2.4 用一元二次方程解决问题（第1课时）教学设计

.4用一元二次方程解决问题（1）教学设计1.教学内容本课为新教材苏科版九年级上册·数学·第二章一元二次方程2.4“用一元二次方程解决问题1”。核心知识点：1）周长（或边长）已知、求矩形面积或边长的建模；2）图形四周等宽镶边/裁剪形成新图形的建模；3）一元二次方程应用题的一般步骤“审—设—列—解—验—答”；4）根的判别式Δ=b2.内容解析本节以“篱笆围地”情境导入，引出“周长一定求面积”“面积一定求边长”两类几何模型，通过“设元—列方程—解—检验”实现数量关系向代数方程的转化，体现“数形结合”的思想。教学价值在于让学生理解一元二次方程不仅能求根，更能描述实际问题并作出可行性判断（Δ判别）。重点在于建立等量关系并正确列式，难点在于审题设元与判别式的合理应用。1.教学目标•能根据矩形面积类实际问题，找出等量关系，列一元二次方程求解。•掌握一元二次方程解实际应用题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验根的实际意义→作答。•会利用根的判别式判断实际问题是否存在符合条件的解。2.目标解析•面对“周长一定”“面积一定”“镶边/裁剪”等问题，能正确设未知量，用S=ab,2(a•全过程写出文字表述与数学表达，能独立完成“审—设—列—解—验—答”，并在“验”中剔除不合实际的虚根或超范围实根。

•能用Δ=b2-4ac判断方程实根情况，进一步判断“3.重点难点•教学重点：建立等量关系并准确列出一元二次方程。•教学难点：①合理设元并对根进行实际意义检验；②运用判别式进行可行性分析。学生已掌握一元一次方程应用题建模，会使用长方形周长、面积公式，具备基本代数运算能力；对一元二次方程的解法（配方法、公式法）已初步掌握。但在新情境中常出现：1.难以准确提取“周长一定”与“面积一定”的等量关系，导致列式错误；2.忽视单位及正负意义，未能有效检验根的合理性；3.对判别式理解停留在机械计算，不能与“方案能否实现”联系。因此，本课需通过丰富的几何情境、表格式步骤引导和对比分析，帮助学生突破“设元与列方程”及“判别式应用”两大难点，提升数学建模与逻辑推理能力。创设情景，引入新课知识回顾：1.列方程解应用题的一般步骤是什么？审→设→列→解→验→答2.一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4acΔ＞0，有两个不相等实数根；Δ＝0，有两个相等实根；Δ＜0，无实根．【设计意图】快问快答温故判别式与“六步法”，为后续探究奠基。探究点：用一元二次方程解决实际问题的一般步骤1.问题情景：在劳动实践中，九年级(1)班想用长22m的篱笆围成面积是30m2的矩形菜园，九年级(2)班想用同样长的篱笆围成面积是32m2分析：①22m的篱笆围成的矩形菜园周长是多少？②若设一边长为xm，则另一边如何表示？③矩形面积如何计算？2.新知探究①设篱笆围成的矩形的一边为xm，则邻边为(11－x)m．◎若要围成面积是30

m2x(11－x)＝30，即

x解这个方程，得x1当一边为5m时,邻边为11－5＝6(m);当一边为6m时,邻边为11－6＝5(m)．所以可以围成面积是30

m2◎若要围成面积是32

m2x(11－x)＝32，化简，得x2－11x＋32＝0由b2－4ac＝(-11)2－4×1×32＝－7可得此方程没有实数根．所以不能围成面积是32m²的矩形菜园．【注意】当题目问“能否做到（是否存在）”时，可以利用根的判别式Δ＝b2－4ac方程有正实数根→方案可行；Δ＜0(无实根)→方案不可行．②用22m长的篱笆围成矩形菜园的最大面积是多少？3.典例分析例1如图，要在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm2①镶边后的挂图的长和宽如何表示？挂图的长＝风景画长＋2倍金色纸边的宽，宽＝风景画宽＋2金色纸边的宽②这个问题中的相等关系是什么？挂图的长×挂图的宽＝5400cm²解：设金色纸边的宽为xcm，则挂图的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm．根据题意，得(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化简，得x²＋65x－350＝0．解这个方程，得x1＝5，x2＝－70(不合题意，舍去答：金色纸边的宽应为5cm．4.交流讨论用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？(1)审：审清题意，找出已（未）知量，明确等量关系；(2)设：设未知数（直接设或间接设），注意写好单位名称；(3)列：根据题目中的等量关系，列出方程；(4)解：化成一元二次方程的一般形式并求解(先用根的判别式分析方程是否有实数根)；(5)验：既要检验根是否满足原方程，又要检验根是否符合实际意义；（如：根是否为正、是否符合图形尺寸范围）(6)答：写出完整规范的答语（注意单位）．【设计意图】通过函数思想渗透最值观念，培养学生用多种方法（代数、几何、技术手段）解决问题的能力。1．一个长方形广场的面积是600m2．如果它的长减少10m解：设该长方形广场的宽是xm，则长为(x＋10)m．根据题意，得x(x＋10)＝600，解这个方程，得x1＝20，x2＝－30(不合题意，舍去长为20＋10＝30m．答：该长方形广场的宽是20m，长是30m．2.有一块长方形纸板，长31cm，宽18cm，在四个角都剪去相同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使盒子的底面积是300cm2求盒子的高．解：设盒子的高为xcm．根据题意，得(31－2x)(18－2x)＝300，化简，得2x²－49x＋129＝0．解这个方程，得x1＝3，x2＝21.5＞18÷2(不合题意，舍去答：盒子的高为3cm．除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意：超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去拓展提升1.如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽2m的门（建在EF处，另用其他材料）(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70＋2－2x＝(72－2x)m．根据题意，得x(72－2x)＝640．化简，得x²－36x＋320＝0．解得x1＝16，x2＝当x＝16时，72−2x＝72－32＝40m；当x＝20时，72−2x＝72－40＝32m．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2(2)羊圈的面积能达到650m2解：不能，理由如下：由题意，得x(72－2x)＝650．化简，得x²－36x＋325＝0．∵(－36)2－4×325＝－4∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m22．将一根长为24

cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于26

cm2解：(1)设其中一个正方形的边长为x

cm，则另一个正方形的边长为(6－x)cm.依题意，得x2＋(6－x)整理，得x2－6x＋5＝0解得x1＝1，x2＝∴1×4＝4(cm)，24－4＝20(cm)∴这段铁丝剪成两段后的长度分别是4

cm、20

cm．(2)两个正方形的面积之和能等于17

cm2解：(2)两个正方形的面积之和不能等于17

cm2理由：依题意，得x2＋(6－x)化简，得2x2－12