福建福州第一中学2025-2026学年第二学期第一学段期中考试高二数学试卷（含答案）

福州一中2025-2026学年第二学期第一学段期中考试高二数学考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则其导函数（）A. B.C. D.2.若，则n等于（）A.5 B.6 C.7 D.83.二项式的展开式中，常数项为（）A.-4 B.4 C.-6 D.64.如图是函数的导函数的部分图象，则下列判断正确的是（）A.在区间上，是增函数 B.在区间上，是减函数C.当时，取得极大值 D.当时，取得极小值5.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A. B.C. D.7.如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态.假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则B，I灯区最终仍处于“点亮”状态的不同按法种数为（）ABCDEFGHIA.18 B.20 C.24 D.368.已知函数，若，，，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某学校高二年级数学课外活动小组中有男生6人，女生4人，则下列说法正确的是（）A.若从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，则有90种不同的选法B.若从中选4人参加数学建模比赛，其中男、女生各2人，则有90种不同的选法C.若从中选5人参加数学建模比赛，其中学生甲一定要参加，则有252种不同的选法D.若从中选5人参加数学建模比赛，其中至少一名女生，共有246种不同的选法10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.，都有两个极值点B.当时，仅有一个零点C.若的单调递减区间为，则在区间的值域为D.存在实数，使直线与的图象交于A、B、C三点，且B为中点11.已知函数（为常数）有两个极值点，则（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的单调递增区间是_____________．13.一个1，两个2，三个3组成一个六位数，则相同数字不相邻的个数为__________.14.在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在点P处的切线交x轴于点M，过点P作的垂线交x轴于点N，设线段的中点的横坐标为t，则t的最大值是_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在数列中，，，，且是等差数列.（1）求；（2）求的值.16.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围.17.如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元（是常数，且），半球形部分每平方米的建造费用为万元.（1）容器的总建造费用为万元，请把表示为r的函数；（2）求该容器的总建造费用最少时的r值.（参考公式：，）18.已知函数.（1）若是函数的极小值点，求实数的值；（2）当时，，求实数的取值范围；（3）已知，证明：.19.设函数，.（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；（2）当，求极值点的个数；（3）对任意，总存在，使得，求c的最小值.

福州一中2025-2026学年第二学期第一学段期中考试高二数学考试卷参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.B3.D4.D5.C6.A7.B8.D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABD10.BD11.ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.##13.1014.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【小问1详解】设，，，，因为是等差数列，即是等差数列，则有，即，解得.【小问2详解】由（1）知，，，则的公差为2，首项为6，则，即，当时，将各式相加，得，即，即，而满足上式，故，，则.16.【小问1详解】已知，其定义域为.求导.当时，因为，所以，即.所以在上单调递增.当时，令，即，因为，所以，解得.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意.所以，此时在上单调递增，在上单调递减.要使在上有且仅有两个零点，当趋近于0时，趋近于，所以根据零点存在定理，则需满足，，解得；，化简得，解得；又因为，可得，所以实数a的取值范围为.17.【小问1详解】由题设，则，且，所以，且；【小问2详解】由（1）得，且，令当即时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取；当即时，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，此时时有；综上，当时，，该容器的总建造费用最少；当时，，该容器的总建造费用最少.18.【小问1详解】，由是的极小值点，所以，所以.当时，，，当时，；当时，.所以是的极小值点，所以.【小问2详解】因为，所以当时，，由（1）知，符合题意；当时，.又当时，，，所以，即.所以在区间单调递减，所以，不符合题意.综上，的取值范围是.【小问3详解】由（1）知，当时，函数在区间单调递增，所以当时，，即，所以当时，.当时，，则有.令，求导得，当时，，在单调递增；当且时，又，即，.所以.又时，所以时，.记，所以.所以.19.【小问1详解】，由题意知，得，又，所以，所以.【小问2详解】①当时，，令，得，当，；当，，则极值点的个数为1个.②当时，（i）当，知，且，所以，此时单调递减，无极值点.（ii）当时，设，则，又，且，，所以，所以即在上单调递减，且有，由零点定理可知存在唯一的，使得，所以在上单调递增，在上单调递减，为