相似三角形判定定理的证明课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

相似三角形判定定理的证明

认识相似图形相似多边形概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。其中∠A与∠A1,∠B与∠B1,∠C与∠C1,∠D与∠D1,∠E与∠E1,∠F与∠F1对应相等,称为对应角;AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1,DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等,

称为对应边.A1B1C1D1E1F1ABCDEF你能找出对应角和对应边吗？

题型1判断相似图形例1观察下列每组图形，相似图形是（

）答案C

解析正方形每个角都是90°，每条边都相等，大小不一样的两个正方形各边之比相等，对应角相等，满足相似图形的定义，故C选项正确。

题型1根据相似的性质求解例1已知四边形ABCD～四边形A'B'C'D'，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A'C'的比为（

）

相似三角形判定①两角对应相等，两个三角形相似.∵∠B=∠E，∠C=∠F∴△ABC∽△DEF几何语言：②两组对应边成比例且夹角相等，两个三角形相似.几何语言：∵∴△ABC∽△A′B′C′③三边成比例，两个三角形相似.几何语言：∴△ABC∽△A′B′C′∵

证明因为四边形ABCD是矩形所以∠

A=90°，AD平行BC

所以∠

AEB=∠

FBC

因为CF⊥

BE

所以∠

CFB=90°所以∠

A=∠

CFB

在△

ABE和△

FCB中

∠

A=∠

CFB

∠

AEB=∠

FBC

所以△ABE～△FCB

题型2两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似例2如图，正方形ABCD的边长为4，BF=1，E为AB的中点。求证：△AED～△BFE。证明因为四边形ABCD是正方形所以∠

A=∠

B=90°，AB=AD=4

因为E为AB中点所以AE=BE=2

已知BF=1AE:BF=2:1AD:BE=4:2=2:1

所以AE:BF=AD:BE

又∠

A=∠

B

所以△

AED～△

BFE

题型3三边对应成比例的两个三角形相似例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC上，取AB，BD的中点E，F，连接CE，EF，FC，求证：△CEF～△BAD。证明在Rt△

ABC中，∠

ACB=90度，E是AB中点所以CE=1/2AB

因为E是AB中点，F是BD中点所以EF是△

ABD中位线所以EF=1/2AD

在Rt△

BCD中，∠

BCD=90度，F是BD中点所以CF=1/2BD

可得CE/AB=EF/AD=CF/BD

所以△

CEF三边与△

BAD三边对应成比例所以△

CEF～△

BAD

题型4相似三角形的判定例4(成都市武侯区期中)如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③AC/CD=AB/BC；④AC²=AD・AB，其中能判定△ABC～△ACD的结论有（

）个。C

相似三角形的性质

题型1对应角相等求角度例1已知△ABC～△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°，则∠AED=_______，∠ADE=_______，DE=________。40°

题型2面积比的应用例2(1)如果两个相似多边形的相似比为1:2，那么它们的面积比为________。

05|相似三角形性质与判定综合

题型2相似综合应用例2如图，在等边△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA上的点．

(1)若∠DEF=∠A，BD=6，

①求证：△DBE∽△ECF；②若BE・EC=24，求CF的长．

(2)若A关于DF对称后的点落在BC上的E处，BE=2，EC=3，求DE:EF的值．

位似的应用

题型1动点问题与相似三角形例1在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，速度是每秒2个单位；动点E从点A出发，沿线段AC运动，每秒1个单位，两点同时出发，运动多长时间，△ADE与△ABC相似？

题型2利用位似的性质求解例2(江苏省泰州市月考)如图，直线y=1/3x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1:2，则点B'的坐标为___________.

题型3利用位似的性质求解例3(成都市锦江区期末)如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB=3OB'，则△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比是()

课堂练习

练1如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为________.

练2(1)如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE∥BC，且S△ADE:S四边形DBCB=1:3，那么AD/AB等于________.(2)如图，∠ACD=∠ABC=90°,∠ADC=∠ACB,AB=5,AC=6,则AD的长为__________.

练3如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，已知OD:OA=1:2，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为________.

练4如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C.(1)求证：△BDE∽△CAD；

(2)若CD=2，求BE的长.

练5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动。当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动。设点P、Q运动时间为t(s).当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？

练6有相似的两个三角形，已知其中一个三角形的三边长是4、6、8，另一个三角形最短的一边长是2，则另一个三角形的周长是(