2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册+　等差数列的前n项和的性质及应用

第二课时等差数列的前n项和的性质及应用[目标导航]课标要求1.掌握等差数列前n项和的性质及应用2.会求等差数列前n项和的最值3.会用裂项相消法求和新知导学·素养启迪新知梳理1.等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中,其前n项和为Sn,则{an}中连续的n项和构成的数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…构成等差数列.(2)数列{an}是等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数).2.等差数列前n项和Sn的最值(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最

值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最

值.特别地,若a1>0,d>0,则S1是Sn的最小值;若a1<0,d<0,则

是Sn的最大值.小大S1(1)等差数列性质的证明Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=(a1+a2+…+an)+n2d.S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+a2+…+an)+2n2d.则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差为n2d的等差数列.(2)等差数列奇偶项和的性质小试身手1.在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=

.

102.等差数列{an}中,S2=4,S4=9,则S6=

.

15解析:由S2,S4-S2,S6-S4成等差数列得2(S4-S2)=S2+(S6-S4),解得S6=15.3.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值时,n为

.

23或24解析:由an≤0即2n-48≤0得n≤24.所以所有负项的和最小,即n=23或24.课堂探究·素养培育等差数列前n项和的性质[例1]

(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)A.5

B.4

C.3

D.2C解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.(2)已知等差数列{an}的前n项和记为Sn,若S4=8,S8=4,则S12=

.

-12法二因为S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,即8,-4,S12-4成等差数列,所以S12-4=-16,所以S12=-12.即时训练1-1:(1)已知等差数列{an}前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于(

)A.110

B.150

C.210

D.280D解析:(1)因为等差数列{an}前n项和为Sn,若S10=10,S20=60,所以S20-S10=50,由等差数列的性质可得,10,50,S30-S20,S40-S30,仍然是等差数列,公差为40,所以S30-S20=90,S40-S30=130,则S30=150,S40=280.D75等差数列的前n项和常用的性质小结(1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列.等差数列前n项和的最值问题[例2]

在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.法三同法一,求出公差d=-2.因为S9=S17,所以a10+a11+…+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.所以a13>0,a14<0.所以当n=13时,Sn有最大值169.变式训练2-1:

若将本例条件“a1=25”改为“a1=-25”,其他条件不变,试求Sn的最小值.变式训练2-2:

本例中若将条件“a1=25,且S9=S17”改为“a1=26,且S9=S18”,则n取何值时Sn有最大值?并求出最大值.求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路裂项相消法求和即时训练3-1:已知等差数列{an}的前n项和为Sn,2a2+a5=24,S8=100.(1)求{an}的通项公式;(1)裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前n项和.(2)利用裂项相消法求和的注意事项①抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项;或者前面剩几项,后面也剩几项.②将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是公差d≠0的等差数列,当堂即练·素养达成1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S15等于(

)A.80

B.90

C.100

D.110当堂即练B解析:S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,又S5=10,S10=40,即10,30,S15-40成等差数列,则S15-40=50,所以S15=90.D3.已知数列{an}满足an=2n-17,其前n项和为Sn,则S13=

,当Sn取得最小值时n的值为

.

-398课堂小结1.等差数列前n项和的常用性质(1)数列{an}为等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数).(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则