2025-2026学年云南省曲靖一中沾益清源高级中学高一（下）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年云南省曲靖一中沾益清源高级中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数z满足z（3+2i）=13，则复数z的共轭复数的虚部为（）A.-2 B.2 C.-2i D.2i2.在三角形ABC中，AD为BC边上的中线，则=（）A. B. C. D.3.已知α为钝角，且，则=（）A. B. C. D.4.在空间中，设m表示直线，α，β表示不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若α∥β，m∥α，则m∥β B.若α⊥β，m⊥α，则m∥β

C.若α⊥β，m∥α，则m⊥β D.若α∥β，m⊥α，则m⊥β5.若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（）A. B. C. D.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，，根据这些信息，可得sin2034°=（）A. B. C. D.7.设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递增，且，则φ的取值是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知角α的终边经过点P（-x,-4），且，则（）A.x=3 B.

C. D.10.若复数z1=（m2-3m+2）+（2m2-3m-2）i,z2=1-（2m+1）i（m∈R），则下列命题中正确的是（）A.当m=1或2时，z1是纯虚数

B.当m=-1时，

C.当时，复数z1在复平面内所对应的点在第三象限

D.若z1＞z2，则11.如图，△ABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.

B.

C.的最大值为

D.若，则x+y的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知sinA：sinB：sinC=，则cosC=

.13.向量，，若向量，的夹角为钝角，则x的取值范围为

14.如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知复数z1=2+mi（m∈R），z2=1-3i.

（1）若复数是纯虚数，求m的值；

（2）若z2是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，求的值.16.(本小题15分)

在①，②bcosC=（2a-c）cosB中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.

问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知_____.

（1）求B；

（2）若△ABC的外接圆半径为1，且，求a+c.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.17.(本小题15分)

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.

（1）证明：AC1⊥BD；

（2）求点A到平面C1BD的距离.18.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别是a,b,c,且bcosC+ccosB=2acosA.

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC的面积是，求△ABC的周长；

（3）若△ABC为锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=2，E为PD的中点.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥P-ABCD在点A的曲率为.

①求证：平面PAD⊥平面ABCD；

②在直线BP上是否存在点Q，使得EQ⊥平面PAC，若存在，求BQ的长；若不存在，说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】AD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】（48-32）π

15.【答案】

16.【答案】解：（1）若选择条件①：因为，

在△ABC中，由余弦定理可得，

由余弦定理可得a2+c2-b2=ac,

则，

因为B∈（0，π），

所以；

若选择条件②：因为bcosC=（2a-c）cosB，

由正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，即sin（B+C）=2sinAcosB，

则sinA=2sinAcosB，

因为A∈（0，π），sinA≠0，

所以，

因为B∈（0，π），

所以；

（2）因为，

所以，即，即，

又因为，

所以，

由于△ABC的外接圆半径为R=1，由正弦定理可得，

可得，

所以，

由余弦定理可得b2=a2+c2-accosB=（a+c）2-3ac=3，

所以．

17.【答案】（1）根据题意建立如图所示的坐标系，如下图所示：

则A（2，0，0），B（0，0，0），D（2，2，0），C1（0，2，2），

则，，

故，可以得到，

故证得AC1⊥BD

（2）

18.【答案】；

；

．

19.【答案】取PA的中点F，连接EF，BF，

又E为PD的中点，则EF∥AD，且，

又△PAD是边长为4的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，且AB⊥AD，BC=AB=2，

则，BC∥AD，所以EF∥BC，且EF=BC，

所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF，

又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB

①由题意知，，

又△PAD是等边三角形，底面ABCD为直角梯形，

则，，所以，即AB⊥PA，

又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD，

又AB⊂平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PAD．

②取AD的中点O，连接PO，CO，则PO⊥AD，CO⊥AD，

又平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，所以PO⊥平面ABCD，

所以以O为坐标原点，直线OC，OD，OP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标