2.1 一元二次方程的概念 教学设计

2.1一元二次方程的概念教学设计1.教学内容本课选自苏科版九年级上册第二章《一元二次方程》2.1《一元二次方程的概念》。核心知识点：1.一元二次方程的定义；2.一般形式ax2+2.内容解析本节以“生活情境—列式建模—对比归纳—抽象提升”的路径展开。先通过正方形桌面、矩形花圃、扶贫数据等实际问题，引导学生经历“审题—设未知数—找等量关系—列式”过程，获得x2=2、x(19-2x)=24等整式方程。再与已学的一元一次方程对比，提取“三特征”（整式、唯一未知数、最高次数为2），自悟“若a≠0，则称为一元二次方程”，完成概念形成。随后通过去括号、移项、整理、降幂等操作，统一写成一般形式ax2+bx+c=0，突出a1.教学目标•能根据实际问题列出等量关系式，整理得到整式方程，归纳一元二次方程的定义。•掌握一元二次方程一般形式ax2•会将任意一元二次方程整理成一般形式，理解方程根的含义，能检验数值是否为方程的根。2.目标解析•通过多元情境创设，引导学生动手列式、比较分析，自主总结出一元二次方程的本质特征。

•借助一般形式的列举与剖析，让学生在填表、口答中快速锁定各项及其系数；重点强调a≠0•通过“梯子问题”等综合应用，训练从实际到数学、从形式到意义的双向迁移。3.重点难点•教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式。•教学难点：从实际问题正确建立一元二次方程模型并化为一般形式。学生已系统学习过整式的加减乘除、因式分解及一元一次方程，具备基本的列方程与变形能力，对“次数、未知数、整式”已有初步认识。但对“二次”概念、一般形式化处理的必要性及数学建模的整体思维尚不成熟，易在去括号、移项变号及缺项系数判定上出错；对“方程的根”与“实际解”的区别亦需加强理解。针对这一特点，教学中应通过直观情境与多元练习，突出“对比—归纳—应用”策略，帮助学生顺利过渡到更高层次的代数学习。创设情景，引入新课知识回顾：教师提问：什么是一元一次方程？一般形式是什么？学生回答：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程．一般形式是ax＋b＝0(a≠0)．教师提问：列方程的一般步骤是什么？学生回答：审题→设未知数→找等量关系→列式情景引入根据下列问题，设未知数列方程：1．面积为2

m2解:设正方形桌面的边长为xm，由题意得：x2＝22．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24

m2解：设花圃垂直于墙的一边长为xm，由题意得：x(19－2x)＝24．3．我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫．已知我国2017年农村贫困人口为3046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我国2017—2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率．解：设我国2017－2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率为x，由题意得：3046(1-x)2【设计意图】以贴近生活的三幅情境图激活学习兴趣，引发“为什么需要新方程”的思考。通过对比旧知（一次方程）→归纳共性→提出新概念，帮助学生明确学习方向和目标。探究点1：归纳一元二次方程的定义1.讨论交流对比一元一次方程，这三个方程共同点是什么？x2=2,具有这样特征的方程应该如何定义呢？解：①方程的等号两边都是整式，没有分式或根式等其他形式；②方程中只含有一个未知数（如x）；③未知数的最高次项次数是2，且二次项的系数不为0．2.新知归纳等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程（quadraticequationwithoneunknown）．教师提问：你能举出一个不是一元二次方程的例子吗？【设计意图】通过“观察—比较—归纳”突破概念形成难点，培养分类与抽象能力。探究点2：一元二次方程的一般形式及项、系数1.尝试交流数学中为了方便研究，常常将方程化为统一的形式．你能尝试将方程x(19－2x)＝24化为等号右边为0的形式吗？解：x(19－2x)＝24去括号，得19x－2x2＝移项，得－2x2＋19x－24＝（方程的左边按x的降幂排列）2.新知归纳一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，a≠03.新知讲解关键特征：a≠0a≠0是一元二次方程的必要条件．如果a＝0，方程就变成bx＋c＝0，是一元一次方程了．b、c可以为0．【设计意图】统一形式便于后续求根，为后续公式法埋下伏笔；通过“指名—补充”促进课堂参与度。探究点3：一元二次方程的根及其检验1.尝试交流说出方程－2x2＋19x－24＝0方程x2＝2方程3046(1-x)2注意：确定各项及其系数时，不能忽略前面的符号．2.例题讲解例如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m．设梯子顶端到地面的距离为xm，列出相应的方程．解：梯子与墙面、地面围成一个直角三角形．根据题意，得化简，得3.尝试交流观察方程x2＋x－12＝0观察方程x2＋(x+1)解:当x＝3时，32＋3－12＝9＋3－12＝0所以x＝3是方程的根．当x＝－4时，(－4)2＋(－4)－12＝16－4－12所以x＝－4也是方程的根．x＝3，x＝－4都是这个方程的根．4.知识归纳：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也称为一元二次方程的根．在解决实际问题时，求出方程的根后，必须回到实际情境中检验它是否符合题意．不符合实际意义的根要舍去．【设计意图】用直观的梯子问题串联“列方程—整理—求根—检验”全过程，落实学习目标1、3，并培养数学建模与应用意识。1．根据题意列方程：(1)一张面积是240cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm．设它的宽为xcm，可得方程_______________解：x(8＋x)＝240(2)如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的19．设圆的半径为xcm，可得方程____________解：πx2＝2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项．（1）x2-x=2

（2)4x+1=x2

（解：(1)将方程化成一般形式，得x2－x－2＝0二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－1、－2．(2)将方程转化成一般形式，得x2－4x－1＝0二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－4、－1．(3)将方程化成一般形式，得2x2＋3x＝0二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、3、0．(4)将方程转化成一般形式，得x2＋3x＋2＝0二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、3、2．注：◎4x+1=x2也可以化为－x2＋4x◎将方程化为一般形式时，务必注意移项要变号；各项系数包括它前面的符号，不可遗漏；若方程中缺少某一项，该项的系数即为0．3．你能找到方程x2＝2解：根据平方根的定义，对于方程x2＝2，x是2所以x＝±2．所以方程x2＝2的解为x1＝2，x24．判断下列x的值是否为对应的一元二次方程的根：(1)x1=2，(2)x=-1，方程(3)x1=2,x2解：(1)把x＝2代入：左边＝22－4＝4－4＝0＝右边，x＝2把x＝－2代入：左边＝(－2)2－4＝4－4＝0＝右边，x(2)把x＝－1代入：左边＝(－1)2＋2×(－1)＋1＝1－2＋1x＝－1是方程的根．(3)把x＝2代入：左边＝22－3×2＋2＝4－6＋2＝0＝右边，x＝2把x＝3代入：左边＝32－3×3＋2＝9－9＋2＝2≠0，x＝3能力提升已知关于x的方程(m－1)xm2＋1＋(m－2)x－(1)若方程是一元二次方程，求m的值．(2)若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解．解：(1)根据题意，得m2＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1(2)存在有两种情况：①当满足m2＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0，则方程变为－3x－1＝0解得x＝－13②当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1，则方