高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（1）教学教学设计 新人教A版必修4

上课时间上课时间高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1）教学教学设计新人教A版必修42025年12月任课老师任课老师魏老师设计思路设计思路本节课以新人教A版必修4第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1）为教学内容，通过引导学生探究正切函数的性质，培养学生分析问题和解决问题的能力。课程设计紧密结合课本，以实际应用为出发点，通过实例讲解和练习巩固，使学生深入理解正切函数的性质，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算的核心素养。通过正切函数性质的研究，提升学生运用数学语言描述现实问题的能力，增强逻辑推理和抽象思维能力，锻炼数学建模和直观想象的能力，提高准确计算和解决实际问题的能力。学情分析学情分析本节课面对的是高中一年级学生，他们在进入高中阶段后，数学学习从初中阶段的代数为主转向了以函数为主，这对于学生来说是一个转折点。在知识层面，学生已经具备了一定的代数基础和几何直观能力，但对于函数概念的理解和运用还处于初步阶段。在能力方面，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和解决问题的能力正在逐步形成，但尚需进一步培养和锻炼。

学生的素质方面，部分学生对于数学学习有较强的兴趣和积极性，能够主动探索和思考；而部分学生可能对数学学习存在畏难情绪，需要教师更多的引导和鼓励。在行为习惯上，学生的课堂参与度参差不齐，有的学生能够积极发言，有的学生则较为沉默。

对于本节课的学习，学生已有的知识基础为他们理解正切函数的性质提供了可能，但同时也需要教师考虑到他们可能存在的困惑，如对函数概念的理解不够深入，对极限思想的应用不够熟练等。因此，教学设计需注重启发式教学，通过实例和问题引导，帮助学生逐步建立起对正切函数性质的理解，并通过实践活动提升他们的数学思维能力。同时，教师还需关注学生的学习差异，提供分层教学，确保每个学生都能在原有基础上得到提升。教学资源准备教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教A版必修4《数学》教材，以便查阅正切函数的相关内容。

2.辅助材料：准备与正切函数性质相关的图片、图表和视频等多媒体资源，以增强直观教学效果。

3.教学工具：准备计算器、三角板等工具，供学生进行实际计算和图形绘制。

4.教室布置：设置分组讨论区，便于学生进行合作学习；确保实验操作台安全，以便进行必要的实验活动。教学过程教学过程一、导入新课

（老师）同学们，今天我们来学习第一章三角函数的1.4.3节，正切函数的性质与图象。在上一节课中，我们已经学习了正弦函数和余弦函数，那么正切函数又有哪些特性呢？让我们一起揭开这个神秘的面纱吧。

二、探究正切函数的定义域

（老师）同学们，首先我们来回顾一下正切函数的定义。正切函数的定义是：在一个直角三角形中，正切值等于直角边的对边长度与邻边长度的比值。那么，正切函数的定义域是什么呢？

（学生）正切函数的定义域是所有使得余弦值不为零的实数。

（老师）很好，同学们已经能够正确地表述正切函数的定义域了。接下来，我们通过一个实例来验证一下。

（老师展示实例）例如，我们要计算tan(π/4)的值。首先，我们找到一个直角三角形，使得其中一个角是π/4。在这个直角三角形中，对边和邻边的长度是相等的，因此，tan(π/4)的值是多少呢？

（学生）tan(π/4)的值是1。

（老师）非常好，同学们能够正确地计算正切函数的值。那么，我们再来探究一下正切函数的周期性。

三、探究正切函数的周期性

（老师）同学们，正切函数具有周期性。周期性是指函数值在每隔一定距离后重复出现。那么，正切函数的周期是多少呢？

（学生）正切函数的周期是π。

（老师）很好，同学们已经能够掌握正切函数的周期性了。接下来，我们通过一个实例来验证一下。

（老师展示实例）例如，我们要计算tan(π/4+π)的值。根据正切函数的周期性，tan(π/4+π)的值应该等于tan(π/4)的值，即1。那么，这个结论是否正确呢？

（学生）是的，这个结论是正确的。

四、探究正切函数的单调性

（老师）同学们，正切函数还具有单调性。单调性是指函数值随着自变量的增大而增大或减小。那么，正切函数的单调性是怎样的呢？

（学生）正切函数在(-π/2,π/2)区间内是单调递增的。

（老师）很好，同学们已经能够掌握正切函数的单调性了。接下来，我们通过一个实例来验证一下。

（老师展示实例）例如，我们要比较tan(π/6)和tan(π/4)的大小。根据正切函数的单调性，tan(π/6)的值应该小于tan(π/4)的值，即1/√3小于1。那么，这个结论是否正确呢？

（学生）是的，这个结论是正确的。

五、探究正切函数的奇偶性

（老师）同学们，正切函数还具有奇偶性。奇偶性是指函数值关于原点对称的性质。那么，正切函数的奇偶性是怎样的呢？

（学生）正切函数是奇函数。

（老师）很好，同学们已经能够掌握正切函数的奇偶性了。接下来，我们通过一个实例来验证一下。

（老师展示实例）例如，我们要计算tan(-π/4)的值。根据正切函数的奇偶性，tan(-π/4)的值应该等于-tan(π/4)的值，即-1。那么，这个结论是否正确呢？

（学生）是的，这个结论是正确的。

六、探究正切函数的极限

（老师）同学们，正切函数的极限也是一个重要的性质。极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于某个值的性质。那么，正切函数的极限是怎样的呢？

（学生）正切函数在x趋近于π/2时，极限是不存在的。

（老师）很好，同学们已经能够掌握正切函数的极限性质了。接下来，我们通过一个实例来验证一下。

（老师展示实例）例如，我们要计算lim(x→π/2)tan(x)的值。根据正切函数的极限性质，这个极限是不存在的。那么，这个结论是否正确呢？

（学生）是的，这个结论是正确的。

七、课堂小结

（老师）同学们，今天我们学习了正切函数的性质与图象。通过这节课的学习，我们了解到正切函数的定义域、周期性、单调性、奇偶性和极限等性质。这些性质对于我们理解和应用正切函数非常重要。

（学生）是的，老师，我们通过实例和计算，更加深刻地理解了正切函数的性质。

八、布置作业

（老师）同学们，今天的作业是：

1.复习本节课所学的正切函数的性质，并尝试用自己的语言进行描述。

2.计算下列正切函数的值：tan(π/3)、tan(-π/6)、tan(2π/3)。

3.证明正切函数是奇函数。

（学生）好的，老师，我们一定会认真完成作业的。学生学习效果学生学习效果六、学生学习效果

1.**知识掌握**：学生能够准确地描述正切函数的定义、性质，包括定义域、周期性、单调性、奇偶性和极限等。他们能够通过实例和计算验证这些性质，并能够运用这些知识解决实际问题。

2.**能力提升**：学生在逻辑推理和数学抽象方面得到了锻炼。他们通过探究正切函数的性质，学会了如何从具体实例中抽象出一般规律，并能够运用这些规律进行推理和证明。

3.**问题解决**：学生在解决与正切函数相关的问题时，能够运用所学知识进行有效的分析和计算。他们能够识别问题中的关键信息，选择合适的数学工具和方法来解决问题。

4.**合作学习**：在分组讨论和实验活动中，学生学会了与他人合作，共同解决问题。他们能够倾听他人的观点，提出自己的见解，并在讨论中形成共识。

5.**学习习惯**：学生在课堂上表现出积极的学习态度，能够按时完成作业，并在课后进行复习。他们逐渐养成了良好的学习习惯，如及时复习、主动提问等。

6.**数学思维**：通过本节课的学习，学生的数学思维能力得到了提升。他们能够从多个角度思考问题，学会了用数学语言表达思想，并能够将数学知识应用于实际情境中。

7.**情感态度**：学生在学习过程中，对数学产生了更浓厚的兴趣。他们认识到数学不仅仅是抽象的符号和公式，而是能够解决实际问题的有力工具。这种认识有助于激发学生的学习动力。

8.**个性化发展**：学生在学习过程中，根据自己的兴趣和特长，选择不同的学习路径。有的学生专注于理论推导，有的学生则更注重实际应用。这种个性化学习有助于学生发挥自己的优势，全面发展。重点题型整理重点题型整理1.**计算正切函数值**：

-题型示例：计算tan(π/6)的值。

-解答步骤：首先，根据特殊角的正切值，我们知道tan(π/6)=1/√3。因此，tan(π/6)的值是1/√3。

2.**判断正切函数的奇偶性**：

-题型示例：判断函数f(x)=tan(2x)的奇偶性。

-解答步骤：根据奇偶性的定义，我们需要验证f(-x)是否等于f(x)。对于f(x)=tan(2x)，有f(-x)=tan(-2x)=-tan(2x)=-f(x)。因此，f(x)=tan(2x)是一个奇函数。

3.**分析正切函数的单调性**：

-题型示例：分析函数f(x)=tan(x)在区间(0,π)上的单调性。

-解答步骤：正切函数在(0,π)区间内是单调递增的。这是因为在这个区间内，余弦函数的值是正的，而正切函数的导数tan'(x)=sec^2(x)也是正的，所以函数值随着x的增加而增加。

4.**求解正切函数的零点**：

-题型示例：求解方程tan(x)=-1在区间(0,2π)内的解。

-解答步骤：我们知道tan(3π/4)=-1，因此x=3π/4是方程的一个解。由于正切函数的周期是π，我们可以得出在区间(0,2π)内，方程的解是x=3π/4+kπ，其中k是整数。

5.**应用正切函数解决实际问题**：

-题型示例：一艘船在静水中以速度v行驶，水流速度为u。如果船要垂直于河岸行驶，求船相对于河岸的速度v。

-解答步骤：设船相对于河岸的速度为v，水流速度为u。由于船要垂直于河岸行驶，我们可以将船的速度分解为两个分量：一个垂直于河岸，一个平行于河岸。垂直分量v_v=v，平行分量v_h=u。根据勾股定理，我们有v=√(v_v^2+v_h^2)=√(v^2+u^2)。因此，船相对于河岸的速度v是√(v^2+u^2)。内容逻辑关系内容逻辑关系①正切函数的定义：正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，定义域为所有使得余弦值不为零的实数。

②正切函数的周期性：正切函数的周期为π，即tan(x+π)=tan(x)。

③正切函数的单调性：在区间(-π/2,π/2)内，正切函数是单调递增的。

④正切函数的奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

⑤正切函数的极限：当x趋近于π/2时，正切函数的极限不存在，即lim(x→π/2)tan(x)不存在。

⑥正切函数的图象：正切函数的图象具有垂直渐近线，即在x=(k+1/2)π处有渐近线，其中k为整数。

⑦正切函数的实际应用：正切函数在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如描述物体的运动轨迹、分析机械装置的运转等。教学反思教学反思教学反思

这节课，我觉得还是有不少收获的。首先，我注意到学生们在正切函数的定义和性质上掌握得还不错，能够通过实例来理解和应用这些概念。但是，在周期性和奇偶性的理解上，部分学生还是有些吃力的。我觉得这可能是因为他们在初中阶段对函数概念的理解还不够深入，所以我在接下来的教学中可能会花更多的时间来巩固和拓展这部分内容。

另外，我发现有些学生对于正切函数的图象和实际应用的理解比较困难。在课堂上，我尝试通过多媒体展示了一些正切函数在实际问题中的应用，比如在物理学中的速度-时间图象，但似乎效果并不理想。或许我应该考虑更多的教学方法，比如让学生分组讨论，或者设计一些实际操作的活动，来