第09讲 概率的进一步认识-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（北师大版）（解析版）

第09讲概率的进一步认识【学习目标】1.通过具体情境了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；2.能够通过实验，获得事件发生的频率；利用稳定后的频率值来估计概率的大小，理解频率与概率的区别与联系.【基础知识】一．列表法与树状图法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．二．利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率。【考点剖析】一．列表法与树状图法（共5小题）1．（2022•商河县一模）从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出组成的两位数是4的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是4的倍数的结果数为2，所以组成的两位数是4的倍数的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．2．（2022•太平区一模）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是．【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．3．（2022•惠州一模）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题：（1）求全班学生总人数；（2）在扇形统计图中，a＝15，b＝60，C类的圆心角为54°；（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率．【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比；（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）；（2）∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人），∴C类所占百分比为×100%＝15%，C类的圆心角为360°×＝54°，B类百分比为×100%＝60%，∴a＝15，b＝60，54°；故答案为：a＝15，b＝60，54°；（3）列表如下：ABBCABABACABABBBCBBABBBCBCACBCBC由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果，∴全是B类学生的概率为＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．4．（2022•广陵区一模）甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是；（2）随机抽取2名，求甲在其中的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是；（2）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，所以甲在其中的概率＝＝．故答案为，．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．5．（2021秋•新兴县期末）某学校自主开发了A书法、B阅读，C绘画，D器乐四门选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．（1）若学生小玲计划选修两门课程，请写出她所有可能的选法；（2）若学生小强和小明各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？【分析】（1）利用直接列举得到所有6种等可能的结果数；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）共有6种等可能的结果数，它们是：AB、AC、AD、BC、BD、CD；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．二．利用频率估计概率（共5小题）6．（2022•济南二模）在一个不透明的口袋中，放置6个红球、2个白球和n个黄球．这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值可能是（）A．12 B．10 C．8 D．16【分析】根据统计图可知，黄球出现的频率为0.6，再利用频率估计概率即可得出答案．【解答】解：由统计图可知，黄球出现的频率为0.6，∴＝0.6，解得n＝12，故选：A．【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，得出黄球出现的频率为0.6是解题的关键．7．（2021秋•大冶市期末）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）A．32个 B．36个 C．40个 D．42个【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．【解答】解：设盒子里有白球x个，根据＝得：＝解得：x＝32．经检验得x＝32是方程的解．答：盒中大约有白球32个．故选：A．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．8．（2022•邗江区一模）新疆地区气候干燥，是我国三大棉花产地之一，盛产高品质长绒棉．在某品种长绒棉种子发芽率实验中，研究所工作人员选取条件基本相同的试验田，同时播种并核定发芽率，得到如下数据：测试棉花种子粒数10020050010002000500010000发芽粒数98192478953190247589507则该品种长绒棉种子的发芽率约是0.95（结果精确到0.01）．【分析】根据频率的计算公式直接求解即可．【解答】解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，∵频率＝，∴长绒棉种子的发芽率约是＝0.9507≈0.95，故答案为：0.95．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握频率的计算公式是解答此题的关键．9．（2022•沈河区校级模拟）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除颜色外其他均相同，其中有4个红球，每次摸球前先将例子中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是20．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得，＝0.2，解得，n＝20．故估计n大约有20个．故答案为：20．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．10．（2021秋•高青县期末）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5996b295480601摸到白球的频率a0.640.580.590.600.601（1）上表中的a＝0.59，b＝116；（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数．【解答】解：（1）a＝59÷100＝0.59，b＝200×0.58＝116．故答案为：0.59，116（2）“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；故答案为：0.6（3）12÷0.6﹣12＝8（个）．答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球；【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•桐柏县一模）一个不透明的袋子中放入四个除标号外其余均相同的小球，四个小球的标号分别是2，1，0，﹣1，随机从这个袋子中一次取出两个小球，取出的两个小球上数字之积为非负数的概率是（）A． B． C． D．【分析】直接根据题意画出树状图，再利用概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图．则取出的两个小球上数字之积分别为2，0，﹣2，2，0，﹣1，0，0，0，﹣2，﹣1，0，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球上数字之积为非负数的结果有8种，∴取出的两个小球上数字之积为非负数的概率为．故选：C．【点评】本题考查列表法与树状图法，正确得出所有等可能的结果是解答本题的关键．2．（2022•信阳模拟）第24届冬奥会期间，小牛收集到4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀后摸出1张，放回洗匀再摸出一张，则这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率．【解答】解：设单板滑雪用A表示，花样滑冰用B表示，双板滑雪用C表示，冰球用D表示，树状图如下：由上可得，一共有16种可能性，其中这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的可能有2种，故这两张卡片正面图案恰好是“单板滑雪”和“双板滑雪”的概率是，故选：B．【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．3．（2022•丰台区二模）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是（）A． B． C． D．【分析】列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图．∵共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上的结果有1种，∴两枚硬币全部正面向上的概率为．故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．4．（2022•柯桥区一模）学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（）A． B． C． D．【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：1231（1，1）（2，1）（3，1）2（1，2）（2，2）（3，2）3（1，3）（2，3）（3，3）所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，∴小明和小慧乘坐同一辆车的概率是＝，故选：B．【点评】此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．5．（2022•东阳市模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，得到的实验结果成如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 B．扔一枚面额一元的硬币，正面朝上 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀” D．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，抽到的卡片上标有奇数【分析】根据频率估计概率分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；B、扔一枚面额一元的硬币，正面朝上的概率是，不符合这一结果，故此选项不符合题意；C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，某人随机出的是“剪刀”的概率是，符合这一结果，故此选项符合题意；D、从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现奇数的概率是＝，不符合这一结果，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．6．（2022春•南山区校级期中）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 B．实验得到的频率与概率不可能相等 C．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 D．频率等于概率【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．【解答】解：A、概率是定值，故本选项错误，不符合题意；B、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同，故本选项错误，不符合题意；C、当实验次数很大时，概率稳定在频率附近，正确，故本选项符合题意；D、频率只能估计概率，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【点评】此题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．二．填空题（共8小题）7．（2022•贾汪区二模）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印在边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中白色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计白色部分的总面积约为3.6cm2．【分析】先根据经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，可估计点落入白色部分的概率为0.4，再乘以正方形的面积即可得出答案．【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，∴估计点落入白色部分的概率为0.4，∴估计白色部分的总面积约为3×3×0.4＝3.6（cm2），故答案为：3.6．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．（2022•金东区二模）若a是从﹣1、0、1中随机取的一个数，b是从0、2022中随机取的一个数，则点（a，b）在坐标轴上的概率是．【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：列表如下：﹣1010（﹣1，0）（0，0）（1，0）2022（﹣1，2022）（0，2022）（1，2022）由表知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在坐标轴上的有4种结果，所以点（a，b）在坐标轴上的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（2022•商城县二模）将分别标有“一”“起”“向”“未”“来”汉字的5个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“未来”的概率是．【分析】将“一”“起”“向”“未”“来”汉字分别记作A、B、C、D、E，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：将“一”“起”“向”“未”“来”汉字分别记作A、B、C、D、E，列表如下：ABCDEA（B，A）（C，A）（D，A）（E，A）B（A，B）（C，B）（D，B）（E，B）C（A，C）（B，C）（D，C）（E，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（E，D）E（A，E）（B，E）（C，E）（D，E）由表知，共有20种等可能结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“未来”的有2种结果，所以两次摸出的球上的汉字能组成“未来”的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．（2022•兴城市一模）从一副普通的扑克牌中取出四张，它们的牌面数字分别是3，4，6，6，将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面是3的概率是．【分析】根据题意得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：从中随机抽取一张共有4种结果，其中抽取的这张牌的牌面是3的只有1种结果，所以从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面是3的概率为，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（2022•东城区二模）不透明布袋中有红、黄小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀．再随机摸出一个，则两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为．【分析】根据题意画树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：画树状图如图：共有4个等可能的结果，两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的有2种结果，所以两次摸到的球中，一个红球、一个黄球的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．（2022•锦州一模）在一个不透明的盒子中，装有若干张完全相同的卡片，从盒子中取出20张卡片并做标记后放回盒中．现将卡片充分摇匀后，随机摸出一张卡片，记下该卡片是否有标记后再放回盒子中．不断重复这一过程，统计发现，摸到有标记卡片的频率稳定在0.02附近，由此估计盒子中卡片的数量为1000张．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：根据题意得：20÷0.02＝10009张，答：估计盒子中卡片的数量为1000张，故答案为：1000．【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．13．（2022•密云区二模）某学习小组进行摸球试验，在一个暗箱里放了10个只有颜色不同的小球，将小球搅匀后任意摸出一个记下颜色，并放回暗箱再次将球搅匀后任意摸出一个，不断重复．下表是实验过程中记录的摸到白球的相关数据：摸球的次数m20030040050080010002000摸到白球的次数n1151862462964766041198摸到白球的频率0.5750.6200.6150.5920.5950.6040.599请估计从暗箱中任意摸出一个球是白球的概率为0.60（精确到0.01），并以此推断暗箱中白球的个数为6．【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.6左右，即为摸出白球的概率，然后乘以箱子里总球的个数即可．【解答】解：观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.60左右，则P白球＝0.60．暗箱中白球的个数为10×0.6＝6（个）；故答案为：0.60，6．【点评】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．14．（2022•富阳区二模）在一个不透明的布袋中，有除颜色外完全相同的4个黑球，若干个白球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.6，由此可估计袋中白球的个数约为6个．【分析】设袋中白球的个数约为x个，根据概率公式列出方程，然后求出x的值即可．【解答】解：设袋中白球的个数约为x个，根据题意得：＝0.6，解得：x＝6，经检验x＝6是原方程的解，答：估计袋中白球的个数约为6个；故答案为：6．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系三．解答题（共5小题）15．（2022•江北区模拟）为弘扬中华传统文化，草根一中准备开展“传统手工技艺”学习实践活动．校学生会在全校范围内随机地对本校一些学生进行了“我最想学习的传统手工技艺”问卷调查（问卷共设有五个选项：“A一剪纸”、“B一木版画雕刻”、“C一陶艺创作”、“D一皮影制作”、“E一其他手工技艺”，参加问卷调查的这些学生，每人都只选了其中的一个选项），将所有的调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：请你根据以上信息，回答下列问题：（1）补全上面的条形统计图；（2）求扇形E的圆心角度数；（3）该校共有3600名学生，请你估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数．【分析】（1）用选C的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以选D的人数所占的百分比得到选D的人数，然后补全条形统计图；（2）用360°乘以样本中选E的人数所占的百分比得到扇形E的圆心角度数；（3）用3600乘以样本中选A的人数所占的百分比即可．【解答】解：（1）调查的总人数为：90÷30%＝300（人），所以选D的人数为300×25%＝75（人），补全条形统计图为：（2）扇形E的圆心角度数为360°×＝18°；（3）3600×＝792（人），估计该校学生“最想学习的传统手工技艺”为“A一剪纸”的人数为792人．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．16．（2022•南关区一模）一个不透明的口袋中装有2个黄球、1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同．从口袋中随机摸出1个小球，记下颜色后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球至少有一个白球的概率．【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：列表如下：黄黄白黄（黄，黄）（黄，黄）（白，黄）黄（黄，黄）（黄，黄）（白，黄）白（黄，白）（黄，白）（白，白）由表知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的球至少有一个白球的有5种结果，所以两次摸出的球至少有一个白球的概率为．【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（2022•工业园区模拟）甲、乙、丙3名同学进行羽毛球单打比赛，现需选取2名同学打第一场比赛．（1）若已确定甲打第一场，需再从另2名同学中随机选取1名，则选中乙的概率为；（2）求随机选取2名同学，其中有乙同学的概率．【分析】（1）由一共有2种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）若已确定甲打第一场，需再从另2名同学中随机选取1名，则选中乙的概率为；故答案为：；（2）从甲、乙、丙，3名同学中随机选取2名同学，所有可能出现的结果有：（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙），共有3种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“随机选取2名同学，其中有乙同学”（记为事件A）的结果有2种，则P（A）＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（2022•鞍山一模）小源同学决定利用假期在鞍山本地游玩，鞍山著名景点分别有：A．千山风景区；B．玉佛苑景区；C．汤岗子温泉；D．海城白云山景区．由于受到时间限制，只能选择两个不同），小源同学随机抽两次，每次抽一个签（抽到的签不放回），每个签抽到的机会相等．（1）小源第一次恰好抽到“玉佛苑景区