特色题型专练10 三大运动-翻折（解析版）

中考特色题型专练之三大运动——翻折

几何篇

题型一、与三角形结合

1.如图，将ABC沿DE、比翻折，顶点A,B均落在点0处，且E4与£4重合于线段EO,若

NCQO+NC？0=108。，则/C的度数为（）

A.32°B.36°C.40°D.42°

【答案】B

【分析】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不

变，位置变化，对应边和对应角相等.

连接CO并延长，设=则NDO/=NA+NB=180。-a,依据三角形外角性质，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接CO并延长至G,

设乙4c3=。，则NA+N8=180。-。，

由折叠可得，/DOE=ZA,NFOE=NB

/.NDOF=ZA+ZB=180°-a,

NOOG是△COD的外角，

NDOG=ZDCO+/CDO,、

同理可得，/FOG=ZFCO+ZCro,,

/.NDOF=ZACB+ZCDO+乙CFO,

\^CDO+^CFO=\^°

180°-a=a+108°,,

解得a=36。，

/.ZACB=36°,

故选：B.

2.如图，将ABC沿跖翻折交AC于点D,又将△BCO沿碗翻折，点C落在庭上的。'处，其中Z/V=18。,

zc™=68°,则原三角形中/C的度数为（）

A*

A.87。B.75°C.85°D.70°

【答案】A

【分析】此题考查了翻折变换的性质，三角形内角和定理，一元一次方程，正确掌握图形翻折的性质是解

题的关键.设NCBO=x0,由翻折得？ABE?CBD*，根据三角形内角和得到

180-l8-3x=180-68-x,求出x=25,再利用三角形内角和求出/C的度数.

【详解】解：设NC加＞一.小，

由翻折得？？人叨E2CBD”沃，

•.Z4=Z/V=18°,?CDBRdDB68?,

.J80-l8-3x=180-68-x,

解得x=25,

r.ZABE=ZABE=NCBD=25°,

:.ZABC=3x=15°,

.♦.NC=180°-NA-N48c=87°.

故选：A

4

3.如图，在平面直角坐标系xO.y中，直线产-；x+4与X轴、y轴分别交于点A、B,M是y轴上的动点

（不与点&重合），若将八A8W沿直线/W翻折，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为

【分析】本题上要考查了一次函数综合应用、勾股定理、折叠的性质等知识，解题美键是分两种情况讨论,

避免遗漏.首先确定点A8坐标，利用勾股定理解得然后分点B'在“轴负半轴上和

点B'住大轴正半轴I:两种情况讨论，结合折叠的性质和勾股定理求解即可.

4

【详解】解:对于直线)，=一§1+4,

令工=(),则y=4,即仇(),4),

令7=0,则大=3,即A(3,0),

0A=3,OB=4,

•・•ZAOZ?=90°,

，A8=ylOA2+OB2=5«

分两种情况讨论：

①点8'在x轴负半轴上时，如下图,

由折售可知，AB,=AB=5,BM=BM、

：.OB,=AB,-OA=2,

设。M=x,则=—x,

在RtAOB'M中,可有OB,2+OM2=B'M2,

即22+/=(4-幻2,解得x=1,

3

.・.OM=—，

2

3

②点8,在x轴正半轴上时，如下图,

BM=HM,

：.OB,=AB'+OA=S,

设OM=y,则8M="M=4+y,

在RtAOB'A/中，可有OB'2+OM2=B'M2,

即8?+*2=(4+x)2,解得十=6,

...OM-6，

・•・M(0,-6).

3

综上所述，点M的坐标为为(0,宗或9-6).

3

故答案为：(0,5)或(0,-6).

4.如图，在.48C中，已知AC=10,fiC=7x/2,。为8c边的中点，把CD4沿D4翻折，点C落在C处,

4

当tan/CAC'=§时，BC的长为

【答案】30

4

【分析】本题考查解直角三角形，翻折问题，如图，连接CC,过点C'作C〃_LAC于〃，±tanZCAC=-

可知AC:C77:A"=5:4:3,由翻折可知，AC'=AC=1。，CD=Ct>,进而可得C'H=8,CC'=46,由。为

3C的中点，可知C£)=C7)=8。，证得NBCT=N£)CC+N”*=9(尸，再由勾股定理即可求解.添加辅助线

构造直角三角形是解决问题得关键.

【详解】解：如图，连接CC',过点C'作CHJLAC于〃,

c

B

CHA

CH4

VZA/7C=90°,tanZCAC=——=-,CH2+AH2=0^,

AH3

/.AC:CHtAH=5:4:3,

由糊折可知，AC'=AC=10,CD=C^D,

设A，=3Z，CH=4k,AC=AC=5k=\0,

：・k=2,

则C〃=AC-M=2A=4,CH=4k=8,

由勾股定理可得：CC'=xlCH、CH?=4石，

•・・。为8。的中点，则6=口。，

/.CD=CD=BD，

：./DCC=/DCC,NDBC=NDCB,

又•：ADCC+ADCC+ZDBC+Z.DCB=180°,贝ljNDCC+ZDC'0=90°,

ABCC=Z.DCC+NDCB=90°,

:.BC=SJBC2-CC2=#可_(4灼2=3x/2,

故答案为：3后.

5.在RlZ\A8C中，A8=4C,点。为CB延长线上任一点，连接AO.

(1)如图1,若4。=曲，BD=2,求线段3C的长；

⑵如图2,将线段AD绕着点、A逆时针旋转90。得到线段AE,连接BE,CE.点、F为HE的中点，连接AF.求

证：DC=2AF：

(3)在(2)的条件下，设点K为直线CE上的点，AE交BC于点P.点。在C8延长线上运动的过程中，当

/W_LZ?K时，将..A8E沿直线AE翻折到..A3E所在平面内得到，ANE,同时:恪△尸CK沿直线，K翻折到

△PCK所在平面内得到PKM.在MN取得最大值时，请直接写出工7的值.

【答案】（1）6；

（2）证明见解析:

【分析】（1）根据旋转的性质得到江△人CE,证明VAQE是等腰直角三角形，求出£>£,CE的长度，

在RWDCE中运用勾股定理得到从而求出BC；

（2）取5c的中点G,连接AG,GF,DE,证明4A及注ZVICE,得到4O=CE,证明点4G、尸三点

共线，再证明G/=gcE,AG=^BC,即可证明结论；

（3）由题可知，点”在以点P为圆心，PC的长度为半径的园上运动，得点P在线段上时，MN取得

最大值，证明..AGPsEb,设AG=x,则3G=CG=x,AB=gx，BC=CE=2x,根据相似三角形的

性质表示GF,PC,MN,DC,根据锐角二角函数，表示。〃，BN,即可求解.

【详解】（1）解：如图，将△ABD绕点A逆时针旋转90。，使得/W与AC重合，得到△ACE，连接OE,

A

,/48C是等腰直角三角形，

，ZABC=ZACB=45°,

,ZA^D=180°-Z4BC=135°,

由旋转得△AR格/XACE,N44石=90。，

AZABD=Z4CE=135°,AD=AE=>/34,BD=CE=2,

••ND4E=90°,AD=AE,

・•・VAOE是等腰直角三角形，

:.DE=\IAD2+AE2=2>/T7»

VZAC^=135°,ZACB=45°,

：./DCE=90°,

在RlV/X石中,

,:DE=2后，CE=2,

:.CD7DR-CE?=8'

・•・BC=CD-BD=6；

(2)证明：连接OE,

由线段AO绕着点A逆时针旋转90。得到线段得NQAE=90。，AD=AE^

•/£DAH=NH4C=90v,

ZDA3=NEAC,

VAD=AE,AB=AC,

・•.ABgACE(SAS),

・•・BD=CE,

取6c的中点G,连接AG,GF,

•・・A3=AC,点G是AC中点，

AAG±BC,

•・•点G,F是BC,BE中点,

・••G/；是，BCE的中位线，

GF//CE,GF=-CE,

2

":CE1BC,

AGF±BC,

*/AG1BC,

・••点A、G、尸三点共线,

ABC是等腰直角三角形，

AAG=-BC,

2

:.AF=AG+GF=-BC+-CE=-BC+-BD=-CD,

22222

：.CD=2AF；

A

(3)解：由题可知，点用在以点尸为圆心，PC的长度为半径的圆上运动,

得点尸在线段A7N上时，取得最大值，

•.•么雁=90°,NA6O45。，

/.ZCBE=45°,

/BCE=90。,

:.8CE是等腰直角三角形，

设AG=x,则BG=CG=x,AB=6X，BC=CE=2X,

•・,AG//CE,

A..AGP^^ECP,

,PGAG\

•.--------——,

PCCE2

1122

APG=-CG=-x,PC=-CG=-x,

3333

由折登可知尸8=0V,

/.MN=NP+MP=RP+CP=RC=2x.

•・•48c和，BCE是等腰直角三角形，

:・AB=与BC=s[ix,BE=6RC=2&，

在RtzMfiE中，

,;AB=6x，BE=2&x，

,AE7AB?+BE123=而〃,

.AB也

••sinX.AED=----=—,

AE5

•IB,N关于4E对称，

:.BN=2BH,AE1BN,

：.ZABH=90°-/BAH=ZAEB,

•.xAnriAHx/5

••sinZ.ABH==—>

AB5

.A口旧n晒

••AH=---72x=------x,

55

・•・BH=ylAB2-AH2=^^-X

5

，BN=2BH

5

.MNM

••-----=-----•

BN4

【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相

似三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练运用

上述知识点解题.

6.如图①，在ABC中，延长4c到。，使CO=A4,石是AO上方一点，且N4=N5CE=N。，连接BE.

图①图②图③

⑴求证：8CE是等腰三角形;

(2)如图①,若ZACB=90。，将。E沿直线CD翻折得到DE,连接BE和CE,BE'与CE交于F,若BE〃ED,

求汪：”是8£的中点;

(3)在如图②，若NACB=90。，AC=8C,将DE沿直线CO翻折得到力甘，连接交CE于凡交C。于G,

若AC=a,AB=h[b>a>0)f求线段CG的长度.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)CG=h-a

【分析】(1)结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得证出aABCgoOCK,得

BC=CE,即可证明结论；

(2)同(1)证出，ABC”QCE,由翻折得C£=CR,结合3£〃E。易得NCF£=NO£C=90°,即CF_L3E\

由三线合一得F是的中点；

(3)先利用折叠的性质，证明△BGC四△MGC,易得CE=CB=CM,利用三角形内角和可得

4BEM=ZCED,由角的转化得到NBEC=NGED,最后证明ABCE以GDE,进而求得CG=CD-GD=b-a.

【详解】(1)证明：ZA8C+ZA=N8C£>,/BCE+/ECD=々BCD,ZA=NBCE,

•••^ABC=ZECD,

在，48。与△QCE中，

/ABC=4DCE

<AB=DC,

ZA=ZD

ABC%DCE(ASA),

BC=CE,

•••8CE是等腰三角形；

(2)证明：ZABC+ZA=ZBCD,ZBCE+ZECD=ZBCD,ZA=NBCE,

ZABC=4ECD,

在ABC与ADCE中,

/ABC=NDCE

<AB=DC,

ZA=ZCDE

/.ABCWDCE(ASA),

BC=CE,

ZACB=ZD£C=90°,

如图，连接CE，

B

■籽。&'沿直线CO翻折得到DE,

CE=CE=CB,

JBE〃ED,

ZCFE,=ZDEC=90°,即CF1BEf.

由三线合一，得：尸是的中点：

(3)解：如图，连石G,延长EG交BC于M,

B

M

根据折叠的性质，则/DGE=NQG£,

NDGE=/CGM,/DGE=/BGC,

■■NBGC=NCGM,

,/乙4C8=90。，

ZACB=NBCG=NMCG=90。，

在，4GC与4CGM中，

NBGC=NCGM

CG=CG

、NBCG=NMCG=90。

8GC£MGC(ASA),

ABC=CM,

由(2)知，,ABCWDCE,

•,BC=CE,ZACB=ZDEC=90°,

ACE=CB=CM,

/.ACBE=NCEB，NCEM=NCME,

NBEM=NCEB+NCEM=；(NCBE+NCEB4-NCEM+NCME)=gx180。=90。,

・••4BEM=NCED,

・••/BEM-Z.CEM=ACED-Z.CEM，

ZBEC=NGED,

vZ4CT=90°.AC=BC，

ZEDC=ZA=45°,

NECD=/EDC,CE=DE,

在,3。£与46。£：中，

NCEB=NMED

<CE=DE,

ZBCE=ZEDG

/.BC哙GDEaA),

BC=GD=AC=a，

CD=AB=b,

CG=CD-GD=b-a.

【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性

质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是

解题关键.

题型二、与四边形结合

1.如图，在正方形ABCD中，£是边4。的中点，将沿直线跖翻折，点A落在点尸处，连结OF,

那么NED/的正切值是（）

BC

A.2B.1C.3D.1

23

【答案】A

【分析】本题考查了求正切函数值，折叠的性质及正方形的性质.由折叠可得=ZAEB=NFEB,

再根据三角形的外角性质及折舂的性质得到ZAEB=Z.EDF，进而可得tanNEDF=tan4砧=罢，求解即

AE

可.

【详解】解：由折叠可得AE=EF,^AEB=4FEB=；/AEF,

；E方形48co中，E是边4。的中点，

AE=DE=-AD=-AB,

22

:.DE=EF,

;.ZEDF=NEFD,

ZAE厂是J）所的外角，

:.ZAEF=^EDF+^EFD,

：.ZEDF=-ZAEF,

2

:.ZAEB=/EDF,

AQ

..tanZEDF=tanZAEB=——=2.

AE

故选：A.

2.在矩形ABC。中，A8=5,3C=6,点七在BC上，将.八AE沿翻折，若点8的对应点Q恰好落在矩

形ABC。的对称轴上，则折痕AE的长为（）

A凶B.题C.凶或也D,2万或凶

33333

【答案】C

【分析】由于矩形有两条对称轴，分两种情况，根据折叠的性质和勾股定理进行解答即可.

【详解】解：①如图1,当点8'落在A3中垂线"G这条对称轴上时，AB,=AB=2AF.

cGD

图1

・•cosZB^F=—=-

AB'2

Z^AF=60°,

ZBAE=-ZB,AF=3O°

2t

AB55ioG

/.AE

cosZ.BAEcos30°J33

2

②如图2,当点B'落在AC中垂线MN这条对称轴上时,

图2

/AB,=AB=5,

B'N=>JAB,2-AN2=V52-32=4，

...。'何=5—4=1.

设BE=eE=f,

:.ME=3-i

在Rt,.MEB，中，/+(3-厅=/，解得/=|,

AE=JAB2+BE?=J52+（《5>/10

3

综上所述，折痕AE的长为呸5或亚.

33

【点睛】本题考查翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识；熟练掌握翻折变换和

勾股定理是解题的关键.

3.如图，在矩形48CD中，AB=5,BC=6,点M,N分别在A。，BC上,且4历=：4。，BN=；BC,

E为直线AC上一动点，连接。£,将沿OE所在直线翻折得到•,.OCE,当点C'恰好落在直线MN上

【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.由矩

形的性质得到OC=A6=5,ZA=90°,AD=BC=6,根据已知条件得到AM=3N,推出四边形A4MW的

矩形，得到/NM4=NMWD=90。，MN=AB=5,根据折叠的性质得到DC=OC=5,CE=CE,根据勾

股定理得到=不=3,根据矩形的判定和性质得到CN=OM=4,NCNM=90。，

再由勾股定理即可得到结论.

【详解】解：:四边形A8c。是矩形，

/.DC=AB=5tZA=90°,AD=BC=6,

VAM=-AD=2tBN=>BC=2,

33

・•・AM=BN,

*：AM//BN,

・•・四边形A8V/W的矩形，

:.土NMA=/NMD=琳,MN=AB=5,

•・•将ADCE沿DE所在直线翻折得到；DCE,

:・DC=DC=5,CE=CE,

VAM=2,

・•・DM=AD-AM=6-2=4,

图1

在VX..CMD中，CM=y)DC2-DM2=」5?-42=3,

:.C'N=MN—CM=5-3=2,

•・•/CDM=NDCN=/NMD=90S

・•・四边形CDWV是矩形，

:.CN=DM=4,NCNM=90。，

NE=CN-CE=A-CE,

在RlZ\C'NE中，NE2+CN=CE2,

J(4-CE)2+22=CE2,

解得：CE=1.

2

图2

在RlfCMD中，CM=4DC2-DM2=\/52-42=3，

・•・C'N=MN+CM=5+3=8,

,/乙CDM=ZDCN=4NMD=90S

.•・四边形CDA/N是矩形，

；,CN=DM=4,ZCNM=ZMNE=(X)°,

NE=CE-CN=CE-4,

在RtZ\C'NE中，NE2+CN2=CE2,

.\(CE-4)2+82=C£2,

解得：CE=10,

故答案为：!或10.

4.如图，矩形ABC。中，A3=&m,点七在4c边上，将..A8E沿直线AE翻折，得至1J..A&E,过点8'作

BG1AB,垂足为G.若=则3'G的长为cm.

【分析】本题考查了矩形折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握勾股定理，及三角函数是解题的

关键.证明N版TG=N84/•'是解题的关键；

设AE交BB'于点、P,由矩形的性质得N/WC=90。，根据折叠的性质可得ZAFB=9O0,在证明NB&G=NBAF,

则B/==当叵化01),=sinNB£G=sin/B4尸二丝\所以86=叵8*=°,根据勾股

25')BB，AI3105

定理即可求出8'G.

【详解】解：设A石交88'于点立

四边形43co是矩形，

••・Z4BC=90°,

将.ABE沿直线AE翻折，得到AME,

•••点与点B关于直线AE对称，

二•AE垂直平分BB'

.-.ZAFB=90°,

NBAF=/EBF=90°-ZABF,

ZAGB1=乙BG8=ZABC=90°,

NBHJNEBF,

3710

—=sinNBB'G=sinABAF=—

BB'AB6~10

,垢=典附，=®、迎'(cm),

101055V7

...B，G=J叱-8G2=J=y(cm)，

故答案为：费.

5.如图①，已如矩形4?C£>的对角线AC的垂直平分线与边A。，。。分别交于点&F,

(1)求证：四边形AFCE是菱形;

⑵如图②，直线E尸分别交矩形的边AO,8c于点E,F,将矩形A8C。沿石尸翻折，使点C的对称

点与点A重合，点。的对称点为W，若八6=4,BC=5,求石尸的长；

(3)如图③，直线分别交YA3CQ的边A£>,AC于点£F,将YABC。沿翻折，使点C的对称点与

点A重合，点。的对称点为N,若AB=3g，BC=6,ZC=45°,则五边形A5FE。的周长为.

【答案】(1)见解析

⑵警

(3)672+2+710

【分析】(1)rtrASA”BniE^AOEg4CWr,可得OE=OF,由对角线互相平分的四边形是平行四边形可

证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形八尸。石是菱形；

Q

(2)连接AC,EC,由折叠的性质可得河=C£乙=由勾股定理可求"二言，“=«,

再由S菱…=CFxAB=^EFxACf可求出叱的长；

(3)过点A作4NJ.AC,交CB的延长线于N,过点/作上“_L八。于M,

由等腰直角三角形的性质可求AN=AN=3,由勾股定理可求A£=AF,再利用勾股定理可求£尸的长，再

求出五边形的周长.

【详解】(1)证明：•••四边形A8CZ)是矩形，

AECF,

NEAO=NFCO,

•IE"垂直平分4C,

...AO=CO,^AOE=ZCOF=90°,

・•・"O*二CO尸(ASA).

:.OE=OF,

又「AO=CO,

•••四边形AACE是平:行四边形，

■:EF-LAC,

・•・四边形ARZ是菱形；

(2)解：如图，连接ACEC,

A

B

由折叠的性质得：AF=CF0FE=/EFC,

vAF2=BF2+AB\4B=4,BC=5,

J(5-«F)2=«F2+16,

9

・•・BF=—,

10

41

・•・AF=CF=—,

10

•・•ABIBC,

:.ABC是直角三角形

AC=y/AB1+BC2=>/4T，

VWCF=CFX^=1EFXAC,

—x4=—EFx5/41,

102

..hr=--------.

5

（3）解：如图，过点A作AN_L8C,交。8的延长线于M过点r作QW_LA。于M,

•・•四边形A3CQ是平行四边形，ZC=45°,

/.443c=135。，

/.ZABN=45。,

AN工BC,

;.ZABN=/BAN=45°,

・•・4V8是等腰直角三角形

丁AN2+BN?=AB\AN=BN,

AN=BN=3,NC=6+3=9,

由折叠的性质得：AF=CF,ZAFE=ZEFC,

•.*AD/7BC,

ZAEF=NEFC=ZAFE,

/.AE=AF,

•/AF2=AN2+NF2,

/.AF2=9+（9-AF）2,

AF=5,

・•・AE=AF=5,

AN//MF,AD//BC

・•・四边形ANFM是平行四边形，

*：AN1BC,

・•・四边形ANFM是矩形,

:・AN=MF=3,

：•AM=Y/AF2-MF2=4,

/.ME=AE-AM=\,

・•・EFZMF+ME?=而，

BF=NF-BN=9-AF-BN=1,DE=D'E=AD-AE=1,

:.五边形ABFED的周长为

AB+BF+EF+DE+AI7

=AB+BF+EF+CD+DE

=3x/2+l+VlO+3V2+l

=6x/2+2+x/10.

故答案为：6&+2+屈.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定

和性质，勾股定理等知识.添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键.

6.如图，在矩形A3CD中，人8=4⑺，BC=4,点M在边A8上，丝•=2.N为BC上一动点(不与点

AB4

B,C重合)，将*MN沿直线MN翻折，点B落在点。处，N8MP=〃o(0v“<180).

图1

(1)如图1,若〃=90,延长M2交。C于点G,求PG的长.

(2)如图2,当〃=60时，延长NP交。。于点〃，

①求证：AMNB:AHNC；

②求的长.

(3)如图3,当NP的延长线经过点。时，直接写出tanNPMN的值.

【答案】(l)PG=4-6

⑵①证明见解析：②DH=6

国-20

⑶ian/PMN=

亍

【分析】(1)根据矩形的性质可证四边形8VGC是矩形，可得MG=8C=4,根据折叠的性质可得PM=8”,

根据4B=4G，BC=4,空•=?可求出8M的值，由此即可求解：

A84

(2)①根据折叠可得N8WN=NMl〃>,"NB=4MNP,由〃=60,直角三角形的性质，内角和定理可求

W/HNC=/MNB,再根据相似三角形的判定方法即可求解；②根据含30。角的直角三角形的性质，运用解

直角三角形的方法分别求出8M4N的值，应用相似三角形的判定方法，矩形的性质即可求解；

(3)连接9W,根据勾股定理可求出DW的长，根据折叠的性质可得叱的值，在RtZkDMP中，运用勾

股定理可求出的值，设BN=x,可用含x的式子表示ON,CN,在Rl^CIW中运用勾股定理可求出x的

值，即4N值，在RtZXAMN中运用正切值的计算方法即可求解.

【详解】(1)解：丁四边形ABCZ)是矩形,

.•.NC=N8=90,

,NBMP-90，

：.ZBMG=ZC=ZB=90\

.•・四边形8WGC是矩形,

..MG=BC=4,

BM1

，AB=0r/中

：.BM=-AB=y/3f

4

:.由折叠得PM=BM=#>,

：.PG=MG-PM=BC-MG=4-6

(2)解:①证明：由翻折可知N8MN=NNMP,乙MNB=4MNP,

;NBMP=60,

NBMN=NNMP=36'，

:.4MNB-dNP-g，

/.NHNC=60，

:"HNC=4MNB,

vZC=ZB=90\

:△MNBCSAHNC；

②•在RlZX&im中，BM,

BN=BM-tanKBMN=后@=1,

3

:.NC=BC-BN=3,

.ZMNBs^HNC,

.CHCN

丽一丽’

:.CH=BM•里=&3=36,

BN

四边形A。。。是矩形，

.,.CD=AB=46,

/.DH=CD-CH=6.

（3）解：叵心叵，理由如下，

3

如图，连接DW,

・；AB=A£,M8=G

AM=36,

;四边形48CD是矩形，

AD=BC=4,ZA=90,

/.DM=ylAlf+AM2=回，

由翻折可知MP=M8=6，NMPN=N8=90"

/.ZMPD=90\

:.DP7DM?-MP，=2而，

设BN=x,则NC=4-x,NP=x,

:.DN=DP+NP=2xfw+x,

在RtAOCN中，DN2=NC2+CD2,即（2而+工）2=（4—xf+（46尸，

解得，x=Vl（j-2,

V10-2V30-2>/3

..tanZ.PMN=tan4BMN=尸—=---------.

G3

【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质的综

合，掌握矩形与折叠，勾股定理的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

题型二、与圆结合

I.如图，ABC为1。的内接三角形，A8=8,CD为44边上的中线，将8c沿BC翻折后刚好经过点。，

若已知。。的半径为2逐，则8C的长是（）

A.4>/3B.6x/2C.>/65D.5G

【答案】B

【分析】如图，过点。作。石_LBC,交0于E,可得点E为点。的对应点，根据折叠点性质可得

NCDB=NCEB,根据圆内接四边形的性质及邻补角点定义可得NC4O=NCD4,得出CA=CT>,过点C作

。〃_144于〃，过点。作于尸，连接。8、0C,根据垂径定理可得出。。的长，根据“三线合一”

可得的长，即可得出四边形。/汨。是正方形，可得FH、•的长，利用勾股定理可求出C”的长，即

可得出8的长，利用勾股定理即可得答案.

【详解】解：如图，过点。作OE_L8C,交。。于E,过点。作于H,过点0作。尸，C”于尸，

连接。8、0C,

•・•为A8边上的中线，八/=

，OD工AB,4。=8£）=4,

；・0D=sloB2-BD2=7（2\/5）2-42=2，

•・•将8c沿8。翻折后刚好经过点O，DEA.BC,交。于E,

・••点E为点。的对应点，NCDB=NCEB,

•・•四边形CA8E是。的内接四边形，

，^CAB+ZAEB=\S（）0,

ZC£V\+ZADB=180°,

/.?CAB?CDA,

：.CA=CD,

■:CHIAB,

.・.DH=AH=2,

,：OFA.CH,DH=OD=2,

・•・四边形0/77。是正方形，

FH=OF=2,

:、CF=>]OC2-OF2=7（2>/5）2-22=4，

・•・CH=CF+FH=6,

*：BH=BD+DH=6,

•*-BC=\ICH2+BH2=672♦

故选:B.

【点睛】本题考查折叠的性质、垂径定理、I员I内接四边形的性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性

质及勾股定理，根据圆内接四边形的性质及折叠性质得出C4=C。是解题关键.

2.如图，。为正方形八88的边上一点，以。为圆心、为半径作O,交AD于点E，过点£作O

的切线瓦'交CD于点E,将£）所沿E/7翻折，点。的对应点屏恰好落在上，则=的值为

【答案】C

【分析】连接O石、O。'，作OH_LE7y于"，通过证得.dEOg..〃EO（AAS）,AE=EH=gED,^AD=a,

OB=OE=x.则AO=a-x,根据勾股定理，列方程，解方程即可求得结论.

【详解】解：连接OE、OD1,作。HJ.EZ7于〃,

;EU=ED,

；.EH=WED,

•・•四边形ABC。是正方形,

.•.zL4=90°,AB=AD,

EF是。的切线，

:.OE±EF,

ZOEH+4DEF=90°,ZAEO+ZDEF=90°,

ZDEF=ZUEF,

:.ZAEO=/HEO,

在.AEO和中

ZAEO=NHEO

NA=NOHE=90

OE=OE、

AE3AZEO(AAS),

/.AE=EH=gED,

设4"=〃

AE=!AD=：,设OB=OE=x.则AO=a-x»

33

在Rl、AOE中，/=(])+(〃一幻2,

解得:x=y,

。4=藁，IJIIJ(M=Y

OA4

.♦.=—

OB5

故选：C.

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的性质、垂定定理、正方形的性质、勾股定理，方程，全等三

角形的判定与性质等知识；本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用

三角形全等证明.

3.如图，。是正方形A8C。的外接圆，将。分别沿八5、C3向内翻折.若AC=6,则图中阴影部分的

面积为一.(结果保留产)

9

【答案】27--^-

【分析】本题考查了正多边形与圆，圆的面积公式，正方形的性质，折叠的性质和勾股定理，根据正方形

的性质得到AD=C。，？。90?；求得4。=。。=3及，根据各图形的面积公式即可得到结论，熟练掌握

以上知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•・•四边形ABC。是正方形,

AAD=CD,?。90?,

，中勾股定理得：AC2=AD2+CD2=62,

:.AD=CD=3&

丁籽。分别沿A4、CB向内翻折，

，图中阴影部分的面积=正方形的面积-（。的面积-正方形的面积）-^4x2

=3X/2X3>/2-（32X^-3X/2X3X/2）4-4X2=27-1^,

9

故答案为：27--^-.

4.如图，将。上的成;沿弦AC翻折交半径OA于点D,再将近）沿8。翻折交于点片连接。。若

DF

AD=2OD,贝I」—的值_______.

【答案】回:正

66

【分析】本题主要考杳折存的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，勾股

定理.连接C4、C。、OC,作O10A于F，设，，则AO=2a,OC=OA=a+2a=3a,AB=2OA=6a,

先利用折叠的性质和圆周角定理得到AC=CO=QE,再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC=8=OE,

然后利用勾股定理计算出CF,接着再计算出C。即可.

【详解】解：连接C4、CD、OC,作CE_LQ4于忆如图所示，

设OD=a,则AD=2ei,OC=OA=a+2a=3a,

/.AB=2OA=6a,

•・•O上的8。沿弦BC翻折交半径OA于点。，再将BO沿8。翻折交8C于点E,

・•・AC,CD、DE为等圆中的弧,

•・•它们所对的圆周角为/ABC,

；・XC=CD=DE，

:.AC=CD=DE,

，AF=DF=—AD=a,

2

：・OF=OD+DF=2a,

在Rt.OC/中，CF=Sc?-OF?=J(3a『_(2a『=,

在RtZXC。/中，CD=JC尸?+DF。=«瓜7+a'=Ra,

DE=瓜a,

.DE瓜aR

•••

AB6n6

故答案为：也.

(1)如图(1),先将纸片沿直径左右翻折，再上下翻折，刚好完全重合，然后平铺展开，则N408的大小是

：在上任取一点C(异于A,8),则NAC8的大小是；

⑵如图(2),将纸片沿一条弦人8翻折，使其劣弧A8恰好经过圆心。，作出直径AC，则图中阴影部分的

面积是______;

(3)如图(3),4?是。的直径，将劣弧沿弦5c翻折，交44于点。，再将劣弧3D沿直径A6翻折，

交BC于点、E,若点E恰好是翻折后的劣弧8。的中点，求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)90。；45。或135。；

⑵万；

(3)2>/2-2.

【分析】(I)根据折叠的性质可得408=90。，进而根据圆周用定理以及圆内接四边形对角互补，即可求

解;

（2）作“＞_LA3交AA于点E,交。。于点。，连接8C,BD,得出△08C是等边三角形，进而根据阴影

部分的面积即为△08C的面积，即可求解.

（3）首先添加辅助线，利用圆周角定理证明线段AC=CO=O£=EB,设㈤）B==x,则

/DEC=4X：E=4EDB+4EBD=2x,构建方程求出x=22.5。，再通过解直角三角形求出CH,AQ即可解决问

题.

【详解】（1）解：根据折叠了2次，则403=90。，

如图（1）所示，

当点C在优弧上时，/AC8=g/AOB=45°,

当点。在A4上时，乙4。=180。-45。=135。，

故答案为：90°；45。或135。.

（2）解：如图（2）所示，作交AB于点E,交＜定＞于点Q,连接3C,BD,0B,

:.ZOAB=30°,

/.ZCOB=60°,Z4OD=60°,

...NDOB=/BOC=60°,

;OB=OC,

.“O8c和3。。是等边三角形，

/.DB=OD=BC,

・•・弓形DmB的面积等于弓形的面积，

・•・扇形DOB的面积等于扇形OBC的面积，

，阴影部分的面积即为40BC的面积；

04=2,则OE=1,

/.AE7Abi-OE?二百,

/.AB=243,

，阴影部分面积=SOM=SAO8=1A8XOK=：X2X/5X|=G,

故答案为：x/3;

(3)解：如图(3),连接ACCDOE,过点。作C”_L48于从

⑶

­.ZABC=ADBC=ADBE,

/.CA=CD=DE

,.AC=CD=DE,

•.­CH1ADt

:.AH=HD,

・・•£是3。的中点,

:.DE=BE，

ED=EB，

:.ZEDB=/EBD,

设乙EDB=^EBD=x,

则LDEC=zDCE=AEDB+Z.EBD=lx,

..ZA=ZCDA=ZDCE+ZEBD=3x,

他是直径,

..2。=90°,

.•.Z4+N6=90°,

.­.3X+X=90°,

.-.A=22.5°,

.­.Z4=ZCm=67.5°,ZAfiC=22.5°,

.•.NCO〃=45。，则ACO"是等腰直角三角形,

,.・CO=2,

...OH=CH=—x2=y[2,

2

AH=AO-HO=2-叵,

：.AD=2AH=4-242，

■.AC=CD，

:.弓形AmC,CnD的面积相等，

・•・阳影部分面积为=5“/产gAQxCH=gx(4-2&卜拉=24-2.

【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学

会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关健.

6.已知，在扇形AO8中，208=90。，04=13.点P在半径08上，连接

⑴把AOP沿”翻折，点。的对称点为点Q.

①如图1,当点Q刚好落在弧A8上，求弧8Q的长；

②如图2,点。落在扇形A08内部，4。的延长线与弧A8交于点C,过点Q作垂足为“，4”=8,

求AC的长：

(2)如图3,记扇形AOB在宜线"上方的部分为图形W,把图形W沿着A尸翻折，点8的对称点为点E,弧

AE所在的圆与A。的延长线交于点凡若OF=3,求PO的长.

【答案】（1）①学；②16

6

137105

21

【分析】（1）①连接发，证明△AOQ为等边三角形，得N4OQ=&）。根据NAOA=90。得N80Q=30。，利用

弧长公式即可解答；②过。作OM_LAQ,证，40M学4Q”，即可解答；

（2）将..AOP沿着的翻折得△同。尸，过点Q作Q”_LA〃，垂足为点从过点P作PDJ.QH,垂足为点

D,得四边形尸是矩形，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得=OH=PD,根据勾股定

理求Q”，设OP=x,DH=PQ=OP=x,QD=QH-DH=y/\05-xt由0O?+。。？=p。?，得

5^（7105-A-）"=x2,解方程即可

【详解】（1）①连接O。，

由翻折得AO=A