第11讲 用公式法解一元二次方程（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第11讲用公式法解一元二次方程理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.二、1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则≥0.题型1：公式法解一元二次方程及其逆用例1．用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（

）．A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值【解析】解：化为一般形式为：，，故选C【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．例2．已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可．【解析】解：A.的两根为，故选项A不符合题意；B.的两根为，故选项B不符合题意；C.的两根为，故选项C不符合题意；D.的两根为，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键．例3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个．【解析】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．例4．用公式法解方程，其中求得的值是（

）.A．16 B．C．32 D．64【答案】D【分析】先将方程化为一般形式，然后计算即可.【解析】解：方程整理得：，∴，，，∴，故选D.【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．例5．是下列哪个一元二次方程的根（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【解析】解：对于一元二次方程，方程的根为：．因为，所以，，，所以对应的一元二次方程是：．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．例6．方程中，的值为__________，根是___________．【答案】

12

【分析】确定a、b、c的值后，直接计算△的值即可．【解析】解：变形为：，∵a=2，b=2，c=-1，∴△=b2-4ac=22-4×2×(-1)=4+8=12>0，∴x==，∴故答案为：12，．【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，掌握一元二次方程求根公式及掌握ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式的公式△=b2-4ac是解题的关键．例7．解下列方程：(1)(2)(3)【答案】(1)，(2)，(3)方程无解【分析】先将方程化为一般式，再用公式法直接求解．(1)解：，，∵，∴，∴，；(2)解：，，∵Δ=>0，∴∴，；(3)解：，∵∴方程无解．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用直接开方法、公式法、配方法、因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．例8．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用解一元二次方程中的公式法计算即可；（2）利用解一元二次方程中的公式法计算即可．（1）解：由公式法可知：∴即：，（2）解：移项得：由公式法可知：∴即：【点睛】本题考查了解一元二次方程的相关知识点，重点要掌握配方法，公式法，因式分解法等．例9．解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）．【答案】x1=，x2=．【分析】把方程整理成一般式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解．【解析】解：原方程整理得：6x2-x-4=0，∵a=6，b=-1，c=-4，，∴，∴x1=，x2=．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．例10．解下列方程或不等式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2），【分析】（1）移项，系数化为1，再将结果化简可得；（2）方程变形后，利用公式法求解．【解析】解：（1），∴，∴∴∴（2），整理得：，∵a=，b=，c=1，∴△=，∴x=，解得：，．【点睛】本题考查了解不等式，二次根式的分母有理化，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和求根公式．例11．关于x的一元二次方程的两根分别为，，下列判断一定正确的是（

）A．a=-1 B．c=1 C．ac=-1 D．【答案】C【分析】根据求根公式对照求解即可．【解析】解：∵关于x的一元二次方程的求根公式是，，又∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，∴=∴ac=-1．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．题型2：选择适当的方法解一元二次方程例12．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(

)A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法【答案】D【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法.④2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法.所以选D.例13．解方程①9(x-3)2=25，②6x2-x=1，③x2+4x-3596=0，④x(x-1)=1.较简便的方法依次是（

）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D【分析】对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解;对于方程③二次项系数为1可考虑配方法;对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.例14．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．①；②；③；④；⑤．(1)直接开平方法：________；(2)配方法：_________；(3)公式法：________；(4)因式分解法：_________．【答案】

①

④⑤

③

②【分析】根据方程的特征逐一判断即可.【解析】解:①x-1=x=1.故①用直接开平方法解更简单.②原方程可变形为:；∴此方程用因式分解法解更简单.③-5x+6=3-5x+3=0∴此方程用公式法求解更好.④∴此方程用配方法解更好.⑤．=100∴此方程用配方法解更好.故答案为:

(1).①

(2).④⑤

(3).③

(4).②【点睛】本题考查了选择适当的解法求解一元二次方程.题型3：比较一元二次方程根的大小例15．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是(

)A．1+ B． C． D．【答案】B【分析】利用公式法解方程求得方程的解，比较即可解答.【解析】解：,a=1，b=-1，c=-1，△=1+4=5＞0，x=，∵，∴较大的实数根为.故选B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法——公式法，正确利用公式法解方程是解本题的关键．例16．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（

）A．≥B．＞C．≤D．＜【答案】A【解析】因为,且a＜0,所以≥,故选A.例17．设x1为一元二次方程2x2﹣4x＝较小的根，则（）A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜0 C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣【答案】B【分析】先求出方程的解，再求出方程的最小值，即可求出答案．【解析】2x2-4x=，8x2-16x-5=0，x=，∵x1为一元二次方程2x2-4x=较小的根，∴x1=，∵5＜＜6，∴-1＜x1＜0．故选B．【点睛】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．题型4：公式法的应用例18．若分式的值为，则的值等于_______.【答案】2【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．【解析】解：根据题意:x2-x-2=0,且x2+2x+1≠0解x2-x-2=0，解得x=2或x=-1．当x=2时，分母x2+2x+1=9≠0，分式的值为0；当x=-1时，分母x2+2x+1=0，分式没有意义．所以x=2．故填2.例19．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为_____．【答案】6+【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【解析】方程x2-12x+31=0，变形得：x2-12x=-31，配方得：x2-12x+36=5，即（x-6）2=5，开方得：x-6=±，解得：x=6+或x=6-，当x=6-时，2x=12-2＜20-12+2，不能构成三角形，舍去，则方程x2-12x+31=0的根为6+．故答案是：6+.【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．例20．若，那么________．【答案】【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知，方程的两边同时乘以，即可得到关于的方程，然后利用“换元法”、“公式法”解答即可．【解析】解：由原方程，得两边同时乘以得：（）2+3×-2=0设=t，则上式方程即为：t2+3t-2=0，解得，t=，所以=；故答案是：.【点睛】本题考查了解一元二次方程--公式法．解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程．题型5：创新阅读材料题例21．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（

）A．－1 B．－1或 C． D．1或【答案】B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【解析】解：当x>0时，有，解得，(舍去)，x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．题型6：根据一元二次方程根的判别式符号判断根的情况例22．下列一元二次方程没有实数根的是（

）A．x2-2=0 B．x2-2x=0 C．x2+x+1=0 D．(x-1)(x-3)=0【答案】C【分析】分别计算四个方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义分别判断方程根的情况．【解析】解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以，B选项不符合题意；C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有没有的实数根，所以C选项符合题意；D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，则Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．例23．一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根【答案】D【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【解析】解：∵，∴方程没有实数根．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．例24．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（

）A．17 B．1 C．－1 D．－17【答案】A【分析】找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中计算即可．【解析】解：一元二次方程x2-3x-2=0，∵a=1，b=-3，c=-2，∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．故选：A．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．例25．方程的根的判别式Δ＝_____，其根的情况_____．【答案】

12

有两个不相等的实数根【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可求出，再利用“当时，方程有两个不相等的实数根”即可得出方程有两个不相等的实数根．【解析】解：，，，，方程有两个不相等的实数根．故答案为：12；有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式的相关性质，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．题型7：根据一元二次方程根的情况求参数范围例26．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可．【解析】由题意得：解得：且故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．例27．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（

）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【答案】D【分析】利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可．【解析】解：根据题意得Δ=（-2）2-4m＜0，解得m＞1．故选D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．例28．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞且k≠0【答案】B【分析】用一元二次方程的根的判别式大于0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【解析】解：整理方程得：ky2-7y-7=0，由题意知：Δ=b2-4ac=49+28k≥0，且k≠0，∴k≥-且k≠0．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．例29．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答．【解析】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：且．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．例30．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．【答案】m<3【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可．【解析】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(-2)2-4m>0解得：m<3，故答案为:m<3．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．例31．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么m的值为_______．【答案】2或##或2【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到Δ=0，求出m的值即可．【解析】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．∴．解得．故答案为：2或．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．例32．如果关于的方程有两个实数根，那么满足______________【答案】【分析】根据一元二次方程根的判别式即可得．【解析】解：由题意得：此方程根的判别式，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．例33．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是______．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数．【解析】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根，∴，且，∵，，，∴，即，解得且，∴其中可取的最大整数是，故答案为：．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点．例34．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是__________．【答案】m＜且m≠0【分析】根据判别式△＞0时一元二次方程有两个不相等的实数根求解不等式即可．【解析】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴△=（2m-3）2-4m（-2+m）=-4m+9＞0，且m≠0，解得：m＜且m≠0，故答案为：m＜且m≠0．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解答的关键，注意二次项系数不为0．例35．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2-（k+2）x+k=0进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：当k≥-1时，该方程有实数根；丁说：只有当k≥-1且k≠0时，该方程有实数根．A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对 C．乙和丙说的对 D．乙和丁说的对【答案】C【分析】当k=0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k•k≥0时，方程有两个实数解，解得k≥-1且k≠0，于是可判断k≥-1时，方程有实数解，然后对各说法进行判断．【解析】解：当k=0时，方程化为-2x=0，解得x=0；当k≠0时，当Δ=（k+2）2-4k•k=4k+4≥0时，方程有两个实数解，此时k≥-1且k≠0，所以当k≥-1时，方程有实数解，所以乙和丙的说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．题型8：根据相应条件，衍化变形，逻辑推理，并推断出结果例36．以下关于一元二次方程的根的说法中，不正确的是（

）A．若c＝0，则方程一定有一根为0；B．若，则方程一定有两个实数根；C．若，则方程必有一根为－1；D．若，则方程必有两个不相等的实数根．【答案】B【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【解析】解：A、若c＝0，则方程为，即，∴方程一定有一根为0，正确，不符合题意；B、若，则方程为，∵，∴只有当ac≤0时，即，方程有两个实数根，故原说法错误，符合题意；C、将x＝－1代入方程可得：，∴若，则方程必有一根为－1，正确，不符合题意；D、∵ac＜0，∴Δ＝b2−4ac＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根，Δ＜0⇔方程没有实数根．例37．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若c是方程的一个根，则一定有成立；②若是一元二次方程的根，则其中正确的（

）A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②【答案】A【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．【解析】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．综上：正确的有①②④，共3个．故选：A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．题型9：复杂的知根求参（数）；知参（数）求根例38．已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（）A．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根【答案】C【分析】利用已知条件得到4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解析】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac，∵a（a+b+c）＜0，∴a2+ab+ac＜0，即a2+ab＜﹣ac，∴4a2+4ab＜﹣4ac，∴4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，∴b2﹣4ac＞（2a+b）2，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．例39．关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（

）A．若﹣1＜a＜1，则 B．若，则0＜a＜1C．若﹣1＜a＜1，则 D．若，则0＜a＜1【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k，∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a(a−b−1)＝0，又∵ab≠0，∴a−b−1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝−1，∴k＝−1，∵＝，∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0，此时＞0，即；当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0，此时＜0，即；故A、C错误；当时，即＞0，＞0，解得：a＞1或a＜0，故B错误；当时，即＜0，＜0，解得：0＜a＜1，故D正确故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．题型10：创新阅读材料题例40．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（

）A．a=c B．a=b C．b=c D．【答案】A【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，∴a=c，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系是解题关键．例41．将4个数a，b，c，d排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（

）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【答案】C【分析】据题意，可以将方程转化为一元二次方程，然后根据Δ的值，即可判断根的情况．【解析】解：∵方程，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+3＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，∴方程两个不相等的实数根，故选：C．【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况．题型11：解答证明题例42．已知关于x的方程x（mx﹣4）＝（x+2）（x﹣2）．(1)若方程只有一个根，求m的值并求出此时方程的根；(2)若方程有两个不相等的实数根，求m的值．【答案】(1)当时，方程的根为；当时，方程的根为(2)且【分析】（1）先去括号，将方程进行化简为，再分和两种情况，分别解一元一次方程、利用一元二次方程根的判别式即可得；（2）直接根据一元二次方程根的判别式大于0即可得．(1)解：方程可化为，分以下两种情况：①当时，方程为，解得；②当时，方程为关于的一元二次方程，则由一元二次方程根的判别式得：，解得，此时方程为，解得，综上，当时，方程的根为；当时，方程的根为；(2)解：方程为，若方程有两个不相等的实数根，则，解得且．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．例43．已知关于x的一元二次方程（m为常数）.（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.（2）如果方程有两个相等的实数根，求m的值．（3）如果方程没有实数根，求m的取值范围.【答案】（1）m＜2；（2）m=2；（3）m＞2．【分析】（1）根据根的判别式△=b2-4ac＞0来求m的取值范围；（2）方程有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0；（3）如果方程没有实数根，则△=b2-4ac＜0．【解析】解：△=（-2m）2-4（m-1）（m+2）=4m2-4m2-4m+8=-4m+8．（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以-4m+8＞0，所以m＜2；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以-4m+8=0，所以m=2；（3）因为方程没有实数根，所以-4m+8＜0，所以m＞2．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．例44．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．【答案】（1）△ABC是等边三角形，理由见解析；（2）﹣12．【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即Δ＝0，由Δ＝0可以得到一个关于a，b，c的方程，再结合方程3cx+2b＝2a的根为x＝0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的值，可以得到关于m的方程，解方程即可求出m．【解析】解：（1）∵有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即，则b﹣2c+a＝0．∵方程3cx+2b＝2a的根为0，∴a＝b．∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形；（2）∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，且a＝b，∴Δ＝m2﹣4（﹣3m）＝m2+12m＝0，∴m＝0或m＝﹣12．当m＝0时，a＝b＝0，不符合题意，应舍去；当m＝﹣12时，a＝b＝6，符合题意．综上所述m＝﹣12．【点睛】此题考查了一元二次方程解的含义，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解的含义，等边三角形的判定方法．一、单选题1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．【解析】解：∵一元二次方程没有实数根，∴，∴，故选：A.【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．2．（2020·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．【解析】解：∵一元二次方程有实数根，∴且，解得且，故选：D．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．3．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．【解析】解：∵，∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．4．（2019·河北·统考中考真题）小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根【答案】A【分析】先根据“只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1”求出所抄的c，再求出原方程的c值，再用根的判别式判断根的情况即可．【解析】解：∵小刚在解关于x的方程时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，∴﹣4+c＝0，解得：c＝3，故原方程中c＝5，则＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键．5．（2022·四川巴中·统考中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（

）A． B． C．且 D．且【答案】A【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．【解析】解：∵，∴，即，∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，故A正确．故选：A．【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根．二、填空题6．（2022·江苏扬州·统考中考真题）请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．【答案】0（答案不唯一）【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．【解析】解：设这个常数为a，∵要使原方程有两个不同的实数根，∴，∴，∴满足题意的常数可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．7．（2021·四川内江·统考中考真题）若关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围为___．【答案】且/a≠0且a≥-2【分析】根据题意可知，代入求解即可．【解析】解：一元二次方程ax2+4x﹣2＝0，，∵关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0有实数根，∴且，即，解得：且故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式，熟知：，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，是解题的关键．8．（2017·山东泰安·中考真题）关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为_________．【答案】【分析】根据题意得到，然后解不等式即可．【解析】解：由题意得，解不等式即可得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元一次不等式，关键是根据题意方程无实数根得到关于k的不等式．9．（2017·湖南岳阳·中考真题）在中，，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为____．【答案】2.【分析】先根据有两个相等的实数根求出b，再根据三边长得出三角形是以AC为斜边的直角三角形即可求解．【解析】解：∵关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，∴△=16-4b=0，∴AC=b=4，∵BC=2，AB=2，∴BC2+AB2=AC2，∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，∴AC边上的中线长=AC=2【点睛】考点：根的判别式；直角三角形斜边上的中线；勾股定理的逆定理．10．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______．【答案】【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可．【解析】如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数则大正方形的面积为小正方形的面积为设则又，即解得或（不符题意，舍去）将代入得：两边同除以得：令则解得或（不符题意，舍去）即的值为故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键．三、解答题11．（2019·湖南常德·统考中考真题）解方程:.【答案】【分析】运用公式法解一元二次方程.【解析】解：【点睛】掌握运用公式法解一元二次方程.12．（2016·甘肃·中考真题）已知关于x的方程．(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【解析】解：（1）根据题意，将x=1代入方程，得：，解得：m=．（2）∵，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键.13．（2019·湖南衡阳·统考中考真题）关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．【答案】（1）；（2）的值为．【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．【解析】解：（1）根据题意得，解得；（2）的最大整数为2，方程变形为，解得，∵一元二次方程与方程有一个相同的根，∴当时，，解得；当时，，解得，而，∴的值为．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一、单选题1．方程的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察原方程，可用公式法求解.【解析】解：∵，，，∴，∴；故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.2．是下列哪个一元二次方程的根（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【解析】解：对于一元二次方程，方程的根为：．因为，所以，，，所以对应的一元二次方程是：．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．3．以x＝为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0【答案】C【分析】对照求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项．【解析】解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为﹣b，常数项为c，故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．4．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2＝0 B．x﹣3＝0 C．x2﹣5＝0 D．x2+2＝0【答案】C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【解析】解：A．由x2＝0得x1＝x2＝0，不符合题意；B．由x﹣3＝0得x＝3，不符合题意；C．由x2﹣5＝0得x1，x2，符合题意；D．x2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．6．方程的根为（）A．x=-4 B．x=5C．， D．以上结论都不对【答案】D【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可．【解析】原方程化为，利用求根公式有，选项A、B、C中都没有方程的根，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解方程时，一定把方程化为一般形式．7．下列方程中，无论取什么实数，总有两个不相等的实数根的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】若一元二次方程总有两不等实根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，根据所给方程，逐一判断即可．【解析】A、△=b2-4ac=b2-4×1×1=b2-4，不能保证△一定大于0，故不符合题意．B、△=b2-4ac=b2+4×1×b2=5b2≥0，方程有两个实数根，两个实数根可能相等，故不符合题意．C、△=b2-4ac=b2-4×1×b=b2-4b，不能保证△一定大于0，故不符合题意．D、△=b2-4ac=b2-4×1×[-（b2+1）]=b2+4b2+4=5b2+4＞0，方程一定有两个不相等的实数根．故选D．【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）A．b2-4ac≥0 B．b2-4ac≤0 C．b2-4ac＞0 D．b2-4ac＜0【答案】A【解析】解：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是b2-4ac≥0．故选A．9．一元二次方程的根是（）A．,B．，C．,D．【答案】D【解析】试题解析：方程整理得：故选D.点睛：一元二次方程：公式法的求根公式为：10．关于的一元二次方程，给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是(

)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．【解析】解：①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．二、填空题11．把方程化为一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.【答案】3－5－2492【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解析】解：方程化为一般形式是：，∴a＝3，b＝−5，c＝−2，∵b2−4ac＝25＋24＝49，∴x＝，则方程的解为x1＝，x2＝2．故答案为；3，−5，−2，49；，2．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．12．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是______．【答案】5【解析】解：x2﹣3x+1＝0△==（-3）2-4×1×1=9-4=5．故答案为5．13．方程（）的根是___________．【答案】【分析】利用公式法解一元二次方程即可得出结论．【解析】解：∴x=解得：故答案为：．【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．14．已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为_______________________.【答案】0【分析】把x的值代入代数式，再进行计算即可．【解析】∵∴故答案为0.【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把的值代入是解题的关键.15．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．【答案】【分析】根据公式法可得的值，由此即可得．【解析】解：设该方程为，由得：，则该方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．16．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是_________．【答案】/【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解的不等式即可．【解析】解：根据题意得，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次不等式，理解并掌握一元二次方程的根的判别式的意义是解题关键．17．一元二次方程的解为_____________________．【答案】【分析】先将原方程化成一般式，然后再运用一元二次方程的求根公式解答即可．【解析】解：∵∴△＝52-4×3=13∴,即．故答案为．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，将原方程化成一般式是解答本题的关键．18．设A是方程x2-x-520=0的所有根的绝对值之和,则A2=________.【答案】4083【分析】根据公式法x=得到x=，再根据题意得到，计算即可得到答案.【解析】由公式法得x=，则=，所以A2=4083.【点睛】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求一元二次方程.三、解答题19．不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)方程有两不等实根(2)方程无实数根(3)方程有两相等实根(4)方程有两不等实根【分析】先将方程整理成一般形式，列出方程中的、、，再代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况．【解析】（1）解：，，，，方程有两不等实根；（2）解：，，，，方程无实数根；（3）解：，，，，方程有两相等实根；（4）解：，，，，方程有两不等实根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，，方程有两不相等的实数根，方程有两相等的实数根，，方程无实数根．20．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【解析】（1），，，即；（2），，，，，；（3），整理，得，，，，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．21．用公式法解下列方程：（1