第13讲 应用一元二次方程（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第13讲应用一元二次方程1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.二、一元二次方程应用题的主要类型1.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)2.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.考点1：增长率问题例1．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，利用等量关系：八月份的产量六月份的产量×（1-产量的月平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，解方程取其合适的值即可得出结论．【解析】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例2．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182【答案】B【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程．【解析】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个，则得：．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．考点2：数字型问题例3．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（

）A．62 B．44 C．53 D．35【答案】C【分析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,根据题意列出一元二次方程即可求解.【解析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,由题意得[10×（8-x）+x][10x+8-x]=1855,解得x=3或5，故较大的数为53，故选C.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是表示出对调前后的两位数表示.考点3：握手问题（握手问题2个算一场）例4．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（）A．x（x﹣1）＝66 B．＝66C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66【答案】A【分析】利用参会人员共握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】解：依题意得：．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．例5．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为(

)A．6 B．9 C．7 D．8【答案】B【分析】根据题意设八年级班级的个数为个，根据单循环形式共需安排36场比赛，建立一元二次方程，解方程即可求解．【解析】解：设八年级班级的个数为个，根据题意得，，解得（舍去），答：八年级班级的个数为9个．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．考点4：握手问题衍生题（红包问题2个算2场，重在理解）例6．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(

)A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】B【解析】试题解析：设这个QQ群共有x人，依题意有x（x-1）=90，解得：x=-9（舍去）或x=10，∴这个QQ群共有10人．故选B.考点5：传染问题例7．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有225人患了流感即可列出方程．【解析】解：依题意得（1+x）+x（1+x）=225．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数．考点6：小路问题例8．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(

)A．35×20-35-20+22=600 B．35×20-35-2×20=600C．(35-2)(20-)=600 D．(35-)(20-)=600【答案】C【分析】设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，再利用矩形的面积公式计算即可．【解析】设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）依题意，得：（35-2x）（20-x）=600．故选：C．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．例9．如图，在一幅长80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周，镶一条宽度相等的金色纸边制成矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（长+2个纸边的宽度）×（宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．【解析】解：设金色纸边的宽为xcm，依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．例10．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的宽度为x，可列方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设小道的宽度为x，则剩余部分的长为：m，宽为：m，由长方形的面积公式即可求解．【解析】解：设小道的宽度为x，由题意得：剩余部分的长为：m，宽为：m，∴由长方形面积公式得：，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点7：日历（表格）问题例11．日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数是（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【分析】根据日历上数字的特点，用含中间数的代数式表示出最小的数a和最大的数i，根据最大的数与最小的数乘积是297列一元二次方程，解方程即可．【解析】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，则，，，，∵最大的数与最小的数乘积是297，∴，解得，取正数，．故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是用含中间数的代数式表示出a和i．考点8：围栏问题例12．如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的门，花圃面积为80m2，设于墙垂直的一边长为xm，则可以列出方程是（

）A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80【答案】A【分析】设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据题意得：x（26-2x）=80．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．例13．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（

）A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法【答案】A【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．【解析】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米，∴当时，采用图1围法，则此时当时，解得：此时都不符合题意，采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即则则所以长为米，结合可得

∴解得：经检验不符合题意，综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；设矩形菜园的宽为x米，则长为米，∴当时，采用图1围法，则此时当时，解得：经检验符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即则则所以长为米，结合可得

∴解得：经检验符合题意，综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；同理可得：C不符合题意，D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．考点9：营销问题例14．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，利用每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，依题意得：．故选：D【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．考点10：复杂的营销问题例15．重庆奉节脐橙，柚子非常出名，奉节大力发展经济作物．其中果树种植已经具有规模性了，今年受气候、雨水等因素的影响，所橙产量较去年有小幅度的减少．而柚子产量有所增加．（1）奉节某果农今年收获脐橙和柚子共4200千克，其中脐橙的产量不超过柚子产量的6倍，求该果农今年收获柚子至少多少千克？（2）该果农把今年收获的脐橙、柚子两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年脐橙的市场销售量为1000千克，销售均价为15元千克，今年脐橙的市场销售量比去年减少了a%销售均价与去年相同．该果农去年柚子的市场销售量为2000千克，销售均价为10元/千克，今年柚子的市场销售量比去年增加了2a%，但销售均价比去年减少了a%，该果农今年运往市场销售的这部分脐橙和柚子的销售总金额与他去年脐橙和柚子的市场销售总金额相同，求a的值．【答案】（1）600；（2）25【分析】（1）利用脐橙的产量不超过柚子产量的6倍，表示两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据今年运往市场销售的这部分脐橙和柚子的销售总金额与他去年脐橙和柚子的市场销售总金额相同列出等式，进而得出答案．【解析】解：（1）设今年柚子xkg，由题意得：4200－x≤6x，解得：x≥600答：该果农今年收获柚子至少600kg．（2）由题意知：1000×（1－a%）×15+2000×（1+2a%）×10×（1－a%）＝1000×15+2000×10，令a%＝m，15×（1－m）+20×（1+2m）（1－m）＝15+20，100m2－25m＝0，解得：（不合题意，舍去），＝25%，∴a＝25【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出等量关系是解题的关键．计算过程中通常把a%设成m方便计算．考点11：几何问题例16．如图所示，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积是____________________．【答案】【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=2，求b的值，即可求得正方形的面积．【解析】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=2，则方程是（2+b）2=b（2+2b），解得：b=(负值已舍)，所以正方形的面积为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，解一元二次方程，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．例17．如图，在长方形中，厘米，厘米，点在边上（不与点、重合），厘米．将长方形绕点顺时针旋转90度后，得到长方形，且重叠部分的四边形是长方形．连接，．（1）若厘米，厘米，则三角形的面积平方厘米；（2）用含有、的代数式表示三角形的面积；（3）若，求的长度．【答案】（1）15；（2）；（3）4cm【分析】（1）根据性质的性质可得，，，进而求得，，根据即可求得；（2）根据（1）的方法求解即可；（3）根据（2）的结论和已知条件可得，解方程求解即可【解析】（1）解：将长方形绕点顺时针旋转90度后，得到长方形，，，，，，，，，，，，，，故答案为：15；（2）解：将长方形绕点顺时针旋转90度后，得到长方形，，，，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，；（3）解：，，，解得：，（不合题意舍去），的长度为．【点睛】本题考查了旋转的性质，一元二次方程的应用，掌握旋转的性质，根据题意求得是解题的关键．一、单选题1．（2022·宁夏·中考真题）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．【解析】解：依题意，得．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．2．（2022·重庆·统考中考真题）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．【解析】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，∴可列方程为：，故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．3．（2022·山东泰安·统考中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．（2020·湖南衡阳·统考中考真题）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．【解析】解：如图，设小道的宽为，则种植部分的长为，宽为由题意得：．故选C．【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键．5．（2021·黑龙江·统考中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（

）A．14 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：，解得：（舍去），故选B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．6．（2020·广西河池·统考中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：x（x﹣1）＝36，化简，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．二、填空题7．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为___________．【答案】【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【解析】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．8．（2023·重庆·统考中考真题）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________．【答案】【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程．【解析】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为．第二个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有，故答案为．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．9．（2022·浙江衢州·统考中考真题）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：_____（不必化简）．【答案】【分析】根据题意分别找出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．【解析】由包装盒容积为360cm3可得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了将实际问题转化为一元二次方程，能够利用长方形的体积列出方程是解题关键．10．（2022·湖南永州·统考中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．【答案】3【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，设AF=DE=CH=BG=x，结合图形得出AE=x-1，利用勾股定理求解即可得出结果．【解析】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB=BC=CD=DA=5，EF=FG=GH=HE=1，根据题意，设AF=DE=CH=BG=x，则AE=x-1，在Rt∆AED中，，即，解得：x=4（负值已经舍去），∴x-1=3，故答案为：3．【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．11．（2022·山东济南·统考中考真题）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．【答案】16【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．【解析】解：设小正方形的边长为，矩形的长为，宽为，由图1可得：，整理得：，，，，，矩形的面积为．故答案为：16．【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．三、解答题12．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，在长为50m，宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？【答案】4m【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．【解析】解：设道路的宽应为x米，由题意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4m．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是能根据题目中的等量关系建立方程．13．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？【答案】增加了3行3列．【分析】设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程求解即可．【解析】解：设增加了行，则增加的列数为，根据题意，得：，整理，得：，解得，（舍，答：增加了3行3列．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．14．（2020·西藏·统考中考真题）列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．【答案】30m，20m【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．【解析】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．15．（2021·山西·统考中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【解析】解：设这个最小数为．根据题意，得．解得，（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．16．（2021·山东东营·统考中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．【答案】（1）20%；（2）能【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．【解析】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：，解得：，（舍去），答：亩产量的平均增长率为20%．（2）第四阶段的亩产量为（公斤），∵，∴他们的目标可以实现．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．17．（2021·山东菏泽·统考中考真题）列方程（组）解应用题端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？【答案】29元．【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．【解析】解：设这种水果每千克降价元，则每千克的利润为：元，销售量为：千克，整理得，或，要尽可能让顾客得到实惠，即售价为（元）答：这种水果的销售价为每千克29元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为________，当时，对应的________．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？【答案】（1）10，15；（2），1128；（3）20【分析】（1）观察图形，可以找出第四和第五个图中的y值；（2）根据y值随x值的变化，可找出，再代入可求出当时对应的y值；（3）根据（2）的结论结合九年级1班全体女生相互之间共通话190次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．（2）∵，∴，当时，．故答案为：；1128．（3）依题意，得：，化简，得：，解得：（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及图形的变化规律，观察图形找出变化规律是解题的关键．一、单选题1．某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2019年投入3000万元，预计2021年投入5000万元，设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的（）A．3000（1+x）2＝5000 B．3000x2＝5000C．3000（1+2x）＝5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000【答案】A【分析】根据题意，根据“2019年投入金额增长率2021年投入金额”列式即可得解．【解析】根据“2019年投入金额增长率2021年投入金额”列式得，故选：A．【点睛】本题主要考查了增长率的实际应用，熟练掌握相关基本等量关系式是解决本题的关键．2．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x﹣1）＝240 B．x（x﹣1）＝240C．x（x＋1）＝240 D．x（x＋1）＝240【答案】A【分析】根据参加比赛的球队数量、总共要比赛的场数列出方程即可得．【解析】解：由题意，可列方程为，故选：A．【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．3．如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据題意，列方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，利用种植的面积建立等式，可得出关于的一元二次方程．【解析】解：设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，根据题意：，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：根据题目信息，找准等量关系，列出一元二次方程．4．每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染人，则下列方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设每人每轮平均感染x人，根据“两轮传染后共有81人患了流感”列出方程即可．【解析】设每人每轮平均感染人，由题意得，x（x+1）+x+1=81，即．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，本题的等量关系是两轮传染后共有81人患了流感．5．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若设门的宽为x寸，则下列方程中，符合题意的是（）A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝1002【答案】D【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，利用勾股定理及门的对角线长1丈（100寸），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【解析】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.设门的宽为x寸，则门的高度为（x+68）寸，依题意得：x2+（x+68）2＝1002.故选：D.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、由实际问题抽象出一元二次方程，准确计算是解题的关键．6．有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中个白球同时变成红球（为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则应满足的方程是（）A．4（1＋）＝64 B．4（1＋）＝400 C．4＝64 D．4＝400【答案】C【分析】原有4个红球，1分钟后红球数为个，2分钟新增加的红球数为个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论．【解析】根据题意得：，即：，故选：C．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．7．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（）A．12元 B．10元 C．11元 D．9元【答案】B【分析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．【解析】设应降价x元则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800解得：x=4或x=10∵要尽快较少库存，∴x=4舍去故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解．8．阅读理解：设，，若，则，即已知，，且，则x的值为A． B．1或 C．或4 D．1【答案】B【解析】解：，，且，，即．整理，得．解得，故选B．【点睛】此题主要考查了平面向量，坐标与图形性质，解题的关键是根据平面向量垂直的定义得到关于x的方程．9．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有()A．9人 B．10人 C．11人 D．12人【答案】B【解析】试题解析：设这个QQ群共有x人，依题意有x（x-1）=90，解得：x=-9（舍去）或x=10，∴这个QQ群共有10人．故选B.10．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则对角线的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C二、填空题11．新能源汽车节能环保，越来越受到消费者的喜爱，各种品牌相继投放市场．某地2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，销售量逐年增加，到2020年为125.6万辆．若年增长率x不变，则x的值是多少？根据题意可列方程为_________．【答案】50.7（1+x）2=125.6【分析】根据2018年新能源汽车的销售量为50.7万辆，到2020年为125.6万辆，若年增长率x不变，可得关于x的一二次方程【解析】解：依题意，得：50.7（1+x）2=125.6．故答案为：50.7（1+x）2=125.6．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______．【答案】【分析】根据药品的原价及经过2次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】解：依题意得：80（1-x）2=51.2，故答案为：80（1-x）2=51.2．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米，为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．则____________米．【答案】10或11【分析】设仓库的宽AB为x米，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为（84-4x）米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，解之此题得解．【解析】解：设仓库的宽AB为x米，则仓库的长为（84-4x）米，根据题意得：x（84-4x）=440，解得：x=10或x=11，故答案为：10或11．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．据美国约翰斯•霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．【答案】11【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，然后由题意可得，进而求解即可．【解析】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去），∴每轮传染中平均每人传染了11人；故答案为11．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．15．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个赢利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天赢利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价元，可列方程为_____________________．（不需要化简）【答案】【分析】设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利元，平均每天的销售量为个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利元，平均每天的销售量为个，依题意得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则_________秒．【答案】4-【分析】根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出PA，PC，再列出方程，即可求解．【解析】解：∵在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，∴PA=2t，PC=，∵，∴2t=，解得：t1=4-，t2=4+（舍去），故答案是：4-．【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．17．在一次聚会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯36次，则参加聚会的有______人．【答案】9【分析】由题意设参加聚会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯36次，则可得每个人可碰（x-1）次，继而可得x人一共碰杯x（x-1）次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】解：设参加聚会的人数为x人，根据题意得：x（x-1）=36，整理，可得：x2-x-72=0，解得：x1=9，x2=（不合题意，舍去），则参加聚会的人数为9人，故答案为：9．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．解题的关键是根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程．18．已知个连续整数的和为，它们的平方和是，且．则____．【答案】15或18【分析】设这3个连续整数为x，x+1，x+2，则由题意可得，，然后由可求解．【解析】解：设这3个连续整数为x，x+1，x+2，由题意得：，，∴，，∵，∴，化简得：，解得：，故答案为15或18．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．19．如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则的值是___________．【答案】【分析】设CD＝a，则CE＝a，根据已知条件可求出，利用勾股定理得出，解方程求出CD，则AD可求出．【解析】解：设CD＝a，则CE＝a，∵，，∴，∵，∴，∴，在Rt△ABC中，，∴，解得，或（舍去），∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理及一元二次方程的应用，熟练运用方程的思想求解是解题的关键．20．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_____元．【答案】5740【分析】根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x元，一个禄字饼成本（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可．【解析】解：设A礼盒成本价格a元，根据题意，得96﹣a＝20%a，解得a＝80，∵A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼，∴2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元，∴1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元，设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40﹣x）元，则1个寿字饼成本价为（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，根据题意，得m+n＝7880m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）]∴xn＝20n+250设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×（40﹣x）＝80（m+n）﹣500＝80×78﹣500＝5740．故答案为：5740．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A礼盒的成本．三、解答题21．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为9元/盒，求平均每次降价的百分率．【答案】50%【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是36（1-x），第二次后的价格是36（1-x）2，据此即可列方程．【解析】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，∵经过连续两次降价，现在售价每盒9元，∴36（1-x）2=9，解得：x=50%或x=150%（舍去）．答：该药品每次降价的百分率为50%．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？【答案】当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．【解析】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16＞12（舍去），当x=8时，26-2x=10＜12，答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运