新九年级数学暑假同步课 第01讲 菱形的性质与判定（原卷版）（北师大版）

第01讲菱形的性质与判定一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.例1．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（

）A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1例2．菱形中，，若周长为8，则此菱形的高为（

）A．0.5 B．1 C．2 D．4例3．给出下列命题：①对角线垂直的四边形是菱形，②有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形，③两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例4．下列命题中，正确的是（

）A．两邻边相等的四边形是菱形B．有三条边相等的平行四边形是菱形C．一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形D．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形例5．菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12 B．16 C．20 D．24例7．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，下列结论中不一定成立的是（

）A． B． C． D．例8．菱形中，．点、分别在边、上，且．若，则的面积为（

）．A． B． C． D．例9．如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个一、单选题1．关于菱形，下列说法不一定正确的是（

）A．四条边相等 B．对边平行 C．四个角相等 D．对角线互相平分2．菱形中，，若周长为8，则此菱形的高为（

）A．0.5 B．1 C．2 D．43．给出下列命题：①对角线垂直的四边形是菱形，②有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形，③两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．关于菱形的性质及判定，以下说法不正确的是（

）A．菱形的邻边相等 B．菱形的面积等于对角线乘积的一半C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 D．四边相等的四边形是菱形5．如图，在菱形中，对角线AC与BD相交于点O，垂足为点E，，则∠BOE的大小为（

）A．65° B．60° C．35° D．25°6．菱形中，对角线交于点O，给出下列结论：①，②，③，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则（

）A． B． C．或 D．48．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（

）A． B． C． D．9．如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．10．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（

）①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④二、填空题11．已知菱形的两条对角线长为和，菱形的周长是_______，面积是________．12．如图，在菱形中，是对角线，点分别是，的中点．若，，则线段的长是___________．13．已知一个菱形的周长为，有一个内角为，则较长的一条对角线长为_________．14．如图，木制活动衣帽架由三个全等的菱形构成，在，，，，，处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在，处固定．已知菱形的边长为13cm，要使两排挂钩间的距离为24cm，则，之间的距离（即线段的长）为______cm．15．如图，点分别为四边形的边的中点，当四边形满足条件_______时，四边形是菱形．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）16．如图．在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为原点．点A在x轴的负半轴上，若点C的坐标为，则点B的坐标为___________．17．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．18．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①AF＝CE；②∠AGE＝60°；③若DF＝2CF，则CE＝6GF；④S四边形ABCG．其中正确的结论有______．三、解答题19．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．求：（1）对角线的长度；（2）菱形的面积．20．已知：如图，在菱形中，，对角线与相交于点O．求证：（1）；（2）．21．如图，四边形是菱形，于点H，求的长．22．已知：如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，且．求证：（1）；（2）．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．24．如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连结，.（1）求证：四边形是菱形.（2）若，，，求的值.25．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．(1)求证：△APD≌△BQC；(2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．26．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．(1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥CD于点P时，求证：AP=AQ．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．(2)如图3，在CD的延长线取点N，连接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．27．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线：与轴交