工程图学教程课件 第3章 基本立体投影

第三章基本立体投影3.1基本立体3.1.1平面立体基本立体可分为平面立体和曲面立体。表面全部由平面围成的基本立体称为平面立体，如棱锥、棱锥等。（a）棱柱

（b）棱锥图

3-1平面立体3.1.2曲面立体表面包含曲面的基本立体称为曲面立体，如圆柱、圆锥、球体等。（a）圆柱

（b）圆锥

（c）球体图

3-2平面立体3.1.3基本立体的投影构成基本立体的所有表面以及形成该形体的特征线(轴线)投影的总和。3.2平面立体投影3.2.1平面立体的投影及表面取点1、棱柱棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱，本节仅讨论正棱柱的投影。图3-3棱柱各部分名称（1）棱柱的投影（a）立体图

（b）投影图

（c）省略坐标图3-4正六棱柱的投影正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。强调：①

构成几何形体所有几何元素，要能在三视图中找到对应位置。②

掌握立体投影的方位关系。③

画立体投影时要遵守“三等”关系，即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”。

④

画对称图形时，要线画对称轴线或中心线。（2）棱柱表面上点的投影平面立体表面上取点实际就是在平面上取点。首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。【例3-1】如图3-5（b）所示，已知棱柱表面上点A的正面投影a′，求作它的其他两面投影a、a″。（a）立体图

（b）题目

（c）解法如图3-5棱柱上

特别强调：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号。2、棱锥棱锥由锥顶、棱面、冷线、底面、底边组成。图3-6棱锥各部分名称（1）棱锥的投影棱锥由锥顶、棱面、冷线、底面、底边组成。（a）立体图

（b）投影图图3-7正三棱锥的投影正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，则棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的三角形线框所组成。（2）棱锥表面上点的投影首先确定点位于棱锥的哪个平面上，再分析该平面的投影特性。若该平面为特殊位置平面，可利用投影的积聚性直接求得点的投影；若该平面为一般位置平面，可通过辅助线法求得。方法：1）利用点所在的面的积聚性法。2）辅助线法。【例3-2】如图3-8（b）所示，折线MK、KN在正三棱锥表面上，已知MK、KN的V面投影，求作其H面和W面投影。3.3曲面立体投影3.3.1曲面立体的投影曲面立体的曲面是由一条母线（直线或曲线）绕定轴回转而形成的。在投影图上表示曲面立体就是把围成立体的回转面或平面与回转面表示出来。1、圆柱圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。圆柱面可看作一条直母线AB围绕与它平行的轴线OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。图3-9圆柱的形成及各部分名称（1）圆柱的投影总结圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。某投影面中的转向轮廓线，在不表示物体边界时不用画出。如图3-8转向轮廓线BB1，在V面投影不是表示物体边界，故b′b′1不用画出。（a）立体图

（b）投影图图3-10圆柱体的投影（2）圆柱面上点的投影

方法：利用点所在的面的积聚性法。（因为圆柱的圆柱面和两底面均至少有一个投影具有积聚性。）【例3-3】如图3-11（a）所示，已知圆柱面上点A的正面投影a′，求作点A的其余两个投影。图3-11圆柱上点的投影（a）题目

（b）作图（a）题目

（b）分析（c）作图【例3-4】如图3-12（a）所示，已知曲线AB在圆柱体表面上，且已知其V面投影，求作求作曲线AB的其余两个投影。图3-12圆柱表面曲线做法总结：圆柱体表面曲线作法（1）要找到代表空间曲线的六个极限位置的特殊点，即最上、最下、最前、最后、最左、最右。（2）极限位置的特殊点除端点外，一般位于转向轮廓线上。如B点在最前转向轮廓线上、C点在最右转向轮廓线上。2、圆锥圆锥表面由圆锥面和底面所围成。在圆锥面上通过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。图3-13圆锥体形成及及各部分名称（1）圆锥的投影

（a）立体图

（b）投影图图3-14圆锥的投影总结圆锥的投影特征：当圆锥的轴线垂直某一个投影面时，则圆锥在该投影面上投影为与其底面全等的圆形，另外两个投影为全等的等腰三角形。（2）圆锥面上点的投影

（a）作M点的H、W面投影

（b）辅助直线法

（c）辅助圆法图3-15圆锥的投影用辅助线法在圆锥面上取点圆锥面表确定点位置的方法：①

辅助线法。

②

辅助圆法。【例3-5】已知圆弧ABC位于圆锥体的表面，已知其V面投影，求作其H、W面投影。（a）题目

（b）分析

（c）作图3-16求作圆锥表面上圆弧3、圆球圆球的表面是球面，如图3-17(a)所示，圆球面可看作是一条圆母线绕通过其圆心的轴线回转而成。（1）圆球的投影（a）立体图

（b）投影图图3-17圆球的投影（2）圆球面上点的投影圆球面上点的作图方法：辅助圆法。圆球面的投影没有积聚性，求作其表面上点的投影需采用辅助圆法，即过该点在球面上作一个平行于任一投影面的辅助圆。（a）

题目：作M点的H和W面投影

（b）作图图3-18圆球面上点的投影3.4平面与立体相交3.4.1截交线的性质1、截交线的概念平面与立体表面相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。图3-19平面与立体表面相交2、截交线的性质（1）截交线一定是一个封闭的平面图形。（2）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平面和立体表面的共有线。截交线上的点都是截平面与立体表面上的共有点。

因为截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。3.4.2平面与平面立体相交平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线。（a）立体

（b）求作圆锥体被截后的左视图

（c）作图图3-20单剖切面的截交线当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。【例3-6】如图3-21（b）所示，四棱锥被P和Q两平面所截，已知其V面和H投影图，试作W面投影。图3-21两剖切面的截交线当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。（a）立体

（b）题目（c）作图【例3-7】如图3-22（a）所示，已知立体被截之后的两面投影，求作第三面投影。（a）

（b）

（c）（d）

（e）

（f）图3-22多剖切面的截交线3.4.2平面与曲面体相交1、圆柱的截交线截平面垂直于圆柱体的轴线截圆柱体，交线为圆。截平面平行于圆柱体的轴线截圆柱体，交线为平行于轴线的两条直线。截平面倾斜于圆柱体的轴线截圆柱体，交线为椭圆。图3-23圆柱的截交线（a）题目

（b）找特殊点（c）找中间点

（d）用光滑曲线连接

【作圆柱的截交线】【例3-8】如图3-24（a）所示，求作圆柱体被截之后的W面投影。（a）题目

（b）解法

（c）立体图图3-24圆柱体被挖去三棱锥形的孔2、圆锥的截交线截平面与圆锥轴线垂直，截交线为圆截平面过圆锥顶，截交线为直线截平面与圆锥轴线倾斜，且β＞α，截交线为椭圆截平面与圆锥轴线倾斜，且β=α，截交线为抛物线截平面与圆锥轴线倾斜，且β＜α，截交线为双曲线【作圆锥的截交线】（a）题目

（b）找特殊点（c）找中间点

（d）用光滑曲线连接

图3-23圆锥的截交线【例3-9】如图3-26（a）所示，已知圆锥被两个平面所截之后的V面投影，试补全H面和W面投影。（a）题目

（b）作图图3-26圆锥被两个平面所截3、圆球的截交线（a）立体图

（b）投影

图3-27圆球的截交线平面在任何位置截切圆球的截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚为直线。【作圆球的截交线】（a）题目

（b）找特点（c）找中间点

（d）用光滑曲线连接图3-28球体截交线画法【例3-10】如图3-29（a）所示，完成开槽半圆球的截交线。（a）题目

（b）解法图3-29开槽圆球的截交线3.4.4综合例题（a）题目（b）解法图3-30组合回转体的截交线当机件由几个回转体组合而成时，求组合回转体的截交线时，首先要分析构成机件的各基本体与截平面的相对位置、截交线的形状、投影特性，然后逐个画出各基本体的截交线，再按它们之间的相互关系连接起来。3.5立体与立体相交3.5.1相贯线的性质1、相贯线的概念两个基本体相交（或称相贯），表面产生的交线称为相贯线。（a）平面体与曲面体相贯

（b）回转体与回转体相贯

（c）多体相贯图3-31相贯线2、相贯线的性质（1）表面性。相贯线位于两个立体表面上。（2）封闭性。相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。（3）共有性。相贯线是两个立体表面的共有线，也是两个立体表面的分界线。相贯线的点是两个立体表面的共有点。3、相贯线的画法求两个立体相贯线的实质就是求它们表面的共有点。3.5.2平面体与回转体面体相贯线1、相贯线的作图方法平面图与回转体面体相交相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。具体作图过程如下：（1）分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。（2）求出各棱面与回转体表面的截交线。（3）连接各段交线，并判断可见性。

空间分析：四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。

投影分析：由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。2、平面体与回转体相贯线的种类（a）两外表面相贯线平面体与曲面体相贯线的种类（c）内表面与外表面相贯线（b）两内表面相贯线【例3-11】如图3-33（a）所示，试补全V面投影。3.5.3回转体与回转体面体相贯线1、两回转体相贯线的作图方法回转体与回转体相贯，最常见的是两圆柱体相贯。其相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。

回转体与回转体相贯线作图时，依次求出特殊点和一般点，判别其可见性，然后将各点光滑连接起来，即得相贯线。（a）立体图

（b）找特殊点（c）找中间点

（d）连接曲线3-34两圆柱体相贯线2、相贯线的近似画法相贯线的作图步骤较多，如对相贯线的准确性无特殊要求，当两圆柱垂直正交且直径有相差时，可采用圆弧代替相贯线的近似画法。如图3-35所示，垂直正交两圆柱的相贯线可用大圆柱的D/2为半径作圆弧来代替。图3-35相贯线的近似画法3、两圆柱正交的类型（a）两外圆柱面相交（b）两内圆柱面相交（c）两内圆柱面相交

两圆柱正交的类型4、正交圆柱体相贯线的变化趋势总结：（1）当直径不同的两圆柱体正交，相贯线为空间曲线，其投影在非圆视图中为弯向大圆柱体的圆弧。（2）当直径相同的两圆柱体正交，相贯线为椭圆，其投影在非圆视图中为通过两轴线