材料力学（I）（第5版）课件 ch7 弯曲变形、ch8 应力应变状态分析

第

7

章弯曲变形单辉祖：材料力学Ⅰ单辉祖：材料力学Ⅰ2第

7

章弯曲变形

弯曲变形基本方程

计算梁位移的方法

简单静不定梁分析

梁的刚度条件与合理设计本章主要研究：单辉祖：材料力学Ⅰ3

§1

引言

§2

挠曲轴近似微分方程

§3

计算梁位移的积分法

§4

计算梁位移的叠加法

§5

简单静不定梁

§6

梁的刚度条件与合理设计单辉祖：材料力学Ⅰ4§1引言

弯曲变形及其特点

挠度与转角单辉祖：材料力学Ⅰ5

弯曲变形及其特点

对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计,变形后横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交

变形很小时，横截面形心的轴向位移忽略不计挠曲轴

变弯后的梁轴，称为挠曲轴

挠曲轴是一条连续、光滑曲线

研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算,分析静不定梁,为

研究压杆稳定问题提供有关基础单辉祖：材料力学Ⅰ6

挠度与转角挠度与转角的关系（小变形）挠度－横截面形心在垂直于梁轴方位的位移－挠度方程转角－横截面的角位移－转角方程（忽略剪力影响）（rad）挠度方程也是挠曲轴方程(忽略截面形心轴向位移时)单辉祖：材料力学Ⅰ7§2

梁变形基本方程

挠曲轴微分方程

挠曲轴近似微分方程单辉祖：材料力学Ⅰ8

挠曲轴微分方程（纯弯）（推广到非纯弯）

w－弯矩引起的挠度

－挠曲轴微分方程单辉祖：材料力学Ⅰ9

挠曲轴近似微分方程小变形时：－挠曲轴近似微分方程

小变形

坐标轴

w

向上应用条件：坐标轴

w

向下时：单辉祖：材料力学Ⅰ10

例题例题

图示梁,EI为常数,已知

w=ax3,试分析梁的外力。解：1.内力分析2.外力分析截面B-存在剪力与弯矩，杆端B一定存在外力与外力偶杆端微段受力如图示,画剪力与弯矩图于是得单辉祖：材料力学Ⅰ11§3

计算梁位移的积分法

梁位移分析的边界条件

积分法求梁位移

挠曲轴的绘制

例题单辉祖：材料力学Ⅰ12

梁位移分析的边界条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件－位移边界条件－位移连续条件利用位移边界条件与连续条件确定积分常数单辉祖：材料力学Ⅰ13

积分法求梁位移

qA=?EI=常数

建立挠曲轴近似微分方程并积分

利用边界条件确定积分常数由条件

(1),(2)

与式

(b)

，得

计算转角（

）单辉祖：材料力学Ⅰ14

挠曲轴的绘制绘制依据

满足基本方程

满足位移边界条件与连续条件绘制方法与步骤

画

M图

由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置

由

M

图的正、负、零点或零值区,确定挠曲轴的

凹、凸、拐点或直线区,即确定挠曲轴的形状单辉祖：材料力学Ⅰ15

例题例题

用积分法求梁的最大挠度，EI

为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程并积分AC段CB段单辉祖：材料力学Ⅰ163.最大挠度分析（

）当

a>b

时位移边界条件：位移连续条件：2.确定积分常数最大挠度发生在AC段最大挠度：单辉祖：材料力学Ⅰ17例

题

建立挠曲轴微分方程,写出边界条件,EI

为常数解：单辉祖：材料力学Ⅰ18例

题

建立挠曲轴微分方程，写出边界条件，EI

为常数解：1.建立挠曲轴近似微分方程AB段:CB段:2.边界条件与连续条件位移边界条件：位移连续条件：单辉祖：材料力学Ⅰ19F=qa例题绘制挠曲轴的大致形状F=qa单辉祖：材料力学Ⅰ20§4

计算梁位移的叠加法

叠加法逐段软化法

两种方法比较

例题单辉祖：材料力学Ⅰ21

叠加法分解载荷分别计算位移

求位移之和

当梁内应力不超过比例极限，且变形很小，则任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和，称为计算梁位移的叠加法。

叠加法不仅可用于计算位移,也可用于计算内力与应力等；不仅可用于梁,也可用于拉压杆、轴及其组成结构。单辉祖：材料力学Ⅰ22叠加法进一步论述小变形,形心轴向位移忽略不计小变形,比例极限内于是得

当梁上同时作用几个载荷时,挠曲轴近似微分方程的解,等于各载荷单独作用时挠曲轴近似微分方程的解之和。当F=0,q=0时，wF=wq=0,w=0，故c=d=0单辉祖：材料力学Ⅰ23

逐段软化法

分解梁

AB段变形所致位移w1

求总位移逐段分析各梁段变形在需求位移处引起的位移并求其和

BC段变形所致位移w2这时,AB段为刚体,截面B对梁BC的约束,相当于固定端AB段与BC段在分析梁段

i变形所致位移wi

时,其余梁段均视为刚体单辉祖：材料力学Ⅰ24

叠加法

逐段软化法(或逐段软化求和法)

注意：两种方法的应用条件不同；实际求解时,常将叠加法与逐段软化法联合应用,因此,通常将二者统称为叠加法。

当梁或刚架内应力不超过比例极限,且变形很小,则任一横截面的总位移,等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和。

当梁或刚架的变形很小时,任一横截面的总位移,等于各杆段变形在该截面引起的位移的代数和或矢量和。

两种方法比较单辉祖：材料力学Ⅰ25

例题例题q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求

wB解：(

)(

)根据附录Ｅ之２单辉祖：材料力学Ⅰ26例题

图示阶梯形梁,求WC解：(

)(

)(

)单辉祖：材料力学Ⅰ27例题

图示组合梁，EI=常数，求

wB与qA(

)(

)解：单辉祖：材料力学Ⅰ28例题图示刚架,求截面

C

的铅垂位移解：单辉祖：材料力学Ⅰ29例题图示简支梁,试用叠加法计算截面C的挠度dC。

解：

梁段AC刚性转动,截面C位移至C’

；梁段CB为固定在截面C的悬臂梁,在力FBy作用下发生弯曲变形。

设梁段AC的转角为q，则单辉祖：材料力学Ⅰ30例题

求自由端位移d位移方位与载荷方位一般不重合一般情况下解：单辉祖：材料力学Ⅰ31§6

简单静不定梁

静不定度与多余约束

简单静不定梁分析方法

例题单辉祖：材料力学Ⅰ32

静不定度与多余约束多余约束

对于维持梁平衡或限制其刚体位移非必须约束多余反力

与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度

＝未知支反力(力偶)数－独立平衡方程数静不定度＝多余约束数5-3

=

2度静不定静不定梁

支反力(含力偶)数超过独立平衡方程数的梁单辉祖：材料力学Ⅰ33

简单静不定梁分析方法－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程算例综合考虑三方面求梁的支反力,EI=常数选FBy

为多余力1度静不定受力与原静不定

梁相同的静定梁,称为相当系统单辉祖：材料力学Ⅰ34

判断梁的静不定度

计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程

由补充方程确定多余力

通过相当系统计算支反力、内力、位移与应力等静不定梁分析方法与步骤相当系统相当系统相当系统有多种选择,关键是确定多余支反力

用多余力代替多余约束作用，构建相当系统单辉祖：材料力学Ⅰ35

例题例题

求支反力解：1.

问题分析2.

求解静不定水平反力忽略不计,2多余未知力单辉祖：材料力学Ⅰ36例题悬臂梁

AB,用短梁

DG

加固,试分析加固效果解：1.静不定分析单辉祖：材料力学Ⅰ372.加固效果分析（刚度）减少62.5%减少39.9%3.加固效果分析（强度）单辉祖：材料力学Ⅰ38例题

图示杆梁结构,试求杆

BC

的轴力解：梁截面形心的轴向位移一般忽略不计单辉祖：材料力学Ⅰ39例题直径为d的圆截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：两个多余未知力单辉祖：材料力学Ⅰ40例题一单位长度重量为q、EI为常数的细长直梁,放置在水平刚性平台上,在载荷F作用下,部分梁段离开台面,求分离段长度a。

解：在接触段DA与BG,因此,在分离截面A与B处,可见,分离梁段AB可简化为简支梁,且单辉祖：材料力学Ⅰ41例题梁AB、CD与刚性圆柱相连组成系统,在Me作用下,圆柱转动。

已知EI为常数,d=l/2,求圆柱转角q。解：

系统变形与受力如图示包含两未知力,一度静不定

圆柱的平衡方程为

系统的补充方程

单辉祖：材料力学Ⅰ42例题图示结构,AB与CD为铜片,EI为常数,杆BD为刚体,求水平位移。解：

6个约束力,3度静不定

忽略轴力影响,两铜片弯曲变形相同,杆BD水平移动,故考虑杆BD水平平衡,且FSB=FSD=F/2

确定多余力

变形条件为MB=MDFSB=FSD

杆BD水平位移为单辉祖：材料力学Ⅰ43§7

梁的刚度条件与合理设计

梁的刚度条件

梁的合理刚度设计

例题单辉祖：材料力学Ⅰ44

梁的刚度条件最大位移控制指定截面的位移控制例如滑动轴承处单辉祖：材料力学Ⅰ45

梁的合理刚度设计

合理截面形状

合理选材使用较小的截面面积

A，获得较大惯性矩

I

的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是

E

，为提高刚度，宜选用E

较高的材料注意：各种钢材（或各种铝合金）的

E

基本相同单辉祖：材料力学Ⅰ46

合理选取跨度跨度微小改变，将导致挠度显著改变例如

l

缩短

20％，dmax

将减少

48.8%单辉祖：材料力学Ⅰ47

合理安排约束与加载方式q=F/l增加约束，制作成静不定梁单辉祖：材料力学Ⅰ48

例题例

题已知

F

=

35

kN，l

=

4

m，[s

]=

160

MPa，[d

]=l/500，E

=

200

GPa，试选择工字钢型号。解：选№22a第

8

章应力应变状态分析单辉祖编著：材料力学Ⅰ第

8

章应力应变状态分析

单辉祖：材料力学Ⅰ50本章主要研究：

应力状态分析基本理论

应变状态分析基本理论

应力应变一般关系

平面应力状态应力电测

复杂应力状态应变能

复合材料应力应变关系简介

§1

引言

§2

平面应力分析

§3

应力圆

§4

极值应力与主应力

§5

复杂应力状态的最大应力

§6

平面应变分析

§7

广义胡克定律

§8

电测应力与应变花

§9

复杂应力状态应变能

§10

复合材料应力应变关系简介单辉祖：材料力学Ⅰ51§1

引言

实例

应力与应变状态

平面与空间应力状态单辉祖：材料力学Ⅰ52

实例单辉祖：材料力学Ⅰ53微体A

单辉祖：材料力学Ⅰ54

应力与应变状态单辉祖：材料力学Ⅰ55构件内一点处所有微截面的应力总况或集合，称为该点处的应力状态应力状态应变状态构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合,称为该点处的应变状态研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础

平面与空间应力状态单辉祖：材料力学Ⅰ56仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态平面应力状态的一般形式微体各侧面均作用有应力－空间应力状态空间应力状态一般形式§2

平面应力分析

斜截面应力分析

例题单辉祖：材料力学Ⅰ57

斜截面应力分析单辉祖：材料力学Ⅰ58问题：建立sa,

ta

与sx,

tx,sy,

ty

间的关系问题正负符号规定：

方位角

a

－以x轴为始边、者为正

切应力t－以企图使微体沿旋转者为正方位用a

表示；应力为

sa,

ta斜截面：//z

轴；单辉祖：材料力学Ⅰ59斜截面应力公式单辉祖：材料力学Ⅰ60由于tx

与

ty

数值相等，同时上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题

例题单辉祖：材料力学Ⅰ61例题计算截面

m-m

上的应力解：§3

应力圆

应力圆

应力圆的绘制与应用

例题单辉祖：材料力学Ⅰ62

应力圆单辉祖：材料力学Ⅰ63应力圆原理在s-t坐标面内，sa与ta的关系曲线为圆,称为应力圆圆心位于s

轴单辉祖：材料力学Ⅰ64应力圆的绘制结论：所画圆，确为所求应力圆问题

：画相应应力圆作图法：由坐标(sx,tx)与(sy,ty)确定D与E点；以DE为直径画圆单辉祖：材料力学Ⅰ65应力圆求a截面应力同理可证：画相应应力圆D点对应x截面D点转2a得H点，即

a截面证明：单辉祖：材料力学Ⅰ66点、面对应关系

转向相同,转角加倍

互垂截面,对应同一直径两端应力圆上的a点

~

微体中的截面A应力圆上的b点

~

微体中的截面B

例题单辉祖：材料力学Ⅰ67例题利用应力圆求截面

m-m

上的应力解：1.画应力圆2.由应力圆求sm与tmA点对应截面

x,B点对应截面

y由A点（截面

x

）顺时针转60o至D点（截面

m-m）§4

极值应力与主应力

平面应力状态的极值应力

主平面与主应力

主应力迹线

例题单辉祖：材料力学Ⅰ68

平面应力状态的极值应力单辉祖：材料力学Ⅰ69极值应力大小单辉祖：材料力学Ⅰ70极值应力方位

极值正应力方位：smax与smin所在截面正交t极值与s极值所在截面,成

45°

夹角上式有两个解,且相差90°应力圆:D到A,-2a0：微体:x截面到smax截面,-a0

极值切应力方位：

主平面与主应力单辉祖：材料力学Ⅰ71主平面－切应力为零的截面微体不受力表面切应力为零,也是主平面主应力－主平面上的正应力主应力符号与规定－主平面微体－相邻主平面相互垂直,构成一正六面形微体（按代数值）s1s2s3单辉祖：材料力学Ⅰ72应力状态分类

单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态

二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态

三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称复杂应力状态

主应力迹线单辉祖：材料力学Ⅰ73－

主拉应力迹线－主压应力迹线钢筋主要沿主拉应力迹线排列

例题单辉祖：材料力学Ⅰ74解：1.主应力大小与方位角

例题

图示应力状态，试确定主应力的大小与方位单辉祖：材料力学Ⅰ752.主应力方位判断

由坐标（-70,50）与（0,-50）确定D与E点sA=s1，

sB=s3

以DE为直径画圆

D点对应x截面，A点对应主平面s1a01对应主应力s1方位§5

复杂应力状态的最大应力

三向应力圆

最大应力

例题单辉祖：材料力学Ⅰ76

三向应力圆单辉祖：材料力学Ⅰ77与任一截面相对应的点，位于应力圆上，或由应力圆所构成的阴影区域内

最大应力单辉祖：材料力学Ⅰ78最大切应力位于与

s1及

s3均成45

的截面上

例题单辉祖：材料力学Ⅰ79例题

已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=－40MPa，求主应力、最大正应力与最大切应力解：sz

z平面为主平面,对应E点

由(sx,tx)与(sy,ty)

由E,D与C,画三向应力圆画应力圆,得D与C单辉祖：材料力学Ⅰ80

例题

图示纯剪切状态，试求最大正应力与最大切应力,

并对圆轴扭转失效进行分析。主平面微体位于45°方位解：1.纯剪切应力分析由O,A,B三点,画三向应力圆单辉祖：材料力学Ⅰ812.圆轴扭转失效分析滑移与剪断发生在tmax的作用面断裂发生在smax

作用面§6

平面应变分析

平面应变状态

任意方位的应变

应变圆

最大应变与主应变单辉祖：材料力学Ⅰ82

平面应变状态单辉祖：材料力学Ⅰ83构件内一点处的变形均发生在同一平面内时的应变状态，称为平面应变状态

任意方位的应变单辉祖：材料力学Ⅰ84要求：已知应变ex,ey与gxy,求a方位的应变ea与ga

使左下直角增大之

g为正规定：

方位角

a

以

x轴为始边,为正方法：先分析ex,ey与gxy分别引起的变形,然后相叠加问题单辉祖：材料力学Ⅰ85应变与角位移分析单辉祖：材料力学Ⅰ86应变ea与ga公式单辉祖：材料力学Ⅰ87上述分析建立在几何关系基础上,所得各公式适用于任何小变形问题,而与材料的力学特性无关。结论

一点处任意方位应变：

一点处互垂方位的应变：

应变圆单辉祖：材料力学Ⅰ88

最大应变与主应变单辉祖：材料力学Ⅰ89切应变为零方位的正应变－主应变主应变位于互垂方位主应变表示：e1

e2

e3§7

广义胡克定律

平面应力胡克定律

三向应力胡克定律

主应力与主应变的关系

例题单辉祖：材料力学Ⅰ90

平面应力胡克定律单辉祖：材料力学Ⅰ91适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

三向应力胡克定律单辉祖：材料力学Ⅰ92平面与三向应力胡克定律，统称为广义胡克定律

主应力与主应变的关系单辉祖：材料力学Ⅰ93

当切应力为零时,相应切应变也为零,因此,

最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位

最大拉应变发生在最大拉应力方位如果

s10，且因

m<1/2，则主应变与主应力的方位重合

例题单辉祖：材料力学Ⅰ94例题已知

E

=

70

GPa,m=

0.33,求

e45。解：1.应力分析2.e45。计算单辉祖：材料力学Ⅰ95例题

对于各向同性材料，试证明：证：1.利用几何关系求e45。2.利用广义胡克定律求e45。3.比较单辉祖：材料力学Ⅰ96例题边长

a

=10

mm正方形钢块,置槽形刚体内,

m

=