第11讲 位似图形-【暑假预习】新九年级数学（北师大版）（教师版）

第十一讲位似图形【学习目标】1.了解图形的位似,利用位似可以将一个图形放大或缩小.2.能准确地利用图形的位似将一个图形放大或缩小，了解常用的几何图形放大或缩小的数学依据.3.掌握位似图形的性质.【基础知识】1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.【考点剖析】考点一：判定位似图形例1．（1）下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，A中的位似中心是点C，B中的位似中心是点O，C中的位似中心是点O.只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故D不是位似图像.故选D．（2）如图是与位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：由位似图形的画法可得：4个图形都是的位似图形．故选：D．（3）下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故选：B．考点二：确定位似中心例2．（1）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，3） D．（0，4）【答案】B【详解】如图，连接BF交y轴于P，∵矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，点B、F为对应点，∴点P为位似中心，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），BC=4，GF=2，OG=1，∴CG＝3，∵BC∥GF，∴△BCP∽△FGP，∴＝＝，PC=CG-PG，解得：GP＝1，∴OP=OG+GP=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：B．（2）图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S【答案】A【详解】解：如图所示：图中的两个三角形的位似中心是点P．故选：A．考点三：与位似图形有关的计算例3．（1）如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′．以下说法错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′ B．点C，O，C′三点在同一条直线上C．AB∥A′B′ D．AO：AA′＝1：2【答案】D【详解】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．故选：D．（2）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且AB：DE＝3：2，则△ABC的面积与△DEF面积之比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5【答案】C【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，∵AB：DE＝3：2，∴．故选：C．考点四：平面直角坐标系中的位似图形计算例4．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1，且线段OA1＝9，则线段OA的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【详解】∵五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE是位似图形，五边形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的面积之比为9：1∴，∴∵∴∴∵OA1＝9∴故选：A．（2）如图，在直角坐标系中，的顶点为，，，以点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵的顶点为，，，以点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为的位似图形，∴点的横坐标为，纵坐标为，∴点的坐标为；故选B．（3）如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形ABCDE是位似图形，坐标原点O是位似中心，若五边形与五边形ABCDE的位似比为3：1，且五边形的面积为18，则五边形ABCDE的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】解：五边形与五边形ABCDE的位似比为3：1，五边形与五边形ABCDE的面积比为9：1，五边形的面积为18，五边形ABCDE的面积为2，故选：B．（4）如图，已知矩形与矩形是位似图形，平面直角坐标系的原点是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：矩形，矩形与矩形是位似图形，故选：（5）如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为4，则△EDC的面积是_____．【答案】16【详解】设△EDC的面积是是x，∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为4，∴4：x=1:4,解得x=16，故答案为：16．【真题演练】1．在下列图形中，不是位似图形的是()A． B． C． D．【答案】D【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选：D．2．下列说法不正确的是（）A．位似图形一定是相似图形B．相似图形不一定是位似图形C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行【答案】D【解析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误．解：根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．故选D．3．如图，与位似，其位似中心为点，且，则与的位似比是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题目可知，本题图形位似中心为点O，∵OD=AD，∴AO:DO=2:1，∴△ABC与△DEF位似比为2:1，故答案为A选项．4．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点P B．点O C．点M D．点N【答案】A【详解】解：如图所示，连接两对对应点之后，它们的连线都经过点P，因此位似中心是点P；故选：A．5．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（）A． B．C． D．点C、点O、点三点在同一直线上【答案】A【详解】解：以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，，，则选项正确；，则选项错误；与是位似图形，，则选项正确；以点O为位似中心，点与点是对应点，点、点、点三点在同一直线上，则选项正确；故选：A．6．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是对应位似点D．AE：AD是相似比【答案】D【详解】解：A、∵BC∥ED，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、AE：AD不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意；故选：D．7．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为（）A．2 B．6 C．8 D．9【答案】D【详解】解：∵OB：BE=2：1，∴OB：OE=2：3，∵△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，∴AB：DE=OB：OE=2：3，△ABC∽△DEF，∴，∴S△DEF=S△ABC=×4=9．故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为（-4，4）、（0，4），点、的坐标分别为（0，1）、（2，1）．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为（）A．． B．． C．． D．．【答案】B【详解】解：如图所示：连接AD，交y轴于点E，∵点A、B的坐标分别为（-4，4）、（0，4），点C、D的坐标分别为（0，1）、（2，1）；∴AB=4，CD=2，BC=3，AB∥DC，∴△ABE∽△DCE，，，∴2=，解得：EC=1，则E点坐标为：（0，2），故位似中心的坐标为：（0，2）．故选：B．9．位似于，它们的周长比为，已知位似中心到的距离为3，那么到的距离为（）A．4 B．4.5 C．6 D．9【答案】B【详解】∵它们周长的比为2:3∴OA:OD=2:3，即解得:OD=4.5，即O到D的距离为4.5，故选:B.10．如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（）A．O点 B．E点 C．G点 D．F点【答案】C【详解】如图，点A的对应点为G点．故选：C．11．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）【答案】C【详解】解：正方形与正方形是位似图形，正方形正方形，两个正方形的面积之比为，两个正方形的相似比为，点的坐标为，四边形为正方形，点的坐标为，正方形与正方形是位似图形，为位似中心，点的坐标为，，故选：C．12．如图，以点O为位似中心，将放大得到若，则与的面积之比为___________．【答案】【详解】由题，根据位似图形的性质可得：，且放大得到，∴△ABC∽△DEF，相似比为，根据相似图形面积比等于相似比的平方，∴，故答案为：．13．如图，正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，若点，则正六边形OABCDE的周长为_________；【答案】27【详解】解：连接EC，如图所示：∵正六边形OABCDE与正六边形是关于原点О的位似图形，相似比为，∴，∵点，∴，∴OC=9，∵六边形OABCDE是正六边形，∴∠OED=∠EDC=120°，OA=AB=BC=CD=DE=OE，∴∠DEC=∠DCE=30°，∠OEC=90°，∴OC=2OE，∴，∴正六边形OABCDE的周长为；故答案为27．14．如图，在边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点．（1）画图并填空：请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（2，3），（6，2），那么点B的坐标的为；（2）画图：以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的△A′B′C′；（3）请直接写出△A′B′C′的面积．【答案】（1）见解析，（2，1）；（2）见解析；（3）△A′B′C′的面积＝16【详解】解：（1）如图，B点坐标为（2，1）；故答案为（2，1）；（2）如图，△A′B′C′为所作；（3）△A′B′C′的面积＝×4×8＝16．15．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．画出关于x轴对称得到的，并写出和的坐标：画出以点B为位似中心，将放大2倍的位似图形在网格线内作图．【答案】（1）见解析；，；（2）见解析．【详解】解：如图所示：即为所求，，；设点的坐标为，由题意得：点与点重合，即，且点是的中点，则，解得，即，同理可得，顺次连接点可得，如图所示：【过关检测】1．在下列四个三角形中，以为位似中心且与位似的图形番号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，故选：B．2．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．∴它们的位似中心是．故选：A．3．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到，以下说法错误的是（）A．S△ABC∶S△A’B’C=1∶2 B．AB∶=1∶2C．点A，O，A’三点在同一条直线上 D．BC∥【答案】A【详解】∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，∴，且相似比为1:2．∴，故A选项错误，符合题意；，故B选项正确，不符合题意；A，O，A′三点在同一直线上，故C选项正确，不符合题意；，故D选项正确，不符合题意；故选：A．4．如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，已知OA：AD＝1：2，则ABC与DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】D【详解】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，∵△ABC与△DEF位似，∴AB∥DE，∴△OBA∽△OED，∴，即△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF的面积比＝＝，故选：D．5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，＝，则S四边形EFGH÷S四边形ABCD＝（）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，＝∴＝＝则＝＝故选：B6．如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵四边形OABC是矩形与四边形ODEF是矩形，∴BC⊥y轴于C，DE⊥y轴于D，∵点B的坐标为（-2，4），点E的坐标为（1，2），∴C（0，4），D（0，2），∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，M是位似中心，∴直线BD与直线CE交于M，设BD解析式为代入点的坐标得，，解得，∴BD解析式为，设CE解析式为代入点的坐标得，，解得，∴CE解析式为，∴，解得，∴M点坐标为（2，0）．故选：D．7．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，则点B的对应点B′的坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1）C．（2，1）或（﹣2，1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）【答案】D【详解】解：∵B点坐标为（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比1：2缩小，∴点B的对应点B′的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．故选：D．8．如图，矩形OEFG的两边OE和OG都在坐标轴上，以y轴上一点为位似中心作这个矩形的位似图形ABCD，且对应点C和F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1）．则位似中心的坐标是（）A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4）【答案】A【详解】解：如图，连接CF交y轴于P，∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点C，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），∴点D的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），∴DG=3，∵CD∥GF，∴，∴GP=1，PD=2，∴点P的坐标为（0，2），故选：A．9．如图，将的三边扩大一倍得到（顶点均在格点上），它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】如图所示：P(0,−3)点即为所求点故选：D.10．如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点，以O为位似中心，在网络图中作，使和位似，且位似比为1∶2；连接（1）中的，则四边形的周长为（）．A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，∵OA=4，OB=2，OC=4，和位似，且位似比为1∶2；∴O=2，O=1，O=2，AC，∴=C=2，，∴四边形的周长为=，故选D11．在如图所示的网格中，以点为位似中心，作四边形的位似图形，小明认为四边形的位似图形是四边形；小亮认为四边形的位似图形是四边形，你认为正确的是______．（选填“小明”或“小亮”）．【答案】小亮【详解】解：延长、、、分别到、、、，则四边形是四边形的位似图形，所以小亮正确．故答案为：小亮．12．如图，线段两个端点的坐标分別为，以原点为位似中心，将线段放大得到线段，若点B的坐标为，则点A的坐标为_____．【答案