2)如图2，点D是第一象限内一点，连接，，，，求度数；(3)如图3，在（2）的条件下，点E是第四象限内一点，连接，且，点F在的延长线上，2∠EFB=∠ODE+∠DOE，OF=OE+OA，求点D的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的判定得到，利用直角三角形的面积公式求解即可；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可；（3）过B作交于S，过E作于K，证明四边形是正方形，则，，再证明得，进而证得，则，再根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定，结合已知证得，取的中点H，连接，则，，设，则，，，在中，利用勾股定理求得，过O作于N，则四边形为矩形得，过D作于M，利用等面积法和勾股定理分别求得和即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，∵的面积为，∴，则；（2）解：∵，，∴，设，则，∴，，∴；（3）解：过B作交于S，过E作于K，∵，，∴四边形是正方形，则，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，则∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴取的中点H，连接，则，，设，则，，，在中，，∴，解得或（舍去），∴，，过O作于N，则四边形为矩形，∴，过D作于M，由得，在中，，∴点D的坐标为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性很强，难度较大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，尤其第（3）问添加合适的辅助线是解答的关键．42．已知正方形，为上动点，，于，延长交于点．(1)如图1，当时，；(2)如图2，，求；(3)如图3，若，直线写出的值______．【答案】(1)4(2)(3)【分析】（1）设AM=a，则AD=AB=2a，利用勾股定理求出BM的长，利用三角形面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出ME的长，即可求出BE的长，由此即可得到答案；（2）如图所示，连接BD，设AD=5b，则AM=2b，同（1）求出，，得到，设，则，求出，证明即可得到答案；（3）同（2）求解即可．（1）解：由题意得AD=2AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，设AM=a，则AD=AB=2a，∴，∵AE⊥BM，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：如图所示，连接BD，由题意得，∴，∴设AD=5b，则AM=2b，∴，同理可得：，∴，∴，∴，设，则，∵∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：连接BD，设AM=c，则，，∴，∴，∴，∴，∴，设，则，∵∴，同（2）可得，∴，∴，解得（负值已舍去），经检验是原方程的解，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积，解一元二次方程等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．题型8：材料信息题43．根据绝对值的定义可知，下列结论正确的个数有（

）①化简一共有8种不同的结果；②的最大值是5；③若，（为正整数），则当时，；④若关于的方程有2个不同的解，其中为常数，则或A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】由、、的结果分别有2种，则的结果共