新九年级数学暑假同步课 第09讲 解一元二次方程-公式法与因式分解法（原卷版）（北师大版）

第09讲解一元二次方程-公式法与因式分解法一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.例1．小丽同学想用公式法解方程，你认为a，b，c的值应分别为（）A．，3， B．，3，1 C．，，1 D．1，，例2．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（）A． B．C． D．例3．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（）A． B． C． D．例4．方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于(

)A．3

B．2

C．1

D．例5．方程的根是（）A． B． C． D．例6．方程的根是（）A． B．或 C． D．或例7．下列方程中适合用因式分解法解的是（）A． B．C． D．例8．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（）A．∵，∴或B．∵，∴或C．∵，∴或D．∵，∴例9．解方程①9(x-3)2=25，②6x2-x=1，③x2+4x-3596=0，④x(x-1)=1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法例10．已知(x+y)(x+y+2)=15,则x+y的值为（）.A．3或5 B．3或-5 C．-3或5 D．-3或-5例11．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是（）．A．1； B．2；C．3； D．4．例12．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误例13．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（）A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2一、单选题1．方程的根是（

）A． B． C． D．2．是下列哪个一元二次方程的根（

）A． B． C． D．3．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（

）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝4．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（

）A． B． C． D．5．解方程①9(x-3)2=25，②6x2-x=1，③x2+4x-3596=0，④x(x-1)=1.较简便的方法依次是（

）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法6．方程的根是（

）A． B． C． D．7．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（

）A．∵，∴或B．∵，∴或C．∵，∴或D．∵，∴8．已知3是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（

）A．7 B．10 C．10或11 D．119．下列方程适合用因式分解法解的是（

）A． B．C． D．10．已知关于的一元二次方程的两根为，，则一元二次方程的根为()A．0，4 B．－3，5 C．－2，4 D．－3，111．若x，y都是负数，且，则的值是（

）A． B． C．5 D．12．阅读理解：解方程．解：（1）当时，原方程可以化为，解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），∴原方程的解为．那么方程的解为（

）A． B． C． D．二、填空题13．方程的解为________．14．把方程化为一般形式是______，其中______，______，______，______，方程的根是______，______.15．已知下列方程，请把它们的序号填在最适当的解法后的横线上．①；②；③；④；⑤．(1)直接开平方法：________；(2)配方法：_________；(3)公式法：________；(4)因式分解法：_________．16．已知x=(b2－4c>0)，则x2＋bx＋c的值为_______________________.17．一元二次方程的解为__．18．方程的根为_______．19．已知方程，则的值为_________．20．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________．三、解答题21．公式法解方程：（1）；（2）；（3）．22．用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．23．用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．24．用因式分解法解下列关于x的方程：（1）；（2）；（3）；（4）．25．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016．26．解方程：.有学生给出如下解法：∵，∴或或或解第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得或，∴或.请问：这个解法对吗？试说明你的理由.27．已知是一元二次方程的两个实数根中较小的根.（1）求的值；（2）化简求值.28．观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，写出k的