2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册++课件第一章+空间向量运算的坐标表示

1.3.2空间向量运算的坐标表示[目标导航]课标要求

1.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能应用这些知识解决一些简单立体几何问题新知导学·素养启迪新知梳理1.空间向量运算的坐标表示运算坐标表示a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)加法a+b=减法a-b=数乘λa=

,λ∈R数量积a·b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(λa1,λa2,λa3)a1b1+a2b2+a3b32.空间向量的平行与垂直的坐标表示a1b1+a2b2+a3b3=03.空间向量的模及夹角的坐标表示(1)空间向量的模的坐标表示(x2-x1,y2-y1,z2-z1)(2)向量的夹角坐标公式小试身手1.(多选题)已知向量a=(1,-2,-2),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(

)AC2.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于(

)A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)A解析:b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).故选A.(3,3,3)课堂探究·素养培育[例1]已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).空间向量的坐标运算解:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2);a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6);a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7;(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14;(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2-2×0+2×(-6)=-8.即时训练1-1:已知a=(2,-1,3),b=(0,-1,2),求:(1)a+b;解:(1)a+b=(2,-1,3)+(0,-1,2)=(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5).(2)2a-3b;解:(2)2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0).(3)a·b;解:(3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2)=2×0+(-1)×(-1)+3×2=7.(4)(a+b)·(a-b).解:(4)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+9-(0+1+4)=9.空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法(1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算.(2)熟练应用有关的公式:①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-b)2=a2-2a·b+b2;③(a+b)·(a-b)=a2-b2.(3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆.计算(2a)·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可先求出2a,-b后,再求数量积.利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题[例2]已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点

A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|.②A1G⊥平面EFD.(1)利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题,关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系,进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标.利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题(2)棱长为1的正方体ABCD

-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.①求证:EF⊥CF.③求CE的长.即时训练3-1:(1)已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).①求cos∠BAC;②求△ABC中BC边上中线的长度.(2)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积.用空间向量的数量积解决夹角问题解决立体几何中与夹角相关的问题,经常以空间向量的数量积为工具,把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题,但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.当堂即练·素养达成C

当堂即练1.与a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为(

)A.(1,7,5) B.(1,-7,5)C.(-1,-7,5) D.(1,-7,-5)解析:因为(-1,-7,5)·(1,2,3)=-1-14+15=0,(-1,-7,5)·(3,1,2)=-3-7+10=0,所以与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量为(-1,-7,5).故选C.DC4.已知a=(1,-2,3),b=(-1,1,-4),c=(1,-3,m),则“m=1”是“a,b,c构成空间的一个基底”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A5.若a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为

.

3解析:因为b=(2,0,3),c=(0,2,2),所以b+c=(2,2,5).又a=(2,-3,1),所以a·(b+c)=(2,-3,1)·(2,2,5)=4-6+5=3.1.向量的坐标即终点坐标减去起点坐标.求点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,在原点时,向量的坐标与终点坐标相同;不在原点时,向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标.2.向量平行与垂直问题的三种题型题型1:空间向量平行与垂直的判断,利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.课堂小结题型2:利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用,解题时要注意适当引入参数(