安徽省蚌埠市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

安徽蚌埠市联考2025-2026学年第二学期期末学业水平监测高一数学一、单选题1．已知是虚数单位，复数，则的虚部为（

）A．1 B． C． D．-12．若向量，则实数（

）A．-1 B．1 C．-3 D．33．利用斜二测画法作边长为2的正三角形的直观图，则所得直观图的面积为（

）A． B． C． D．4．已知正四棱台的上、下底面边长分别是、，高为，则该四棱台的体积为（

）A． B． C． D．5．将函数的图象向右平移个单位长度得到余弦曲线，则的解析式为（

）A． B．C． D．6．已知一个圆锥的底面半径为1，体积为，则其侧面积为（

）A． B． C． D．7．设，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．8．如图，在圆心为的半圆中，，，，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．设，则（

）A． B． C． D．10．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（

）A．对任意点，四边形是平行四边形B．对任意点，C．存在点，使截面为菱形D．存在点，使是直角三角形11．在中，分别是中线、角平分线和高，其中均在上，则（

）A． B． C． D．三、填空题12．已知向量，，若，则___________．13．已知都是锐角，，则______14．设函数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为________.四、解答题15．已知向量和，且与的夹角为．(1)求；(2)求的值；(3)求与的夹角的余弦值．16．已知函数的部分图象如图所示，其中点与点关于直线对称．(1)写出点的坐标并求函数的解析式；(2)当，时，求的值域．17．如图，在正方体中，．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)求点到平面的距离．18．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且，(1)求证：；(2)求角的取值范围；(3)求的取值范围．19．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，分别为，的中点．(1)证明：平面；(2)若平面平面，直线与直线所成角的余弦值为．（i）求边的长；（ii）求四棱锥外接球的体积．参考答案1．A【详解】，所以的虚部为1.故选：A2．D【详解】因为向量，所以，解得.3．A【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为，所以直观图的面积是.4．C【详解】由题意可知，该正四棱台的体积为.5．B【详解】由题意，,将替换为，可得：,AC错误；由，对变形：，C正确，D错误.6．D【详解】∵圆锥底面半径，体积，由圆锥体积公式，代入得，∴.∴圆锥母线长，∴圆锥侧面积.7．C【详解】∵角的终边经过点，且，根据任意角的正切函数定义由二倍角公式，代入得又，因此有化简得，结合同角三角函数平方关系，代入得：，整理为，解一元二次方程得.∵，故，且，舍去负根（小于，不符合余弦值域），因此.8．A【详解】取线段的中点，连接，由垂径定理可知，则，同理可得，因为，即，所以，所以.9．BD【详解】，A错误；，B正确；，C错误；，D正确.10．ABC【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，设，，则截面与棱的交点，则且等长；且等长.故四边形是平行四边形，A正确；长方体体积，截面的对角线与交于长方体中心，即截面过几何中心.因此截面将长方体平分为两个全等部分，故，B正确；，令其相等解得，此时，满足，四边形是平行四边形且邻边相等，故截面是菱形，C正确；三边平方为：，若，则，不符合；若或，解得，不符合.故无满足条件的点，使是直角三角形，D错误.11．ACD【详解】设，已知，根据三角形三边关系有：，成立，，，.根据余弦定理：，，所以，代入得：，由，根据均值不等式，，时取等号，又，，当时，，，则，A正确；是中线，则，在和中分别使用余弦定理：在中：，在中：，，，将上述两式相加得：，又，，又，，B错误；，利用二倍角公式化简左边得：，由，，又，，C正确；是高，面积，同时，，联立解得，令，则，当时，，当时，，，D正确.12．【详解】已知，则，计算得：.13．【详解】因为都是锐角，所以，又因为，所以，，因此，因为是锐角，所以.14．16【详解】由条件知，当且仅当时，取到最大值.根据条件，知任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时，.综上，k的最小值为，其中，表示不超过实数x的最大整数.15．(1)(2)(3)【详解】（1）已知，由数量积的定义可得：．（2），所以．（3）因为，16．(1)，(2)【详解】（1）依题意，点和点关于直线对称，所以点的坐标为．由图象易得，所以，又函数的图象过点，则，可得，因为，故，而，可得，所以，解得，设函数的最小正周期为，由图可知，则，故，故，，所以．（2）当时，则，因为，则，当时，，所以在上单调递减，而，，所以；当时，，且，则，由可得，由可得，此时函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，，则，综上所述，函数的值域为．17．(1)在正方体中，连结，由平面平面，所以，又，平面，且，因此平面，又平面，因此，同理，，又平面，且，平面．(2)(3)【详解】（1）略（2）设，的交点为，连接，由（1）知平面，，故为二面角的平面角,因为，所以，即二面角的正弦值为．（3）显然，设到平面的距离为．由得，，解得．即点到平面的距离为.18．(1)因，由正弦定理得，整理得，即，，故，因为为锐角三角形，则，，所以，即.(2)(3)【详解】（1）略（2）因为是锐角三角形，则，解得，所以角的取值范围为．（3）由（1）及正弦定理得令，则，因此，因为在区间上单调递增，故，即，所以的取值范围为．19．(1)证明：取中点，连接，，如图所示：是中点，，且，又，且，故平行且相等，即四边形是平行四边形，，又平面平面，故平面．(2)（i）或；（ii）或【详解】（1）略（2）（i）因为正方形，所以且，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，因为，易知，由（1）知，所以为直线与直线所成角，即．在中，由余弦定理得，即，化简得，解得，或，若，因为，所以；若，由，,解得．综上，或．（ii）①当时，两两相互垂直，且，故四棱锥的外接球即以