第17讲 第2章 一元二次方程全章复习与测试（教师版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第2章一元二次方程全章复习与测试【知识梳理】一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【考点剖析】一．一元二次方程的定义（共1小题）1．（2022秋•青山湖区校级期末）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝4x+3 B．2x2+y﹣1＝0 C．2x2﹣1＝3 D．ax2+bx+c＝0【考点】一元二次方程的定义．【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、2x﹣1＝4x+3，是一元一次方程，不符合题意；B、2x2+y﹣1＝0，方程中含有两个未知数，不符合题意；C、2x2﹣1＝3，符合一元二次方程的定义，符合题意；D、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，该方程中未知数的最高次数不是2，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．二．一元二次方程的一般形式（共2小题）2．（2023春•肇源县月考）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，进而可得出结论．【解答】解：一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式为：3x2﹣5x+1＝0，故二次项系数是3，一次项系数是﹣5．故选：D．【点评】本题考查是一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．3．（2023•东莞市校级模拟）将方程4x2+8x＝25化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．4，8，25 B．4，2，﹣25 C．4，8，﹣25 D．1，2，25【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出a，b，c的值．【解答】解：将原方程化为一般形式得：4x2+8x﹣25＝0，∴a＝4，b＝8，c＝﹣25．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．三．一元二次方程的解（共3小题）4．（2023春•巴东县期中）已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣b＝0的解，则b＝（）A．﹣2 B．﹣4 C．0 D．4【考点】一元二次方程的解．【分析】把x＝2代入一元二次方程得4+2b﹣b＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣b＝0得4+2b﹣b＝0，解得b＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（2023•香洲区校级三模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2023﹣a﹣b的值为（）A．﹣2022 B．2022 C．2023 D．2024【考点】一元二次方程的解．【分析】由题意知，a+b+1＝0，则a+b＝﹣1，根据2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b），计算求解即可．【解答】解：由题意知，a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b）＝2024．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的方法是关键．6．（2023•黄埔区校级二模）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，则2a2+6a+2021的值为2023．【考点】一元二次方程的解．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a＝1，再把a2+6a+2021变形为2（a2+3a）+2021，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2+3x﹣1＝0的一个实数根，∴a2+3a﹣1＝0，即a2+3a＝1，∴a2+6a+2021＝2（a2+3a）+2021＝2×1+2021＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）7．（2023•桦南县一模）解方程：（x+3）2﹣25＝0．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】先把方程变形为解（x+3）2＝25，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（x+3）2＝25，x+3＝±5，所以x1＝2，x2＝﹣8．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．五．解一元二次方程-配方法（共1小题）8．（2023•青秀区校级模拟）解方程：x（x﹣2）﹣3＝0．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．【解答】解：方程整理，得：x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．六．解一元二次方程-公式法（共4小题）9．（2023•顺德区模拟）解方程：．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵（x+3）（x﹣）＝x﹣，∴（x+3）（x﹣）﹣（x﹣）＝0，∴（x+3﹣1）（x﹣）＝0，∴（x+2）（x﹣）＝0，∴x+2＝0或x﹣＝0，∴x1＝﹣2，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．10．（2023•西安校级三模）用适当的方法解一元二次方程：x2﹣3x﹣2＝0．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：x2﹣3x﹣2＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．11．（2022秋•东莞市期末）解方程：x2﹣4x+7＝10．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】根据配方法先配成：（x﹣2）2＝7，然后解一元二次方程即可（方法不唯一）．【解答】解：x2﹣4x+7＝10，∴x2﹣4x+4＝7，∴（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．12．（2023•博山区二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x﹣1＝0．【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解；用公式法解方程，首先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．【解答】解：配方法，移项得x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，开方得：，解得：，；公式法：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴，∴，．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法和配方法，解题时要注意解题步骤的准确应用．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）13．（2023•绥江县二模）方程x2﹣17x＝﹣72的解为x1＝8，x2＝9．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】利用因式分解法解答，即可求解．【解答】解：x2﹣17x＝﹣72，x2﹣17x+72＝0（x﹣8）（x﹣9）＝0，∴x﹣8＝0或x﹣9＝0，解得：x1＝8，x2＝9．故答案为：x1＝8，x2＝9．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．（2023春•泰安期中）按照指定方法解下列方程：（1）3x2﹣4x+1＝0（配方法）；（2）（公式法）；（3）3x（x﹣2）＝2x﹣4．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可；（3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣x＝﹣，配方得：x2﹣x+＝﹣+，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝1，x2＝；（2）这里a＝2，b＝﹣2，c＝1，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝8﹣8＝0，∴x＝＝＝，解得：x1＝x2＝；（3）方程整理得：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，分解因式得：（x﹣2）（3x﹣2）＝0，所以x﹣2＝0或3x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．八．根的判别式（共4小题）15．（2023•贵州）若一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，则k的值是．【考点】根的判别式．【分析】结合已知条件，利用根的判别式及一元二次方程的定义即可求得答案．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＝0，且k≠0，解得：k＝，故答案为：．【点评】本题考查一元二次方程的定义及其根的判别式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．16．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k＝1时，用配方法解方程．【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，解得：k＞﹣且k≠0；（2）当k＝1时，原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，即x2﹣6x﹣5＝0，移项得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14，直接开平方得：x﹣3＝±解得：x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．17．（2022•天津模拟）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中a，b，c为△ABC的三边．（1）若x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】（1）根据方程的解把x＝1代入方程得到c﹣b＝0，即c＝b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；（2）根据根的判别式得出a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状．【解答】解：（1）把x＝1代入方程得，a+c﹣2b﹣a+c＝0，化简得c＝b，则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0的判别式，Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，4b2﹣4×（c2﹣a2）＝0，化简可得b2+a2＝c2，则该三角形△ABC的形状为直角三角形．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．18．（2023•遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13．（1）求[﹣4，3]*[2，﹣6]的值；（2）已知关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，求m的取值范围．【考点】根的判别式．【分析】（1）用新定义运算法则列式计算；（1）先根据新定义得到x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，再把方程化为一般式，接着根据题意得到Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解不等式即可．【解答】解：（1）[﹣4，3]*[2，﹣6]＝﹣4×2﹣3×（﹣6）＝10；（2）根据题意得x（mx+1）﹣m（2x﹣1）＝0，整理得mx2+（1﹣2m）x+m＝0，∵关于x的方程[x，2x﹣1]*[mx+1，m]＝0有两个实数根，∴Δ＝（1﹣2m）2﹣4m•m≥0且m≠0，解得m且m≠0．【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．九．根与系数的关系（共5小题）19．（2023•内蒙古）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则＝﹣．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，则＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．（2023春•肇源县月考）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，不解方程求下列式子的值：（1）+；（2）．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，各式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣1，（1）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+2＝3；（2）原式＝＝﹣1．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键．21．（2023•宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为1．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴＝＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．22．（2023春•黄石港区月考）若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理．如：x1，x2是方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2、x1•x2＝﹣1已知：M、N是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，记S1＝M+N；，（1）S1＝1，S2＝3；（直接写出答案）（2）当n≥3且为整数时，猜想Sn、Sn﹣1、Sn﹣2之间有何关系？并证明；（3）利用（2）猜想求的值．【考点】根与系数的关系．【分析】（1）根据韦达定理得到M+N＝1，MN＝﹣1，即可得到S1＝1，然后利用完全平方公式、立方和公式分别计算出S2，S3，S4；（2）观察（1）的计算结果可得到Sn＝Sn﹣1+Sn﹣2；（3）由于方程x2﹣x﹣1＝0的两根为，则原式＝S8，然后利用（2）中的规律可计算出S5＝11，S6＝18，S7＝29，S8＝47，从而得到原式的值．【解答】解：（1）由题意可得，S1＝M+N＝1，，故答案为：1，3；（2）Sn＝Sn﹣1+Sn﹣2，证明如下：∵M、N是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，∴M2＝M+1，N2＝N+1，＝＝＝＝M2+N2＝Sn；（3）∵方程x2﹣x﹣1＝0的两根为，∴原式＝S8，∵S5＝S3+S4＝11，S6＝S4+S5＝18，S7＝S4+S5＝29，S8＝S7+S6＝47，∴原式＝47．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则．23．（2023•通辽）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1x2和系数a，b，c，有如下关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．【考点】根与系数的关系；分式的化简求值．【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；（2）利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣，mn＝﹣，将其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出结论；（3）由实数s、t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t＝﹣，st＝﹣，结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再将其代入＝中，即可求出结论．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；故答案为：﹣，﹣；（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根分别为m，n，∴m+n＝﹣，mn＝﹣，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝﹣，st＝﹣，∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴＝＝＝±．【点评】本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）24．（2023•邵阳）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为1000（1+x）2＝1440．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据2022年底绿化面积×（1+年平均增长率）2＝2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可．【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440，故答案为：1000（1+x）2＝1440．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．一十一．一元二次方程的应用（共6小题）25．（2023•六安三模）春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，根据“开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感”，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有4x人被感染，第二轮中有x（4+4x）人被感染，根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256，即4（1+x）2＝256，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．答：每轮每人传染的人数为7人．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26．（2023•朝阳二模）世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元．调查发现，如果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张．批发商要想平均每天获利270元，求每张书签应降价多少元．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每张书签应降价x元，则每张的销售利润为（0.5﹣x）元，平均每天可售出（500+×200）张，利用批发商每天销售该书签获得的利润＝每张的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设每张书签应降价x元，则每张的销售利润为（0.5﹣x）元，平均每天可售出（500+×200）张，根据题意得：（0.5﹣x）（500+×200）＝270，整理得：100x2﹣25x+1＝0，解得：x1＝0.2，x1＝0.05．答：每张书签应降价0.2元或0.05元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．27．（2023•和平区校级三模）如图，某学校有一块长30m，宽10m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块长方形绿地的面积共216m2，求人行通道的宽度．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据两块长方形绿地的面积共216m2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设人行通道的宽度为x米，则两块长方形绿地可合成长为（30﹣3x）米，宽为（10﹣2x）米的长方形，根据题意得：（30﹣3x）（10﹣2x）＝216，整理得：x2﹣15+14＝0，即（x﹣1）（x﹣14）＝0，解得：x1＝1，x2＝14，当x＝14时，30﹣3x＝30﹣3×14＝﹣12＜0，不符合题意，舍去，∴x＝1．答：人行通道的宽度是1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．28．（2023•临淄区一模）春节期间，某网店从工厂购进A、B两款商品，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）类别价格A款商品B款商品进货价（元/件）3025销售价（元/件）4537（1）网店第一次用850元购进A、B两款商品共30件，求两款商品分别购进的件数；（2）第一次购进的商品售完后，该网店计划再次购进A、B两款商品共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）春节临近结束时，网店打算把B款商品调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款商品平均每天销售利润为90元？【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购进A款纪念品x件，B款纪念品y件，利用总价＝单价×数量，结合该网店第一次用850元购进A、B两款纪念品共50件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m件A款纪念品，则购进（200﹣m）件B款纪念品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设再次购进的A、B两款纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（3）设B款纪念品的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出（58﹣2a）件，利用平均每天销售B款纪念品获得的总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设购进A款纪念品x件，B款纪念品y件，依题意得：，解得：，答：购进A款纪念品20件，B款纪念品30件；（2）设购进m件A款纪念品，则购进（80﹣m）件B款纪念品，依题意得：20m+10（80﹣m）≤2200，解得：m≤140，设再次购进的A、B两款纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（35﹣20）m+（27﹣15）（200﹣m）＝3m+2400，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝3×40+2400＝2520，此时200﹣m＝160．答：当购进40件A款纪念品，160件B款纪念品时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是2520元；（3）设B款纪念品的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出4+2（27﹣a）＝（58﹣2a）件，依题意得：（a﹣15）（58﹣2a）＝90，整理得：a2﹣44a+480＝0，解得：a1＝20，a2＝24．答：将销售价定为每件20元或24元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元．【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用是解题的关键．29．（2023•东营）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可求出；（2）把S＝650代入（1）中函数解析式中，解方程，取在自变量范围内的值即可．【解答】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．根据题意，得x（72﹣2x）＝640，化简，得x2﹣36x+320＝0解得x1＝16x2＝20，当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为644m2的羊圈；（2）答：不能，理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，化简，得x4﹣366+322＝0，Δ＝（﹣36）2﹣4×335＝﹣4＜0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．30．（2023•福田区校级二模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．某商场以20元/台的价格购进一批冰墩墩玩偶出售，在销售过程中发现，其日销售量y（单位：只）与销售单价x（单位：元）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系式；（2）若物价局规定，产品的利润率不得超过60%，该商场销售冰墩墩玩偶每天要想获得150元利润，销售单价应定为多少？【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求解；（2）根据产品的利润率不得超过60%，可知产品的售价最高为：20×（1+60%）＝32元，根据题意有：（x﹣20）y＝150，将y＝﹣2x+80代入（x﹣20）y＝150中，解一元二次方程即可求解．【解答】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，由图可知，直线y＝kx+b经过点（25，30）和点（35，10），则有：，解得：，即函数关系式为：y＝﹣2x+80；（2）根据产品的利润率不得超过60%，可知产品的售价最高为：20×（1+60%）＝32元，根据题意有：（x﹣20）y＝150，将y＝﹣2x+80代入（x﹣20）y＝150中，整理，得：x2﹣60x+875＝0，解得x1＝25，x2＝35，∵价格不得超过32元，∴x＝25，即售价应该定为25元．【点评】本题主要考查了用待定系数法求解一次函数解析式以及一元二次方程的应用的知识，根据一次函数图象用待定系数求出一次函数解析式是解答本题的关键．一十二．配方法的应用（共2小题）31．（2023春•苏州月考）先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2n2+2mn﹣6n+9＝0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0∴m+n＝0且n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题：（1）若x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，求x和y的值．（2）求代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】把原式利用完全平方公式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．【解答】解：（1）x2+3y2﹣2xy+4y+2＝0，x2﹣2xy+y2+2y2+4y+2＝0，（x﹣y）2+2（y+1）2＝0，x﹣y＝0，y+1＝0，解得x＝﹣1，y＝﹣1；（2）x2+2x+y2﹣4y﹣1＝x2+2x+1+y2﹣4y+4﹣6＝（x+1）2+（y﹣2）2﹣6，则代数式x2+2x+y2﹣4y﹣1的最小值为﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是配方法，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．32．（2023春•庄浪县期中）若三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，判断此三角形的形状，并求此三角形面积．【考点】配方法的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方．【分析】将式子进行化简，配方成完全平方的形式，求得a，b，c，根据勾股定理的逆定理进行判断为直角三角形，再利用面积公式计算．【解答】解：∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴32+42＝52，即a2+b2＝c2，∴此三角形为直角三角形，∴面积为．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用，完全平方公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【过关检测】一、单选题1．关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义，根与系数的关系，即可求解．【详解】解：∵的一元二次方程有两个实数根，∴，解得，且，故选：．【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，根的判别式的综合，掌握一元二次方程的定义中二次项系数不能为零，根的判别式大于等于零方程有两个实根的知识是解题的关键．2．方程x2＝1的解是（）A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝1【答案】C【分析】由的平方根是利用直接开平方法解方程，即可得到答案．【详解】解：故选：【点睛】本题考查的是利用直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．3．一元二次方程根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：方程化为一般式为：＝0，∵Δ=，∴方程没有实数根，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．4．用配方法解方程时，应将其变形为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方即可.【详解】故选：D【点睛】本题考查的是解一元二次方程的配方法，配方法要先把二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方是关键.5．关于的方程有两个相等的实数根，则锐角的度数（

）A．等于 B．等于 C．等于 D．不影响方程的解【答案】C【分析】根据方程有两个相等的实数根，则，算出的值，然后根据特殊角的三角函数值得出角的度数．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得，则．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据条件算出的值从而得到角的度数．6．在下列方程中，一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程，根据以上定义逐个判断即可．【详解】A.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项错误；B.是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项错误；C.是一元二次方程，故本选项正确；A.不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误；故选C.【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（

）A．－1 B．0 C．－1或0 D．4或1【答案】A【分析】整理成一元二次方程的一般形式，令△=0求解即可．【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴的△=0，∴，解得m=-1，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．8．将方程化为一般形式，，，的值分别为（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根据一元二次方程一般式的定义计算解题．【详解】解：一元二次方程的一般式形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，将题中方程整理成标准的一般式，可得2x2＋5x－3＝0，故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一般式的形式是本题的解题关键．9．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（）A．1+或1﹣ B．1或﹣1 C．1﹣或1 D．1+或﹣1【答案】D【分析】根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x的分式方程求解，结合x的取值范围确定方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解即可．【详解】解：①当x≥﹣x，即x≥0时，∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1，∴x＝x2﹣x﹣1，解得：x＝1+（1﹣<0，不符合舍去）；②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为1+或﹣1，故选：D．【点睛】本题考查了解分式方程，有关实数、实数运算的新定义，掌握分式方程的解法是解题的关键．10．如图，若将图正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，设，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．【详解】依题意得，而，，，而不能为负，．故选A．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，首先正确理解题目的意思，然后再根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用等量关系列出方程解决问题．二、填空题11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．【答案】且a≠0【分析】根据“方程是一元二次方程”，得到，根据“原方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于的不等式，解之即可．【详解】解：方程是一元二次方程，，原方程有两个不相等的实数根，△，解得：，综上可知：且，故答案为：且．【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．12．方程的解是__________.【答案】【分析】根据解无理方程的方法可以解答此方程，注意无理方程要检验．【详解】解：∵,∴3-2x=x2，∴x2+2x-3=0，∴（x+3）（x-1）=0，解得，x1=-3，x2=1，经检验，当x=1时，原方程无意义，当x=-3时，原方程有意义，故原方程的根是x=-3，故答案为x=-3．【点睛】本题考查无理方程，解答本题的关键是明确解无理方程的方法．13．（1）一元二次方程(x-2)(x-3)=0的根是____．（2）以正方形ABCD的边AD作等边ADE，则∠BEC的度数是_________．【答案】30°或150°【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意作图，分两种情况讨论：当点Ｅ在正方形外部及当点Ｅ在正方形内部时，根据等腰三角形的性质与三角形内角和180°定理，解得或，进而可解得∠BEC的度数．【详解】（1）

故答案为：；（2）如图1：当点E在正方形外部时，以正方形ABCD的边AD作等边ADE，如图2，当点E在正方形内部时，是等边三角形，四边形ABCD是正方形，故答案为30°或50°．【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．若方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为出x1，x2，则x1+x2＝_____．【答案】2【分析】利用根与系数的关系求出两根之和即可求解．【详解】∵方程2x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，15．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为_____．【答案】x（x﹣1）=36【详解】试题解析：设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次，由题意得，x（x﹣1）=36，故答案是：x（x﹣1）=36．16．把方程化成一般形式为_______________________.【答案】+x-2=0【详解】试题分析：根据去括号法则可得：+x=2，化成一般式为+x-2=0.考点：一元二次方程的一般式17．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．【答案】或2【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可．【详解】解：根据新定义内容可得：，整理可得，解得，，故答案为：或2．【点睛】本题考查新定义运算、解一元二次方程，根据题意理解新定义运算是解题的关键．18．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，当共有210个小球时，，解得：或(不合题意，舍去)，∴第个图形共有210个小球．故答案为：．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．三、解答题19．用合适的方法解方程．(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可得；（2）利用配方法解一元二次方程即可得．（1）解：，或，或，即．（2）解：，，，，，，，即．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等）是解题关键．20．解下列方程：(1)；(2).【答案】(1)，(2)【分析】（1）运用配方法求解即可；（2）运用因式分解法求解即可.【详解】（1）∵，∴，即，∴，则，；（2）∵，∴，∴，则或，解得【点睛】此题是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的几种解法是解本题的关键，灵活选用方法是解本题的难点．21．（1）计算：．（2）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．求m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）对括号内进行通分，再把除法转化为乘法，化简即可.（2）根据方程的系数结合根的判别式即可得出即可求出m的取值范围．【详解】解：原式，，．关于x的一元二次方程有两个实数根．，解得：．【点睛】本题考查分式的混合运算以及一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，以及一元二次方程的判别式与根的个数的关系是解题的关键．22．已知：关于x的方程kx2-（3k-1）x+2（k-1）=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且，求k的值．【答案】（1）见解析（2）k=1.【详解】试题分析：（1）分两种情况解答：当k=0时，原方程变为一元一次方程-2x-2=0，有实数根；当时，为一元二次方程，只需要证明方程的判别式即可；（2）利用根与系数的关系得出，然后把变形代入然后解方程即可.试题解析：（1）证明：当k=0时，-2x-2=0,得x=-1,有实数根；当时，为一元二次方程，．无论k为何值时恒成立．

综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．（2）解：方程有两个实