2027《金版教程》大一轮数学基础版第3章 第5节 幂函数与指对运算

第三章函数与基本初等函数第五节幂函数与指对运算课标解读考向预测高考对幂函数与指对运算的考查，常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，难度中档．预计2027年高考对于幂函数的考查会以幂函数的图象和性质的应用为主，对于指对运算的考查会以参数的求解为主，题型一般为选择题、填空题，难度中档.必备知识强基础考点探究提素养课时作业目录必备知识强基础1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象y＝xα(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点_______和_______，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点_______，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为_______；当α为偶数时，y＝xα为_______．(0，0)(1，1)(1，1)奇函数偶函数2．根式(1)如果xn＝a，那么___叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)式子叫做______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(3)()n＝___．当n为奇数时，＝___；x根式aa04．指数幂的运算性质aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝_____(a>0，b>0，r，s∈R)．5．对数的概念(1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数___叫做以a为底N的对数，记作x＝_______，其中a叫做对数的______，N叫做_____．(2)常用对数和自然对数①常用对数：以____为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为_____．②自然对数：以___为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为______．ar＋sarsarbrxlogaN底数真数10lgNelnN6．对数的性质(1)_________没有对数；(2)loga1＝___；(3)logaa＝___；(4)对数恒等式：alogaN＝___；logaab＝___(a>0，且a≠1)．负数和001NblogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM1．幂函数的奇偶性×××××1解析：由f(x)＝xα为奇函数，知α取－1，1，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1.(4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)．解析：由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a.c<b<a考点探究提素养解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D.(2)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝____．3

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．

1.幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意的x∈R，有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝_______________．－10y147利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.对数运算的一般思路转化利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化利用换底公式转化为同底数的对数运算恒等式注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的应用拆分将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简合并将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算

4.化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(

)A．1 B．2C．4 D．65．(多选)若10a＝4，10b＝25，则(

)A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab>(lg2)2 D．b－a>lg6考点四与指对运算相关的情境问题(2025·北京卷，9)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时，则当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(

)A．2 B．4C．20 D．40解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时，所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选B.对于此类问题要正确理解题目信息，根据题意，列出相应的代数式或方程，灵活使用对数的运算法则和性质进行化简计算．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★考点幂函数的图象幂函数的奇偶性、单调性指对运算指对运算利用幂函数的单调性比较大小指对运算利用幂函数的奇偶性求值幂函数的单调性指数幂的运算幂函数的单调性、奇偶性题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考点与指对运算相关的情景问题指对运算幂函数的解析式；指数幂的运算解对数方程利用幂函数的单调性求参数、解不等式指对运算利用幂函数的图象比较大小与指对运算有关的新定义问题指对运算由幂函数的单调性求参数解析：根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D.6．若a>1，则alg(lga)－(lga)lga的值是(

)A．零 B．正数C．负数 D．以上皆有可能解析：令b＝lga，则a＝10b，由a>1，得b>0，所以alg(lga)－(lga)lga＝(10b)lgb－bb＝10lgbb－bb＝0.故选A.7．已知函数f(x)＝(m－1)xm＋1为幂函数，则f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝(

)A．0 B．－1C．a2 D．a6－a4解析：由题意，有m－1＝1，可得m＝2，f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝0.故选A.解析：因为f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2，此时f(x)＝x3，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3为奇函数．因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0.故选BC.三、填空题12．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，若f(ln2)·f(ln4)＝8，则a＝___．e解析：由f(ln2)f(ln4)＝8，可得aln2·aln4＝8，即aln2＋ln4＝a3ln2＝8，也即(aln2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln2＝2，两边取对数，得ln2·lna＝ln2，解得a＝e.6418．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[2]＝2，[－2.1]＝－3，定义：若f(x)＝n在(a，b)上恒成立，则称S＝|n|(b－a)为函数f(x)在[a，b)上的“面积”．函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和与下面哪个数最接近(注意：①“面积不重复计算”；②630≈29.3)(

)A．7.3B．7.7C．8.7 D．9.3解析：因为0≤x<3，所以1≤2x<8，当1≤2x<2，即0≤x<1时，f(x)＝1，当2≤2x<3，即1≤x<log23时，f(x)＝2，当3≤2x<4，即log23≤x<2时，f(x)＝3，当4≤2x<5，即2≤x<log25时，f(x)＝4