2027届新高考数学热点精准复习不等式的基本性质

2027届新高考数学热点精准复习不等式的基本性质目

录CONTENTS01必备知识基础落实02关键能力精准突破课标

解读1.会比较两个数（式）的大小.2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

知识点一

比较两个实数大小的方法关系方法作差法作商法

a

＞

b

a

－

b

＞0

a

＝

b

a

－

b

＝0

a

＜

b

a

－

b

＜0知识点二

不等式的性质性质性质内容注意对称性

a

＞

b

⇔

⁠；

a

＜

b

⇔

⁠可逆传递性

a

＞

b

，

b

＞

c

⇒

⁠；

a

＜

b

，

b

＜

c

⇒

⁠同向可加性

a

＞

b

⇔

a

＋

c

＞

b

＋

c

可逆可乘性

a

＞

b

，

c

＞0⇒

⁠；

a

＞

b

，

c

＜0⇒

⁠

c

的符号同向可加性

a

＞

b

，

c

＞

d

⇒

⁠同向b

＜

a

b

＞

a

a

＞

c

a

＜

c

ac

＞

bc

ac

＜

bc

a

＋

c

＞

b

＋

d

性质性质内容注意同向同正可乘性

a

＞

b

＞0，

c

＞

d

＞0⇒

⁠同向同正可乘方性

a

＞

b

＞0，

n

∈N*⇒

an

＞

bn

同正可开方性同正ac

＞

bd

一、辨析正误（在括号内画“√”或“×”）（1）

a

＞

b

⇔

ac2＞

bc2.

（

×

）（2）

a

＝

b

⇔

ac

＝

bc

.

（

×

）（3）一个非零实数越大，则其倒数就越小.

（

×

）×××二、版本互鉴1.（苏教版必修第一册P50T7改编）实数

x

，

y

满足

x

＞

y

，则下列不等式成立的是

（

）B.2－

x

＜2－

y

C.lg（

x

－

y

）＞0D.

x2＞

y2答案：B2.（人教B版必修第一册P63T3改编）若

a

＞

b

＞0，

c

＜

d

＜0，则一定有（

）答案：B3.（人教A版必修第一册P38例1改编）已知

x

≠0，则（

x2＋1）2与

x4＋

x2＋1的大

小关系为

.答案：（

x2＋1）2＞

x4＋

x2＋14.（人教A版必修第一册P43T5改编）已知2＜

a

＜3，－2＜

b

＜－1，则2

a

－3

b

的

取值范围是

.答案：（7，12）

考点1

比较两个数（式）的大小

（自悟通）1.已知

x

＝－

a2－2

a

＋3，

y

＝4－3

a

，则（

）A.

x

＜

y

B.

x

＝

y

C.

x

＞

y

D.

x

与

y

的大小无法判断

2.设

a

＞1，且

m

＝log

a

（

a2＋1），

n

＝log

a

（

a

－1），

p

＝log

a

（2

a

），则

m

，

n

，

p

的大小关系为（

）A.

n

＞

m

＞

p

B.

m

＞

p

＞

n

C.

m

＞

n

＞

p

D.

p

＞

m

＞

n

B

解析：当

a

＞1时，易知

a2＋1＞2

a

，再由以

a

为底对数函数在定义域上单调递

增的性质可知

m

＞

p

，又∵（

a2＋1）－（

a

－1）＝

a2－

a

＋2恒大于0（二次项系

数大于0，根的判别式小于0，函数值恒大于0），即

a2＋1＞

a

－1，再由以

a

为底对

数函数在定义域上单调递增的性质可知

m

＞

n

，又∵当

a

＞1时2

a

显然大于

a

－1，同上，可知

p

＞

n

.综上

m

＞

p

＞

n

.故选B.3.已知

a

＝1816，

b

＝1618，则

a

与

b

的大小关系为

.

答案：

a

＜

b

比较两个数（式）大小的两种方法考点2

利用不等式的性质比较大小

（自悟通）【例1】

（1）（多选）已知实数

a

，

b

，

c

满足

c

＜

b

＜

a

且

ac

＜0，则下列不等式

一定成立的是（

）A.

ab

＞

ac

B.

c

（

b

－

a

）＞0C.

ac

（

a

－

c

）＜0D.

cb2＜

ab2ABC

解析：因为

c

＜

b

＜

a

且

ac

＜0，所以

c

＜0，

a

＞0，所以

ab

＞

ac

，故A选项一定成立；又

b

－

a

＜0，所以

c

（

b

－

a

）＞0，故B选项一定成立；又

a

－

c

＞0，

ac

＜0，所以

ac

（

a

－

c

）＜0，故C选项一定成立；当

b

＝0时，

cb2＝

ab2，当

b

≠0时，有

cb2＜

ab2，故D选项不一定成立，故选ABC.（2）已知｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，则下列不等式一定成立的是（

）A.

m

＞

n

B.｜

m

｜＋

n

＞0C.

m

＋

n

＜0B

解析：对于A选项，若

m

＝－2，

n

＝1时，满足｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，而不满足

m

＞

n

，所以A选项错误；对于B选项，当

n

＞0时，则｜

m

｜＋

n

＞0一定成立，当

n

＜0时，由｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，得｜

m

｜＞－

n

，则｜

m

｜＋

n

＞0，所以B选项正确；对于C选项，若

m

＝2，

n

＝1时，满足｜

m

｜＞｜

n

｜＞0，而不满足

m

＋

n

＜0，所以C选项错误；对于D选项，若

m

＝－2，

n

＝－1时，

判断不等式成立常用的3种方法（1）直接利用不等式的性质逐个验证.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要

特别注意前提条件.（2）利用特殊值法排除错误答案.（3）利用函数的单调性.当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指

数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.

1.若2

m

＞2

n

，则下列结论一定成立的是（

）B.

m

｜

m

｜＞

n

｜

n

｜C.ln（

m

－

n

）＞0D.π

m－

n

＜1B

解析：由2

m

＞2

n

，可取

m

＝2，

n

＝1，可得ACD不成立.

2.若

a

，

b

，

c

为实数，且

a

＜

b

，

c

＞0，则下列不等关系一定成立的是（

）A.

a

＋

c

＜

b

＋

c

C.

ac

＞

bc

D.

b

－

a

＞

c

考点3

利用不等式性质判断正误

（精研通）【例2】

（1）（多选）设

a

＜

b

＜

c

，且

a

＋

b

＋

c

＝0，则（

）A.

ab

＜

b2B.

ac

＜

bc

（2）下列对不等关系的判断，正确的是（

）C.若ln

a2＞ln

b2，则2｜

a｜＞2｜

b｜D.若tan

a

＞tan

b

，则

a

＞

b

（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.（2）在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、

指数函数的性质进行判断.

1.若

a

，

b

，

c

，

d

∈R，且

a

＞

b

，

c

＞

d

，则下列结论正确的是（

）A.

a

＋

c

＞

b

＋

d

B.

a

－

c

＞

b

－

d

C.

ac

＞

bd

A

解析：对于A，设

a

，

b

，

c

，

d

∈R，且

a

＞

b

，

c

＞

d

，根据同向不等式的可

加性知

a

＋

c

＞

b

＋

d

，故A正确；对于B，令

a

＝2，

b

＝0，

c

＝3，

d

＝0，可知B

不正确；对于C，D，令

a

＝－1，

b

＝－2，

c

＝－1，

d

＝－2，可知C，D不正确.2.（多选）已知0＜

a

＜

b

＜1，则下列不等式中成立的是（

）B.ln

a

＜ln

b

C.

a3＜

b3

考点4

利用不等式性质求范围

（精研通）【例3】

（1）（多选）已知3＜

a

＜6，1＜

b

＜5，则（

）C.

a

－2

b

∈（－4，1）D.

a

－2

b

∈（－7，4）（2）若－2＜

a

＜

b

＜3，－2＜

c

＜0，则

c

（

a

－

b

）的取值范围是

.

（2）由－2＜

a

＜

b

＜3，得

b

－

a

＞0，且－2＜

a

＜3，－2＜

b

＜3，∴－3＜－

a

＜

2，由不等式的性质可得－5＜

b

－

a

＜5，∴0＜

b

－

a

＜5.∵－2＜

c

＜0，∴0