五年高考2024-2025高考数学真题专题归纳专题16概率与统计综合含解析理

专题16概率与统计综合

【2024年】

1.（2024•新课标I）甲、乙,丙三位同学进行羽毛球竞赛，约定赛制如下：累计负两场者

被淘汰；竞赛前抽签确定首先竞赛的两人，另一人轮空；每场竞赛的胜者与轮空者进行下一

场竞赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人接着竞赛，直

至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，竞赛结束.经抽签，甲、乙首先竞赛，内轮空.设每场

竞赛双方获胜的概率都为

（1）求甲连胜四场的概率：

（2）求须要进行第五场竞赛的概率：

（3）求丙最终获胜的概率.

137

【答案】（1）—；（2）-；（3）—.

16416

【解析】

则（）1

（1）记事务M甲连胜四场PM=*

16

（2）记事务A为甲输，事务B为乙输，事务C为丙输,

则四局内结束竞赛的概率为

P=P（ABAB）+尸（ACAC）+BCBC）+P（BABA）=4x-

i24

3

所以，须要进行第五场竞赛的概率为P=l-P'=：：

（3）记事务A为甲输，事务B为乙输，事务C为丙输，

记事务M甲赢，记事务N丙嬴，

则甲赢的基本领件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB.BCABC.BCBAC,

所以，甲嬴的概率为+7x（g）=卷.

由对称性可知，乙嬴的概率和甲赢的概率相等,

97

所以内赢的概率为P(N)=l-2x——

3216

2.(2024•新课标II)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增

加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用

简洁随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(%,%)(i=1,2,…,20),其

中乂和月分别表示第，个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计

20202020

算得2天=60,£>；-=1200,£(X,.-X)2=80,Z(£-》)2=9OOO,

沁121r-lr=l

20

Z(七一天)()，,•一刃=800.

r=l

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生

动物数量的平均数乘以地块数)：

(2)求样本(第，匕)(用，2,…，20)的相关系数(精确到0.01)：

(3)依据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地

区这种野生动物数量更精确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数尸下月------------------72=1.414.

【答案】(1)12000；(2)0.94；(3)详见解析

【解析】

1201

(1)样区野生动物平均数为茄»=布乂1200=60,

20i=i2。

地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为2(X)x60=12000

(2)样本(玉,其)的相关系数为

20

Y^-x^y-y)

8002>/2

=—«0.94

|2020

£(^-x)2£(>;-y)2,80x90()03

f-11-1

(3)

由于各地块间植物覆盖面枳差异较大，为提高样本数据的代表性，应采纳分层抽样

先将植物覆盖面积按优中差分成三层，

在各层内按比例抽取样本，

在每层内用简洁随机抽样法抽取样本即可.

3.（2024•新课标III）某学生爱好小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天

到某公园熬炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

熬炼人次

[0,200](200,400](400,600]

空气质量等级

1（优）21625

2(良)51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;

（2）求一天中到该公园熬炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表）：

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级

为3或4,则称这天“空气质量不好”.依据所给数据，完成下面的2X2列联表，并依据

列联表，推断是否有95舟的把握认为一天中到该公园熬炼的人次与该市当天的空气质量有

关？

人次W400人次》400

空气质量好

空气质量不好

_n(ad-bc^

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概望分别为0.43、0.27、0.21、

人支持方案一的概率:

（III）将该校学生支持方案的概率估计值记为外，假设该校一年级有500名男生和300名

女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为P1,试比较P。与P1的大

小.（结论不要求证明）

【答案】（I）该校男生支持方案一的概率为；，该校女生支持方案一的概率为:：

34

13

（II）（HI）Pi<Po

36

【解析】

（I）该校男生支持方案一的概率为“产L!，

200+4003

3003

该校女生支持方案一的概率为300+100=4；

（II）3人中恰有2人支持方案一分两种状况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一

个男生支持方案一，一个女生支持方案一，

1111Q13

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：（21-5）+°；印”§）j4；

（HI）Pi<1%

5.（2024•江苏卷）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、

乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为

%，,恰有2个黑球的概率为以“恰有1个黑球的概率为qn.

（1）求〃।•0和R•6；

（2）求2自+心与2Pg+加的递推关系式和尤的数学期望£'（%）（用〃表示）.

【答案】⑴Pi=；q=:；〃2=一％=捺⑵2〃“+夕”+/_］）+：

JJ乙/乙/JJ

【解析】

1x3I2x32

⑴Pi

3x3313^3"3,

1x31x211227

〃2=P1x=+qx-X—+—X—=

3x33x3333927

2x31x14-2x2八222516

4-0=—X—+—X—=

3x3333927

1x212

（2）p„=pw_,x

2x3lxl+2x2八、3x212

q”=Pn-\xT—r+%_】x———+(1--q,,_)x—=--q“_i+-，

3x33x33x3i93

212

因此2Pti+</„=-P〃T+§/T+§,

I21

从而2p”+%=](2p,-+q“-1=§(2p,i+g,i-1)，

即2/乙+/—1=(2〃|—1)击2〃,,+%=1+"•

乂X”的分布列为

X.012

Pq”Pn

故E（X“）=2〃.+%=l+"-

6.（2024•山东卷）为加强环境爱护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调

研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和坟打浓度（单位：陷的'），得下表：

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35J32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估计事务“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150”的概率;

（2）依据所给数据，完成下面的2x2列联表：

so2

[0.150](150.475]

PM2.5

10,75]

(75,115]

(3)依据(2)中的列联表，推断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO,

浓度有关？

附：心一姐出——

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)0.64；(2)答案见解析：(3)有.

【解析】

(1)由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO?浓度不超过150

的天数有32+6+18+8=64大，

所以该市一天中，空气中的尸M2.5浓度不超过75,且SO2浓麦不超过15()的概率为

——=0.64；

100

(2)由所给数据，可得2x2列联表为:

SO,

[0,150](150,475]合计

PM25

[0,75]e41680

(75,115]101020

合计7426100

(3)依据2x2列联表中的数据可得

“2n(ad-bc)2100x(64xl0-16xl0)23600

K===1Q7.4844>6.635,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因为依据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中/必2.5浓度与SO2浓度有关.

【2024年】

1.【2024年高考全国III卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下

试验：将200只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B

组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用

某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.依据试验数据分别得到如下直方图：

记。为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到尸（G的估计值

为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a,。的值：

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）.

【答案】（1）才0.35,ZFO.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05,

6.00.

【解析】（1）由已知得0.70=/0.20+0.15,故所0.35.

b=l-0.05-0.15-0.70=0.1C.

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.

2.【2024年高考全国H卷理教】11分制乒乓球竞赛，每演一球得1分，当某局打成10:10

平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局竞赛结束.甲、乙两位同学进行单打

竞赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互

独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了¥个球咳局竞赛结束.

（1）求尸（后2）：

（2）求事务“44且甲获胜”的概率.

【答案】（1）0.5：（2）0.1.

【解析】（1）42就是10：10平后，两人又打了2个球该局竞赛结束，

则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分.

因此〃(42)=0.5X0.4+(1-0.5)X(1-0.4)=0.5.

(2)乒4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局竞赛结束，

且这4个球的得分状况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分.

因此所求概率为［0.5X(1-C.4)+(1-0.5)X0.41X0.5X0.4=0.1.

3.【2024年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均

2

为假定甲、乙两位同学到校状况互不影响，「L任一同学每天到校状况相互独立.

(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列

和数学期望；

(2)设M为事务”上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30

之前到校的天数恰好多2”,求事务”发生的概率.

20

【答案】(1)分布列见解析，£(X)=2；(2)——.

243

【解析】(1)因为甲同学上学期间的三大中到校状况相互独立，且每大7：30之前到校的概

2791

率均为:，故*~仇3弓)，从而尸(X=L)=C：(孑(：产j：=oj2,3.

3333

所以，随机变量X的分布列为

X0123

1248

p

279927

?

随机变量X的数学期望E(X)=3xj=2.

(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为V,

则丫~倒3,之),且加=｛*=3,丫=1｝j｛x=2,y=。｝.

3

由题意知事务｛X=3,y=i｝与｛x=2,y=0｝互斥，

且事务｛x=3｝与｛y=1｝,事务｛x=2｝与｛y=()｝均相互独立,

从而由(1)知p(M)=?(｛x=3,y=i｝j｛x=2,y=o｝)

=p(x=3,y=i)+p(x=2,y=o)

=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=o)

824120

-__X__I__*___—___

-279927~243

4.【2024年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,

移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的运用

状况，从全校学生中随机抽取了100人，发觉样本中A,B两种支付方式都不运用的有5人,

样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下:

(0,1000](1000,2000]大于2000

支付方式

仅运用A18人9人3人

仅运用B10人14人1人

(1)从全校学生中随机抽取I人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率;

(2)从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人，以*表示这2人中上个月支付

金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变.现从样本仅运用A的学生中，随机

抽杳3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元.依据抽查结果，能否认为样本仅运用

A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由.

【答案】(1)0.4；(2)分布列见解析，夕(8=1；(3)见解析.

【解析】(I)由题意知，样本中仅运用A的学生有18+9+3=30人，仅运用B的学生有10+14+1=25

人,A,B两种支付方式都不运用的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都运用的学生有100T0~25T=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A,B两种支付方式都运用的概率估计为

$0.4.

100

(2)1的全部可能值为0,1,2.

记事务彷”从样本仅运用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”,

事务妫“从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.

9+314+1

由题设知，事务C,而互独立，且2。=三=0.4,P(D)=——=0.6.

所以尸(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

P(X=\)=P(CD\]CD)

=P(C)P(D)+P(C)P(D)

=0.4x(l-0.6)+(l-0.4)x0.6

=0.52,

p(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.

所以加勺分布列为

X012

P0.240.520.24

故/的数学期望£（X）=0x0.24+1x0.52+2x0.24=1.

（3）记事务£为“从样本仅运用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000

元”.

假设样本仅运用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有改变，

则由上个月的样本数据得P（E）=不「二.

1«却4U0U

答案示例1:可以认为有改变.

理由如下：

P（E）比较小，概率比较小的事务一般不简洁发生.

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了改变，所以可以认为行改

变.

答案示例2：无法确定有没有改变.理由如下：

事务£是随机事务，P（E）比较小，一般不简洁发生，

但还是有可能发生的，所以无法确定有没有改变.

5.【2024年高考全国I卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种

新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试

验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再支

配下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并

认为治危只数多的药更有效.为了便利描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的口鼠

治愈且施以乙药的口鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以

甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、

乙两种药的治愈率分别记为c和8,一轮试验中甲药的得分记为工

(1)求X的分布列：

(2)若甲药、乙药在试验起先时都给予4分，/<0=0,1,,8)表示“甲药的累计得分为，时,

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则〃o=O,

化=即“+加(i=l,2,,7),其中。=P(X=-1),b=P(X=0),

c=P(X=l).假设a=0.5,尸=0.8.

(i)证明：｛〃2|—=,7)为等比数列：

(ii)求心，并依据P&的值说明这种试验方案的合理性.

【答案】(1)分布列见解析：(2)(i)证明见解析，(ii)p4=焉，说明见解析.

【解析】乃的全部可能取值为

P(X=-!)=(!-«)/?,

p(X=0)=邮+(1—，

尸(X=l)=a(l_0,

所以X的分布列为

X-101

P(1-a)£加+(1-0(1-£)a(l-Z?)

(2)(i)由(1)得a=0.4/=0.5,c=0.1.

因此Pi=0.4/?,+0.5化+0.1〃沁］，故0.1(/?,+1-/<.)=0.4(2-)，

即2+1-P=4(化一〃T).

又因为PI-%=〃产0,

所以｛—化｝a=0,1，2,…,7)为公比为4,首项为Pi的等比数列•

(ii)由(i)可得氏=〃「〃7+〃7-〃6+…+P/〃o+P。

=(外-〃7)+(〃7-〃6)+—十(〃1一〃0)

48-1

3

由于〃8=1，故四二不二丁

44-1j

所以〃4=一〃3)+(〃3-P?)+(〃2一8)+(P|一"0)=—^―P\=—•

Ps表示最终认为甲药更有效的概率，

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，

认为甲药更有效的概率为%=短丈0,0039,

此时得出错误结论的概率特别小，说明这种试验方案合理..

【2024年】

1.(2024年天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采

纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一

步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量1的分布列与数学期望；

(ii)设力为事务”抽取的3人中，既有睡眠足够的员工，也有睡眠不足的员工”，求事务

力发生的概率.

【答案】(I)从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(H)(/)答案

见解析：3)

7

【解析】(I)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,

由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人，

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

(II)(/)随机变量4的全部可能取值为0，1,2,3.

(?£・"卜

=———-(k=Q,1,2,3).

c；

所以，随机变量才的分布列为

才0123

112184

P

35353535

随机变量了的数学期里E(X)=0x—+1x—+2x—+3XA=1?.

353535357

(77)设事务月为“抽取的3人中，唾眠足够的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”；

事务C为“抽取的3人中，睡眠足够的员工有2人，唾眠不足的员工有1人”，

则上以JC,且〃与C互斥，

由(7)知，〃(⑸=〃(六2),(六1),

故P(A)=P(BUO=Pg)+Pg)£.

7

所以，事务力发生的概率为2

7

2.(2024年北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.20.1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设全部电影是否获得

好评相互独立.

(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(II)从第四类电影和第干类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率：

(HI)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“&=1”表

示第A类电影得到人们喜爱，”《=0”表示第A类电影没有得到人们喜爱(拄1,2,3,4,

5,6).写出方差D&,DJ,DJ,DJ,D[DQ的大小关系.

【答案】(1)概率为0.025

(2)概率估计为0.35

(3)D&>DJ〉D&2=DJ〉D&3〉D%

【解析】(I)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200X0.25=50.

故所求概率为卫=0.025.

2000

(II)设事务力为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，

事务6为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.

故所求概率为〃(A§+XB)=p(AB)+P(AB)

二产(力)(1・P(6))+(1・2(4))P(^).

由题意知:P(A')估计为0.25,P(.B)估计为0.2.

故所求概率估计为0.25X0.8+0.75X0.2=0.35.

(HI)D41>D^>D^=D45>D43>D^).

3.(2024年全国I卷理数)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付

用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中

任取20件作检验，再依据检验结果确定是否对余下的全部产品作检验，设每件产品为不合

格品的概率都为p(0<p〈l)，且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点P().

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的Po作为p的值.已

知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付

25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的全部产品作检

验？

【答案】(l)P0=0.1.

(2)(i)490.

(ii)应当对余下的产品作检验.

【解析】

(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=c£?(]*)13因此

f(P)=C就2P(1-p)18-18P2(1•p)17]=2C^p(l-p)17(l-10p).

令f'(p)=O，得p=0.1.当pW(OJl)时，f'(p)>0；当pW(0.1,l)时，f'(p)v。

所以f(p)的最大值点为Po=OL

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y〜B(180,0.1),

X=20x2+25Y.即X=40+25Y.

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ii）假如对余下的产品作检验，则这一箱产品所须要的检验费为400元.由于EX>400,

故应当对余下的产品作检验.

4.（2024年全国川卷理数）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项

生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机

分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式.依

据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

第种生产方式第二种生产方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

（1）依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求4（）名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和

不超过m的丁人数填入下面的列联我:

超过m不超过m

第一种生产方式

其次种生产方式

（3）依据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n(ad-bc)2

(a+b\c+dXa+c)(b+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）其次种生产方式的效率更高.理由见解析

（2）80

（3）能

【解析】（1）其次种生产方式的效率更高.

理由如下：

（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至

少80分钟，用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.

因此其次种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分

钟，用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此其次种生产

方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟：

用其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此其次种生产方式的

效率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，

关于茎8大致呈对称分布：用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的

最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区

间相同，故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生

产任务所需的时间更少，因此其次种生产方式的效率更高.

以上给出了4种理由，考生答出其中随意一种或其他合理理由为可得分.

79+81

(2)由茎叶图知m80.

列联表如下：

超过m不超过m

第一种生产方式155

其次种生产方式515

(3)由于人虹3包

10>6635»所以有99%的把握认为两种生产方式的效率

20*20-20*20

有差异.

5.(2024年全国H卷理数)下图是某地区2000年至2024年讣境基础设施投资额y(单位:

亿元)的折纹图.

为了预料该地区2024年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回来模

型.依据2000年至2024年的数据（时间变量t的值依次为1,2,建立模型①:

寸=-30.4+13$：依据2010年至2024年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型

②：y=99+17.5t.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2024年的环境基础设施笈资额的预料值：

（2）你认为用哪个模型得到的预料值更牢靠？并说明理由.

【答案】（1）利用模型①预料值为型6.1,利用模型②预料值为256.5,（2）利用模型②得

到的预料值更牢靠.

【解析】

（1）利用模型①，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为

y=-30.4+13.5X19=226.1（亿元）.

利用模型②，该地区2024年的环境基础设施投资额的预料值为

y=99+17.5X9=256.5（亿元）.

（2）利用模型②得到的预料值更牢靠.

理由如下：

（i）从折线图可以看出，20C0年至2024年的数据对应的点没有随机散布在直线

产-30.4+13.52上下，这说明利用2000年至2024年的数据建立的线性模型①不能很好地

描述环境基础设施投资额的改变趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增

加，2010年至2024年的数据对应的点位于一条直线的旁边，这说明从2010年起先环境基

础设施投资额的改变规律呈线性增长趋势，利用2010年至2024年的数据建立的线性模型

y99+17.5£可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的改变趋势，因此利用模型

②得到的预料值更牢靠.

(ii)从计算结果看，相对于2024年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预

料值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预料值的增幅比较合理，说明利用模

型②得到的预料值更牢靠.

以上给出了2种理由，考生答出其中随意一种或其他合理理由为可得分.

【2024年】

1.12024山东.，理18](本小题满分12分)在心理学探讨中，常采纳对比试验的方法评价

不同心理示意对人的影响，详细方法如下：将参与试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲

种心理示意，另一组接受乙种心理示意，通过对比这两组志愿者接受心理示意后的结果来评

价两种心理示意的作用，现有6名男志愿者4,力力4,4,4,4和4名女志愿者笈，艮,

笈，区，从中随机抽取5人接受甲种心理示意，另5人接受乙种心理示意.

(I)求接受甲种心理示意的志愿者中包含4但不包含用的频率。

(II)用/表示接受乙种心珅示意的女忐愿者人数.求尸的分布列与数学期望长匕

【答案】(1)』.(IDX的分布列为

18

X01234

151()51

p

422?2?2?42

X的数学期望是£X=2.

【解析】(I)记接受甲种心理示意的志愿者中包含A但不包含用的事务为11,则

尸网哈5

CIO18

(II)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4,则

唳=。)啥噎

1()

P(X=2)=兽卷,

C1O

P(X=3)二咎哈

eio

4

P（X=4）=*r^c」1

）Go42

因此X的分布列为

X01234

151051

P

4221212142

X的数学期望是

EX=0xP（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）+3xP（X=3）+4xP（X=4）

八

Ox—1+1lx——5+c2xl——0+3.x——5+4,x—1=c2.

4221212142

2.12024课标1,理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生

产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).依据长期生产阅历，可以认为这

条生产线正常状态下生产的零件的尺寸听从正态分布N(^a2).

(1)假。设生产状态正常，记了表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3b)之

外的零件数，求P(X21)及X的数学期望;

(2)一天内抽检零件中，假如出现了尺寸在。/-36〃+3。)之外的零件，就认为这条生

产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性：

(ii)下面是检验员在，天内抽取的16个零件的尺寸：

10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

10.210.110.010.010.0

9.919.229.95

63245

116fl16H16

经计算得亍=。、>，=9-97,s=l—X（^-^）2=J-&-l6^2>2^0.212,其

1。7V*r-1V10M

中工为抽取的第i个零件的尺寸，i=l,2,…,16.用样本平均数天作为〃的估计值用

样本标准差S作为。的估计值3,利用估计值推断是否需对当天的生产过程进行检查？剔

除(2-3抗。+33)之外的数据，用剩下的数据估计〃和。(精确到0.01).

附：若随机变量Z听从正态分布N(小/),则尸(〃—3bvZ<〃+3b)=0.9974,

0.997416=0.9592，j0.008x0.09.

【答案】(1)0.0416.(2)(i)见解析;(ii)0.09.

【解析】

(1)抽取的一个零件的尺寸在(〃一3b,〃+3b)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在

("-3b,〃+3b)之外的概率为0.0026,故0.0026).因此

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.9974=0.0408.

X的数学期望为EX=16x00026=0.0416.

(2)(i)假如生产状态正常，一个零件尺寸在(〃-3G〃+3O)之外的概率只有0.0026,

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(〃一3b,〃+3cr)之外的零件的概率只有0.0408,

发生的概率很小.因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可

能出现了异样状况，需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由天=9.97,s、0.212,得〃的估计值为。=9.97,c的估计值为万=0.212,由

样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(，-笫,立+35)之外，因此需对当天的生产过程进

行检查.

剔除(〃-33,A+33)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为

-(16x9.97-9.22)=10.02,因此〃的估计值为1().02.

15

16

WX=16x0.2122+16x9.97、1591.134,剔除(衣一36,2+36)之外的数据9.22,剩

/=|

下数据的样本方差为A(1591.134—9.22?-15x10.022卜0.008,

因此。的估计值为j0.008*0.09.

3.12024课标II,理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收

获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率分布直方图如

T：

(l)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事务：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新

养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产最箱产量仁50kg

旧养殖法

新养殖法

(3)依据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

2

附：P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

片二”(ad*)?

[a+b)(c+d){a+c)(b+d)

【答案】(1)0.4092：(2)见解析；(3)52.35(kg).

【解析】(1)记B表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事务“新养殖法的

箱产量