3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（第5课时）教学课件

第三章圆3.5点与圆、直线与圆的位置关系（5）学

习

目

标12了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念．掌握用尺规作三角形内切圆的方法．3掌握三角形内心的性质：内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等．问题引入要从一张三角形纸片中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？请你试一试．●●●当这个圆与三角形的各边都相切时，剪得的圆面积最大.新知探究1．当圆与三角形的各边都相切时，圆心有什么特点？●圆心到三条边的距离相等（都等于半径）．2．到一个角两边距离相等的点，在哪条线上？在这个角的平分线上．3．如何找一个点，使它到三角形三边的距离相等？三角形两条内角平分线的交点．新知探究已知：△ABC（如图）．求作：和△ABC的各边都相切的圆．CAB要作出这个圆，我们首先需要确定哪两个要素？圆心应该定在哪儿？半径又该怎样选取？MOND┛作法:①

分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM，

CN，BM与CN的交点为O．②

过点

O作

OD⊥BC，垂足为

D．③

以点

O为圆心，OD长为半径作⊙O．⊙O就是所求的圆．

这样的圆能作几个？三角形三条角平分线必定交于唯一一点，所以这样的圆有且只有一个．概念引入●

OCAB

与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆．内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三条角平分线的交点，这个三角形叫作圆的外切三角形．

如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形．

注意：三角形的边与圆的位置关系称为切．而“内”、“外”是相对的.任意三角形都有内切圆吗？新知巩固CABOCABOCABO┛分别画出下图各个三角形的内切圆．想一想内心有什么性质？内心和外心有什么区别？任意三角形都有内切圆新知归纳图形圆的名称三角形名称圆心名称确定圆心的方法圆心的性质三角形的内切圆三角形的外接圆圆的外切三角形圆的内接三角形三角形的内心(一定在三角形内部)三角形的外心(不一定在三角形内部)三角形的三条角平分线的交点三角形的三边垂直分线的交点到三角形的三边距离相等到三角形的三个顶点距离相等三角形的内心与外心对比方法点拨：要求内切圆上切点构成的圆周角，先找内心，连半径，利用切线的性质定理与四边形内角和360°求圆心角，再用圆周角定理计算．例题讲解例6如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的大小．COABFED

思考：∠EDF与∠A之间有什么关系？

例题讲解

变式

当☉O

上有一点P（不与点E、F

重合），

∠EPF

的度数与∠A之间有什么关系？COABFEDPP

归纳总结三角形内切圆和外接圆中的有关角基本图形角之间的关系

∠BOC＝2∠A新知巩固1．△ABC的周长为

C，面积为

S，求它的内切圆的半径（用含

C，S的代数式表示）．CABEFD●O

新知巩固2.《九章算术》中有一道“勾股容圆”问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”实际上就是解决下列问题：已知直角三角形的两直角边分别长为15，8，求其内切圆的直径．请你解决这个问题．ACBO●EFD知识延伸若

BC、AC、AB的长分别为

a、b、c，内切圆⊙O的半径长是多少？ACBO●EFD解：设内切圆半径为r，易得

b－r＋a－r＝c，cba

新知巩固3．如图，点C、D分别在射线OA、OB上，用直尺和圆规作作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．OBADCP1P2解：如图，满足条件的⊙P有2个.能力提升如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.

(1)BD与ID相等吗？为什么？BADC●

I解：(1)连接BI．∵

I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，又∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD．∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠DBI＝∠CBI＋∠CBD，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝ID．能力提升

(2)

证明：如图，连接DC，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD．∵ID＝BD，∴BD＝CD＝ID，∴点D是△BIC的外心．BADC●