北师大版七年级上册各章节数学知识点总结

亲爱的同学们，初中数学的学习是一段充满挑战与乐趣的旅程。七年级上册的数学知识，如同搭建高楼大厦的基石，每一块都至关重要。这份总结旨在帮助你系统梳理本学期所学的核心内容，巩固基础，理清脉络，为后续的学习打下坚实的基础。请将这份总结作为你复习的得力助手，结合课本例题和日常练习，真正做到融会贯通。第一章丰富的图形世界本章是我们从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的开端，旨在培养我们的空间观念。1.1生活中的立体图形我们生活在一个三维的世界中，周围充满了各种立体图形。常见的基本几何体包括：*柱体：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行。比如，我们熟悉的正方体、长方体（四棱柱），以及圆柱体。*锥体：有一个顶点，一个底面是多边形（棱锥）或圆形（圆锥），侧面是由多个三角形（棱锥）或一个曲面（圆锥）围成。*球体：由一个连续曲面围成的几何体，球面上任意一点到球心的距离都相等。对于一个立体图形，我们可以从顶点（棱与棱的交点）、棱（面与面相交的线段）、面（包围着几何体的部分，分为平面和曲面）三个方面去描述它的特征。1.2展开与折叠许多立体图形是由平面图形围成的。将一个立体图形沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形，这个平面图形称为该立体图形的展开图。反之，一些平面图形也可以折叠成立体图形。*正方体的展开图是由6个大小相同的正方形组成的平面图形，共有11种不同的展开形式（同学们可以自己动手尝试画出或记忆）。*圆柱的展开图通常是由两个大小相同的圆形（底面）和一个长方形（侧面，长方形的一边等于底面圆的周长，另一边等于圆柱的高）组成。*圆锥的展开图是由一个圆形（底面）和一个扇形（侧面）组成。1.3截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状与几何体的形状以及截面的角度和方向有关。*例如，用一个平面去截正方体，截面可能是三角形、四边形（正方形、长方形、梯形等）、五边形或六边形。*用一个平面去截圆柱体，截面可能是圆形、椭圆形或长方形（当平面与底面垂直时）。1.4从三个方向看物体的形状为了全面地了解一个立体图形的形状，我们通常从以下三个方向进行观察，并画出所看到的图形，即三视图：*主视图：从几何体的正面看到的图形。*左视图：从几何体的左面看到的图形。*俯视图：从几何体的上面看到的图形。通过将这三个方向看到的平面图形组合起来，我们就能在脑海中构建出整个立体图形的形象。第二章有理数及其运算本章是整个初中数学的代数基础，是后续学习代数式、方程、函数等知识的必备前提。2.1有理数正数与负数：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界点。负数的引入，使得我们可以表示具有相反意义的量，如收入与支出、上升与下降等。有理数的定义：整数和分数统称为有理数。*整数：包括正整数、0和负整数。*分数：包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也是有理数。2.2数轴数轴的三要素：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。*原点是表示0的点。*正方向通常规定为向右的方向。*单位长度要统一。数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。反之，数轴上的点并不都表示有理数（以后会学到无理数）。利用数轴可以比较有理数的大小：数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大。2.3绝对值相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，且与原点的距离相等。绝对值的几何意义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。绝对值的代数意义：*正数的绝对值是它本身；*负数的绝对值是它的相反数；*0的绝对值是0。即：|a|=a(a>0)；|a|=0(a=0)；|a|=-a(a<0)。绝对值具有非负性，即|a|≥0。2.4有理数的加法有理数加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3.一个数同0相加，仍得这个数。加法运算律：*加法交换律：a+b=b+a*加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)灵活运用运算律可以使运算简便，例如将互为相反数的数结合，将同号的数结合，将能凑整的数结合等。2.5有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)。减法运算可以统一转化为加法运算进行。2.6有理数的加减混合运算有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序从左到右依次进行，也可以先将减法统一成加法，写成省略加号和括号的和的形式，再利用加法运算律进行简便运算。例如：a-b+c-d=a+(-b)+c+(-d)。2.7有理数的乘法有理数乘法法则：1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。2.任何数与0相乘，积仍为0。3.多个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。再将各因数的绝对值相乘。乘法运算律：*乘法交换律：a×b=b×a*乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*乘法对加法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c分配律在简化运算中有着非常重要的作用。2.8有理数的除法有理数除法法则：1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a÷b=a×(1/b)(b≠0)。2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。除法运算也可以统一转化为乘法运算。2.9有理数的乘方乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。记作aⁿ，其中a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次方”或“a的n次幂”。例如，2³表示3个2相乘，即2×2×2=8。乘方运算的符号法则：*正数的任何次幂都是正数。*负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。*0的任何正整数次幂都是0。2.10有理数的混合运算有理数混合运算的运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2.同级运算，按照从左到右的顺序进行；3.如果有括号，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。在运算过程中，要灵活运用运算律，以简化计算。2.11用计算器进行有理数的运算计算器是我们进行复杂计算的辅助工具。要学会正确使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，注意按键顺序和括号的使用。第三章整式及其加减本章是代数学习的重要内容，主要研究用字母表示数，以及代数式的相关概念和运算。3.1字母表示数字母可以表示任何数，用字母表示数，能把数量关系一般化地、简明地表示出来。例如，加法交换律可以表示为a+b=b+a，三角形的面积公式可以表示为S=(1/2)ah。3.2代数式代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。例如：3x,a+b,5,x²,(a+b)c等都是代数式。注意：代数式中不含有“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”等关系符号。代数式的书写规范：*数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示。例如，5×a可以写成5a或5·a。*字母与字母相乘时，乘号可以省略不写。例如，a×b可以写成ab。*带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。例如，1(1/2)×a应写成(3/2)a。*除法运算一般写成分数形式。例如，a÷b通常写成a/b(b≠0)。*代数式后面有单位时，如果代数式是和或差的形式，要将代数式用括号括起来。例如，(a+b)厘米。3.3整式单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。*单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，-3x的系数是-3，ab的系数是1，-m的系数是-1，5的系数是5。*单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，x²y的次数是2+1=3，5的次数是0（可以看作5x⁰）。多项式：几个单项式的和叫做多项式。*多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。例如，多项式3x²-2x+5有三项，分别是3x²,-2x,5，其中5是常数项。*多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式3x²y+2xy-1中，3x²y的次数是3，所以这个多项式的次数是3。*整式：单项式和多项式统称为整式。3.4整式的加减同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如，3x²y与-5x²y是同类项；4a与-7a是同类项；5与-3是同类项。合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。*合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。例如：3x+5x=(3+5)x=8x；2a²b-a²b=(2-1)a²b=a²b。去括号法则：1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。例如：+(a-b+c)=a-b+c。2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。例如：-(a-b+c)=-a+b-c。整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。整式的加减运算结果仍然是整式。第四章基本平面图形本章将学习一些最基本的平面图形及其性质，进一步培养我们的几何直观和逻辑思维能力。4.1线段、射线、直线线段：线段有两个端点，它的长度是有限的，可以度量。射线：射线有一个端点，另一端可以无限延伸，它的长度是无限的，不可度量。直线：直线没有端点，它可以向两端无限延伸，它的长度是无限的，不可度量。表示方法：*线段：可以用表示它两个端点的大写字母表示，如线段AB或线段BA；也可以用一个小写字母表示，如线段a。*射线：用表示它的端点和射线上另一个点的两个大写字母表示，且端点字母必须写在前面，如射线OA。*直线：可以用表示它上面任意两个点的大写字母表示，如直线AB或直线BA；也可以用一个小写字母表示，如直线l。直线的基本性质（公理）：经过两点有且只有一条直线。（简述为：两点确定一条直线。）线段的基本性质（公理）：两点之间的所有连线中，线段最短。（简述为：两点之间，线段最短。）两点间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。4.2比较线段的长短比较两条线段长短的方法主要有：*叠合法：把两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一条直线上，根据另一端点的位置关系来比较。*度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度，再进行比较。线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。这时AM=MB=(1/2)AB或AB=2AM=2MB。4.3角角的定义：*有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。*角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角的表示方法：*用三个大写字母表示，顶点字母写在中间，如∠AOB（顶点为O，边为OA、OB）。*用一个大写字母表示，当顶点处只有一个角时，如∠O。*用一个数字表示，如∠1。*用一个希腊字母表示，如∠α(阿尔法)、∠β(贝塔)、∠γ(伽马)等。角的度量：角的度量单位是度、分、秒。把一个平角180等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。1°=60′，