简明理论力学课件 09刚体的平面运动

简明理论力学第二篇运动学第九章刚体的平面运动Planarkinematicsofrigidbodies§9-2平面运动分解为平动和转动§90-5平面图形内各点的加速度§9-1

平面运动的基本概念§9-3平面图形内各点的速度§9-4平面图形的瞬时速度中心第九章刚体的平面运动Planarkinematicsofrigidbodies9-1刚体平面运动的基本概念第九章刚体的平面运动Planarkinematicsofrigidbodies一、实例在桌面上移动的水杯，上水面始终与桌面平行一、实例直线行驶的自行车车轮的运动万花尺用万花尺画出的各种图案一、实例

刚体的平面运动——刚体上处于同一平面内各点到某一固定平面的距离保持不变。平面运动的概念二、平面运动的定义

S平面上的任一点都可以代表过这一点垂线上各点的运动。结论：

A1A2这条直线做平动，直线上各点的运动可以用直线上A点的运动表示；因此：

S这个平面图形的运动就可以代表整个刚体的运动。三、刚体的平面运动简化为平面图形的运动NM即:刚体的平面运动可以简化为平面图形的运动。模型：

平面图形:

在刚体上作平行于固定平面的平面，这样的平面与刚体轮廓的交线所构成的图形。

平面图形上的任意直线:

这一直线的运动可以代表平面图形的运动，也就是刚体的平面运动。三、刚体的平面运动简化为平面图形的运动9-2平面运动分解为平动和转动第九章刚体的平面运动PlanarkinematicsofrigidbodiesOxyIBAA'B'III'I''AB

至A'B'的运动可以这样看：1、由第一位置II'平动至以A'为基点转动至II1、由第一位置I平动至I''以B'为基点转动至II一、刚体平面运动的分解OxyIBAA'B'III'I''注：1、图形的平动与基点的选择有关。2、图形的转动与基点的选择无关。称为平面图形的角速度。称为平面图形的角加速度。

3个独立变量随时间变化的函数，即为刚体平面运动方程：二、刚体平面运动方程小结:1.刚体的平面运动可以简化为平面图形的运动。2.平面图形的运动可以分解为随同基点的平动（牵连运动）和绕基点的转动（相对运动）。3.平面图形的平动成分与基点的选择有关；平面图形的转动成分与基点的选择无关，无论以谁为基点求得的角速度、角加速度都是平面图形整体的角速度、角加速度。曲柄OA以匀角加速度α绕O轴转动，带动半径为r的齿轮I沿半径为R的齿轮II滚动。如运动初始时，角速度ω0=0，位置角φ0=0，试写出动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。思考题：思考题提示：

9-3

平面图形内各点的速度第九章刚体的平面运动Planarkinematicsofrigidbodies

速度合成定理应用之一：基点法

速度合成定理应用之二：速度投影法

速度合成定理应用之三：速度瞬心法一、基点法

——速度合成定理的应用y´x´ABωvAvAvBAvBvAvBAyxOvAvA定系－Oxy基点－A平移系－Ax´y´平面图形－S平面图形的角速度－ωS基点速度－

vA速度合成定理－va=ve+vr速度合成定理－va=ve+vr

定轴转动时的速度公式－v＝ω

r,在平移系中为：y´x´AωvBvAvBAyxOSBva=vBve=vAvr=vBAvB=vA+vBAvBA＝ωrB

´

平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和。r

B一、基点法

——速度合成定理的应用（1）分析各刚体的运动，取平面运动刚体研究；（2）分析与平面运动刚体连接点的运动，选取运动已知的点为基点；vB=vA+vBA（3）由基点法的速度合成定理确定其余量；大小：？？方向：

（4）由三角关系求出所求量。基点法解题步骤：vA30°AB例题已知：AB=l=200mm;

vA=200mm/s求：（1）杆端B的速度vB

（2）AB杆角速度

ABvBvAvBA解：取A点为基点

AB解：取B点为基点vBvAB例题已知：AB=l=200mm;

vA=200mm/s求：（1）杆端B的速度vB

（2）AB杆角速度

ABvA30°ABvB

AB二、速度投影法应用速度合成定理vB=vA+vBA等号两侧分别向AB投影：因为vAB垂直于rAB，

速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。SωBvAαvAvBAvBASωBvAαAvBβvAvA30°AB例题已知：AB=l=200mm;

vA=200mm/s求：（1）杆端B的速度vB

（2）AB杆角速度

ABvB60°解：杆AB——

平面运动分析A、B点的速度方向，由速度投影定理，得：说明：速度投影法不能求ωAB；速度投影法不能求vC。30°小结:1.基点法：通常先选一个速度已知的点作为基点，然后以基点为坐标原点建立动系，且使动系内各点的运动都与基点的运动相同，及动系为平动，最后根据合成运动的速度合成定理求平面图形内任一点的速度。2.投影法：将AB两点的速度向AB连线投影，可得：3.基点法是求解平面图形上一点速度的基本方法，即可求速度，又可求相对速度及平面图形的角速度；速度瞬心法一种简便方法，但不能求相对速度及平面图形的角速度。vB=vA+vBA思考题：图示平面图形上两点速度分布，哪一个分布是可能的（）。（A）（B）（C）（D）第九章刚体的平面运动Planarkinematicsofrigidbodies

9-4

平面图形的瞬时速度中心(InstantCenterforVelocityofabody)

§9-4

平面图形的瞬时速度中心(InstantCenterforVelocityofabody)Sω一、速度瞬心的概念与速度瞬心法

某瞬时，平面图形上速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称“瞬心”，用字母“C

”表示。CADBvBvAvD即：vC=0以瞬心C为基点，则任一点A的速度为vA=vC+vAC即：vA=vACvA=

vAC=AC·ω大小：方向：指向与ω的转向一致平面图形上速度分布1.瞬心的概念2.速度瞬心法(MethodofInstantCenter)——速度瞬心法Sω一、速度瞬心的概念与速度瞬心法CADBvBvAvD平面图形上速度分布

该瞬时，相当于平面图形绕瞬心C

的纯转动。其速度分布与定轴刚体相同。问题：瞬心C是否存在？瞬心C

是否唯一？瞬心C

如何确定？平面图形上各点速度关于瞬心C成线性分布SωAvAvAl二、速度瞬心“C”的确定方法1.瞬心C

的存在性与唯一性已知：vA和ω过A点作vA

矢量的垂线l，分析垂线l上各点速度。vMAM以A为基点，垂线l

任一点M的速度：变化M点的位置，总可找到一点C，使得：C可见：瞬心C

是存在的。由基点法求速度过程可知：瞬心

C

也是唯一的。瞬心C在已知点速度的垂直线上2.瞬心C

的确定方法（1）已知vA、vB

的方向，AvABvBC（2）已知vA、vB的大小（不等）vA

、vB平行，且ωCAvABvBCAvABvBωω（3）当平面运动刚体在另一固定面上只滚动而不滑动（纯滚动）时，瞬心C

即为两物体的接触点。Av0CωMvM（纯滚动）且vA、vB不平行。(a)(b)CvABωvB2.瞬心C

的确定方法AvABvBCωCAvABvBCAvABvBωωAv0CωMvM（纯滚动）CvABωvB(a)(b)几点说明：(a)瞬心C可不在平面运动刚体上，可在其延伸部分。(b)瞬心C的位置是变化的。(c)瞬心C速度为零，但加速度不为零。(d)一个平面图形仅有一个瞬心C，不同的平面图形有不同的瞬心C。情形（2）的特殊情况：（a）已知vA、vB

的方向，且vA、vB

互相平行AvABvB90°90°（b）已知vA、vB

的大小相等，AvABvB瞬心在无穷远，即：由瞬心法，得：该瞬时平面图形的角速度ω=0，该瞬时平面图形做平动——简称瞬时平动(instanttranslation)。瞬时平动刚体上各点的速度相等AvABvB90°90°AvABvB与平动区别：（1）仅在该瞬时，ω=0，刚体上各点的速度相同。（2）该瞬时，刚体上各点的加速度不同，如：ω=常数ωABAB杆做瞬时平动vAvBωABaAaB三、速度瞬心法的应用（1）分析各刚体的运动，取平面运动刚体研究；（2）分析与平面运动刚体连接点的速度，确定该平面运动瞬心C

；vA=

AC·ω（3）由瞬心法求得相应的量；vA

方向与AC垂直速度瞬心法求解步骤：ODCBAvO例题

已知：半径为R的圆轮在直线轨道上做纯滚动。轮心速度为vO。求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。

由vO＝R

得到解：圆轮与地面接触点A，由于没有相对滑动，因而在这一瞬时，A点的速度vA＝0。A点即为速度瞬心。假设这一瞬时的角速度为

。纯滚动圆轮上各点的速度vA30°AB解：由其速度分布可知其瞬心为C点vBC

AB例2：已知：AB=l=200mm;

vA=200mm/s求：（1）杆端B的速度vB

（2）AB杆角速度

AB用瞬心法求解小结:1.瞬心

——某瞬时，平面图形上速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称“瞬心”。2.速度瞬心法：以瞬心C为基点，求平面图形内任一点A的速度：即：A点的速度就等于A点相对于基点的速度。3.根据平面图形内两点的速度可以确定瞬心的位置。vA=vAC4.瞬时平动是指平面图形在某瞬时角速度为零，平面图形内各点的速度为零，但加速度不为零。已知：在曲柄连杆机构中AO=r，AB=L，当OA与AB成一水平直线时，杆OA有角速度ω，则连杆AB的瞬心在____点，连杆AB的角速度的大小为____，AB中点C的速度的大小为_____。思考题：9–5平面图形内各点的加速度第九章刚体的平面运动Planarkinematicsofrigidbodies一、加速度合成的基点法OxyωAB已知：平面图形的角速度－ω，A点的加速度－aA。

求：任一点B的加速度－aB。选A点为基点（即在A点固定平动坐标系）平面图形的角加速度－α，图形上B点的运动动系上牵连点的运动绕基点A的圆周运动（B点绝对运动）（B点相对运动）一、加速度合成的基点法OxyωABB点相对于基点A的加速度B点的加速度基点A的加速度

由牵连为平动的加速度合成定理，有其中：方向：方向：指向基点。指向与α的转向一致。其中：

平面图形内任一点的加速度，等于随基点的平动加速度（牵连加速度）与绕基点转动的法向、切向加速度（相对加速度）的矢量和。几点说明：（1）当基点A与所求点B的运动轨迹为已知曲线，则加速度合成关系为：（2）求解方法：——解析投影法。OxyωAB

曲柄－滑块机构，OA＝r，AB＝l，曲柄以等角速度ω绕O轴旋转。求：图示瞬时，滑块B的速度vB和加速度

aB，连杆AB的角速度角ωAB和加速度α

AB。例：ωAB解：杆AB——平面运动（1）速度分析（ωAB、vB）90o30oOBAωCC点为瞬心。由速度

瞬心法，得90o30oOBAωωAB（2）加速度分析（αAB、aB）选A点为基点（假定）（假定）大小

？？方向

其中：负号说明实际方向与图中相反。例题22已知：半径为R的圆轮在直线轨道上做纯滚动。求：圆轮瞬心点的加速度。解：圆轮瞬心在C点ORaOvOCaO，取圆心O为基点ORaOvOCα

例23：

图示滚压机构。滚子B沿水平面做纯滚动，曲柄OA半径为r=0.5m，转动角速度为ω=π(rad/s)，滚子的半径为R=0.5m，连杆AB的长度为l=0.866m。试求当曲柄与水平面交角为60°时，滚子的角加速度αB。ω60°30°αBη选A点为基点大小

？？方向

解：向η轴投影：小结:1.本节讲的加速度的求解方法为基点法：通常先选一个加速度已知的点作为基点，然后以基点为坐标原点建立动系，且使动系内各点的运动都与基点的运动相同，及动系为平动，最后根据牵连运动为平动的加速度合成定理求平面图形内任一点的速度。2.求解方法：解析投影法。思考题：已知：在曲柄连杆机构中AO=r，AB=L，当OA与AB成一水平直线时，杆OA有角速度ω，则连杆AB的角加速度α

=_____。9-6运动学综合运用第九章刚体的平面运动Planarkinematicsofrigidbodies●

复杂的机构中，可能同时有平面运动和点的合成运动问题，应注意分别分析、综合应用相关理论。●

对于这些复杂的机构运动，首先要分清各物体的运动形式，认清已知量和未知量的逻辑关系，然后从已知运动量的构件开始研究，依次选取研究对象，计算有关联接点的速度和加速度，最终把未知量求解出来。

轮O在水平面上作纯滚动，轮缘有一固定销连接滑块B，此滑块在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕O1轴转动。已知轮的半径为R=0.5m，在图示位置时，AO1是轮的切线，轮心的速度v0=0.2m/s，摇杆与水平面的交角为60°。求摇杆的角速度

。综-1

R=0.5m，v0=0.2m/s。求摇杆的角速度

。解：P分析轮O做平面运动；杆O1A做定轴转动；两物体在运动传递点B有相对运动。（1）轮O——平面运动P为轮O的速度瞬心,由速度瞬心法，得ω0（2）由点的合成运动方法分析B点的运动动点：动系：滑块B（或轮上固定销B）固结于摇杆O1A上（定轴转动）30°综-1解：Pω030°大小：？？方向：

综-1B点的速度分析

R=0.5m，v0=0.2m/s。求摇杆的角速度

。

曲柄OA以匀角速度ω=2rad/s绕轴O转动，并带动等边三角形板

ABC做平面运动；板上B点与杆O1B铰接，点C与套筒铰接，而套筒可在绕轴O2转动的杆O2D上滑动，如图所示。已知：OA=AB=O2C=l=1m，当OA水平、AB与O2D铅垂、O1B与BC在同一直线上时，求杆O2D的角速度。综-2ω=2rad/s，OA=AB=O2C=l=1m，当OA水平、AB与O2D铅垂、O1B与BC在同一直线上时，求杆O2D的角速度。解：P（1）三角形板ABC——平面运动由A点与B点的速度可知其瞬心为P。由速度瞬心法，得综-21.求杆O2D的角速度解：P（1）三角形板ABC——平面运动（2