第22讲 相似三角形的性质与判定（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第22讲相似三角形的性质与判定1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3.相似三角形周长的比等于相似比.∽，则由比例性质可得：4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.∽，则分别作出与的高和，则要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．考点1：根据相似三角形的性质求三角形的相关参数例1．如果两个相似三角形的对应高之比是，那么它们的周长比是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．【解析】解：∵对应高之比是1：2，∴相似比=1：2，∴对应周长之比是1：2．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．例2．相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为______．【答案】4:3【分析】根据相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比解答即可．【解析】解：相似三角形对应高的比为4:3，那么它们的对应中线的比为4:3．故答案为：4:3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于基础题型，熟知相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．例3．若两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是______，面积比是______．【答案】5:225:4【分析】根据周长比、面积比与相似比的关系可以解得答案．【解析】相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方．两个相似多边形的对应边之比为5:2，则它们的周长比是5：2，面积比是25：4．故答案为5：2；25：4．【点睛】本题考查相似比的性质，熟练掌握周长比、面积比与相似比的关系是解题关键．例4．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．【答案】8【分析】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【解析】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x，则，∴；∴三角形的最短边为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．例5．与的相似比为1：4，则与的周长比为（

）．A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【答案】C【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”即可解决问题．【解析】∵与的相似比为1：4，∴与的周长比为1：4，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．考点2：相似三角形的应用（利用相似三角形测高）例6．如图，身高为的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得，，于是得出树的高度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解析】解：如图，∵，，∴，∵小明与大树都与地面垂直，∴，∴，即，解得，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．例7．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，且幻灯片中图形的高度为，则屏幕上图形的高度为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，先证明，再根据“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”求出的长即可．【解析】解：如图，由题意得，，，光源到幻灯片的距离为光源，到屏幕的距离为，点A到的垂线段的长为，点A到的垂线段的长为，，，故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”是解答此题的关键．例8．中国教育家孔子周游列国年，其中年居卫卫国即现在的濮阳，龙湖论语广场有一尊孔子雕像，数学兴趣小组的同学为了测量雕像的高度顶端到水平地面的距离，在雕像旁边的水平地面上处放了一面镜子平面镜的厚度忽略不计，组长小丽沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到雕像的顶端，此时测得米，米，小丽的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度______米．【答案】【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解析】解：由题意，，∽，，，，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是理解光的反射定理，属于基础题，中考常考题型．考点3：利用相似三角形的性质求解平行问题例9．如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（

）A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【答案】C【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可．【解析】解：∵，∴∴＝，∵AF：BF＝2：5，∴＝，即AG＝BD，∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，∴CD＝BD，∴＝＝，∵，，∴＝＝，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．例10．如图，已知E、F分别是△ABC中AB、AC边上的点，，且AE：AB＝3：5，那么为（）A．3：5 B．3：25 C．9：25 D．9：16【答案】D【分析】根据，可得△AEF∽△ABC，再相似三角形的性质，即可求解．【解析】解：∵，∴△AEF∽△ABC，∴＝∴＝9：16．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．例11．如图，在中，E是线段上一点，，过点C作，交BE的延长线于点D．若的面积等于16，则的面积等于______．【答案】12【分析】先根据得出，根据相似三角形的性质得出，从而求出，再根据求出，最后求出的面积即可．【解析】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∵的面积等于16，∴，∵，∴，∴．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质．例12．如图，在中，中线，相交于点O，连接，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先判断为的中位线，则根据三角形中位线性质得到，，于是可对①进行判断；证明，利用相似比得到，，则可对②进行判断；加上，则可对③进行判断；利用三角形面积公式得到，，则可对④进行判断．【解析】解：、为的中线，为的中位线，，，所以①正确；，，，，所以②错误；，，所以③正确；，，，，，所以④正确．综上，①③④正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了三角形中位线性质和相似三角形的判定与性质．考点4：网格问题例13．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】【分析】求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解析】解：如图，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积．证明是解题的关键．考点5：分类讨论问题例14．如图，，，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为___________．【答案】或2或12【分析】根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．【解析】解：若，∴，设，，，解得；若，∴，设，，，解得；综上所述，的长度为或2或12，故答案为：或2或12．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键．考点6：最值问题例15．如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（

）

A． B． C．17 D．18【答案】B【分析】过C作，取，连接，根据勾股定理得到，易得，即可得到，根据两点间线段最短得到当、、三点共线时最短即可得到答案；【解析】解：如图过C作，取，过点E作于点H，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∴当、、三点共线时最短，∴，∴，故选B；

【点睛】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题．考点7：相似三角形的性质与判定综合问题例16．的边上有三点，各点位置如图所示，若，，，，，，则四边形与的面积比为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．【解析】解：∵，，，∴,，，，，，，，，，，同法可证，，，，，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．例17．如图，为等边三角形，在边上分别任取一点，使得，连接相交于点，现有如下两个结论：①；②若，则；下列判断正确的是（）

A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错【答案】A【分析】根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到①正确；根据等边三角形的性质得到，根据线段的和差得到，过作交于，根据相似三角形的性质得到②正确．【解析】解：在等边中，，在与中，，，，，，，，，故①正确；是等边三角形，，，，，，如图，过作交于，

，，，，，，故②正确；故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键．例18．如图，已知正方形，为的中点，是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于点，现在有如下五个结论：①一定是直角三角形；②；③当与重合时，有；④平分正方形的面积；⑤，则正确的有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】如图1中，证明，，可得，可得，，可得①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，证明，可得，即，可得，可得③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，可得④错误，如图1中，于H，，同理可得：，可得，结合，可得⑤正确．【解析】解：如图1中，

∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正确，如图2中，当M与C重合时，设．则，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正确，如图3中，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误，

如图1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正确，故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．考点8：相似三角形的性质与判定解答证明题例19．如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：(2)若，求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证．【解析】（1）证明：，，在和中，，，．（2）证明：，，，即，在和中，，，，由（1）已证：，，．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．例20．如图，在中，，D是的中点，延长至E，连接．

(1)求证：；(2)在如图1中，若，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作于F，设H是的中点，过点H作交于G，交于M．求证：①；②．【答案】(1)证明见解析(2)①见解析，②见解析【分析】（1）先证出是的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，最后由证得；（2）①连接，由三角形中位线的性质得到，从而，再由，，得到，可证得，从而，又，等量代换即可；②先证明，再由为的中位线，得到，从而为中点，由于为中点，故得证.【解析】（1）证明：∵是的中点，∴是的垂直平分线，又∵E在上，∴，在和中，∴（2）证明：①连接，

∵分别是和的中点，∴为的中位线，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴；②在和中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵A、H分别为和中点，∴为的中位线，

∴，∴，即为中点，又∵，∴为中点，∴.【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质、三角形中位线的定义和性质，熟练掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比即可解答．【解析】解：∵两个相似三角形周长的比为，∴相似三角形的对应边比为，故选．【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似三角形的对应边比，掌握相似三角形的性质是解题的关键．2．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，首先得到，，然后证明出，进而得到，然后利用三角形面积公式求出，最后利用求解即可．【解析】如图所示，连接，

∵D、E分别为中点，∴，，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解．【解析】解：∵为等边三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．4．（2023·安徽·统考中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．【解析】解：∵四边形是正方形，，，∴，，，∵，∴∴，，∴，则，∴，∵，∴，∴∴，在中，，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．【解析】解：∵矩形的边，，∴，，，由题意知，∴，又∵，∴，∴，由折叠知，，∴，∴，即，连接，设与交于点F，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，，∴，由折叠知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴点的坐标是，故选：D．

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键．二、填空题6．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．

【答案】27【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．【解析】解：四边形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．7．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．【答案】/4.8【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．三、解答题8．（2018·陕西·统考中考真题）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【答案】河宽为17米．【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解析】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴，∴AB＝17，即河宽为17m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．（2023·福建·统考中考真题）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．

(1)求证：；(2)求的度数；(3)若是的中点，如图2．求证：．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）由旋转的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再证明、，即可证明结论；（2）如图1：设与的交点为，先证明可得，再证明可得，最后运用角的和差即可解答；（3）如图2：延长交于点，连接，先证明可得，再证可得；进而证明即，再说明则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答．【解析】（1）解：是由线段绕点顺时针旋转得到的，，，．，．．，．．（2）解：如图1：设与的交点为，

，，，．，，．又，．，．（3）解：如图2：延长交于点，连接，

，，．是的中点，．又，，．，，．由（2）知，，．

，，，，即．，，．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．一、单选题1．在△ABC中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(

)A．2 B． C．4 D．2【答案】A【解析】根据相似三角形对应边成比例，得：△A′B′C′的三边比为2:3:4，由于两边长为1和1.5，即2:3，则第三边为，故选A.2．在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则下列等式中错误的是（

）A．AC﹒BC=AB﹒CD B．AC﹒BD=BC﹒ADC．AC2=AB﹒AD D．CD2=AD﹒BD【答案】B【分析】如图，根据△ABC面积的两种计算方法可以判断A成立，根据△ACD~△CBD可以判断B错误、D正确，根据△ACD~△ABC可以判断C正确．【解析】解：如图，A、根据△ABC面积的两种计算方法可知等式成立，正确；B、由题意可知△ACD~△CBD,所以,所以AC﹒BD=BC﹒CD，错误；C、由题意可知△ACD~△ABC,所以,所以AC2=AB﹒AD，正确；D、由题意可知△ACD~△CBD,所以,所以CD2=AD﹒BD，正确．故选B．【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形被斜边上高分成若干相似三角形是解题关键．3．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于

（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：在△BDE和△ADC中，∠C=∠E，∠BDE=∠ADC∴△BDE∽△ADC∴∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，CD=3∴DE=故选D.考点：相似三角形的判定与性质.4．如图，在中，，垂直平分，延长至点D，使，连接．若，则等于（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质证明，可得到，即可得到，得到，即可得到结果；【解析】由题意知：垂直平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，在Rt△AMN和Rt△NDC中，，∴，∴，∵，∴，，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质和判定及相似三角形的判定和性质，准确计算是解题的关键．5．如图，已知在中，，，则下列比例式中正确的个数为（

）①

②

③

④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用相似三角形的判定及性质分析结论即可．【解析】解：∵，∴，∴，故①错误；∵，∴，故④正确；由可得：，即，∴，故②正确；∵，∴，∴，故③正确；综上所述：正确的有②③④．故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质．6．如图，、是的两条高，、相交于，则下列结论不正确的是（

）．A．∽ B．∽C．∽ D．∽【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.【解析】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AEC∴又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正确；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正确；∵△BOE∽△COD∴又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正确；无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键.7．如图，已知的面积是12，，点，分别在边，上，在边上依次作了个全等的小正方形，，，，，则每个小正方形的边长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质以及相似三角形性质先求出相应情况下的正方形边长，然后进一步寻求规律即可.【解析】当作了1个正方形时，如图所示，过A作AM⊥BC，垂足为M，交GH于N，∴∠AMC=90°，∵四边形EFGH为正方形，∴GH∥BC，GH=GF，GF⊥BC，∴∠AGH=∠B，∠ANH=∠AMC=90°，∵∠GAH=∠BAC，∴△AGH~△ABC，∴AN:AM=GH:BC，∵△ABC面积为12，BC为6，∴，∴AM=4，设GH=，∵GF=NM=GH，∴AN=AM−NM=AM−GH=，∴，∴，同理，当时，根据正方形性质可得：DN=2DE，∴，∴，以此类推，当为第n个正方形时，每个小正方形边长为：，故选：D.【点睛】本题主要考查了正方形性质以及相似三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.8．如图，矩形中，，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据矩形的性质可求BD，，从而得到QC，由勾股定理即可求解；【解析】解：∵在矩形中，，，∴∵AB∥CD，∴∵∴∵∴∴∴故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．9．如图，直角三角形中，，于，于，则下列说法中正确的有（

）个．①图中有4个三角形与相似；②；③；④；⑤若，，则；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据题意，对选项逐一分析，即可得出结论.【解析】解：因为，，所以=90°，=90°，所以=90°，可得，所以，所以，即，故选项②正确；由题意，于，于E，所以=90°，，，，由相似的判定可知图中有4个三角形与相似，分别是、、、，故选项①正确；因为，所以∠A与∠B互余，于，于，∠BCD与∠B互余，∠CDE与∠DCE互余，∠DCE与∠BCD互余，所以，故选项③正确；因为，于，于，根据③中结论，所以，，因为，所以，两式相乘即可得，故选项④正确；若，，由勾股定理可得AB=5，利用等面积可得，故选项⑤错误；因为DE∥BC，所以，故选项⑥正确；5个正确，故答案为：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.10．“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边做正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，若，，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过说明△ADE≌△MDG，得出AE＝GM，DE＝DG．利用△DMG～△GMC得出比例式，求得CM；利用S1−S2＝15，得到S△EDC−S矩形CMHB＝15，列出方程，解方程，结论可得．【解析】解：∵四边形AHMD为正方形，∴DM＝DA＝7，∠ADM＝90°．∵DG⊥DE，∴∠GDE＝90°．∴∠ADE＋∠EDM＝90°，∠GDM＋∠CDM＝90°．∴∠ADE＝∠GDM．∵∠A＝90°，∠DMG＝90°，∴∠A＝∠DMG．∴△ADE≌△MDG（ASA）．∴DE＝DG，AE＝GM．∴四边形DEFG为正方形．设AE＝x，则GM＝x．在Rt△ADE中，DE＝＝=∵∠DGC＝90°，∴∠DGM＋∠CGM＝90°．∵GM⊥CD，∴∠DMG＝∠GMC＝90°．∴∠CGM＋∠GCM＝90°．∴∠DGM＝∠GCM．∴△DMG～△GMC．∴，∴CM＝．∵S1−S2＝15，∴（S1＋S△CMN）−（S2＋S△CMN）＝15．即S△EDC−S矩形CMHB＝15．∴×CD×AD−CM×MH＝15．∴×AD×（CM＋DM）−CM×AD＝15．∴×7×（7＋）−7×＝15．解得：x＝±（负数不合题意，舍去）．∴x＝．∴DG＝AE＝==2故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质．利用相似三角形的性质得出比例式是表示线段长度的重要方法．二、填空题11．已知∽，它们的面积比为，则对应角的角平分线的比等于______．【答案】【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【解析】解：∵∽，它们的面积比为，∴它们的对应角的角平分线的比为故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．12．如果的三边长分别是3、4、5，与其相似的的最长边为15，那么的周长是______.【答案】36【分析】根据两三角形相似，对应线段成比例求的另外两边长即可得出周长.【解析】设的另两边长为，∵∴解得：∴的周长故填：36.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握性质是关键.13．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为______米．【答案】10【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度．【解析】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴DE=10，即水塔的高度是10米．故答案为10．【点睛】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形得出比例式．14．如图，EF分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB＝1，则AD＝_____．【答案】【分析】根据相似多边形的性质，对应边成比例，列出比例式求出AD．【解析】解：∵E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，∴AE＝AD，BF＝BC，∵矩形ABCD∽矩形EABF，∴，∴AE•AD＝AB2=1，即AD2＝1，解得，AD＝，故答案为：．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键．15．如图，点E是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点F，若，则_______．【答案】【分析】根据四边形是平行四边形可得，，根据相似三角形的性质即可求出的长度．【解析】解：∵四边形是平行四边形∴∴即∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质和判定，找出相似三角形是解题的关键．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________．【答案】【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可【解析】解：作AE⊥BC，CF⊥BD∵∴△ABD和△BCD等高，高均为AE∴∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴∴故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键17．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是_____．【答案】秒或4秒【分析】分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.【解析】设运动时间是秒∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动由题意可得：当时，点P运动到端点B，此时点Q正好运动到端点A，均停止运动则要使A、P、Q三点能构成三角形，t的取值范围为，且以A、P、Q为顶点的三角形与相似∴或即或∴或故答案为：秒或4秒.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，依据题意将三角形相似分两种情况讨论是解题关键.18．如图，边长为的正方形中，点是上一点，点是上一点．点关于直线的对称点恰好在延长线上，交于点．点为的中点，若，则=_____．【答案】5【分析】连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由点F，点G关于直线DE的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，证得△FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到HP=HQ，证得APHQ为正方形，利用正方形性质联系题中所给数据计算出正方形边长，然后再利用△FPH∽△EHG求得EG长．【解析】解：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，∵点F，点G关于直线DE的对称，∴DF=DG，正方形ABCD中，∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，∴∠GCD=90°，又在Rt△AFD与Rt△CDG中，∴Rt△AFD≌Rt△CDG，∴∠ADF=∠CDG，∴∠FDG=∠ADC=90°，∴△FDG是等腰直角三角形，∵DH⊥CF，∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°，∴四边形APHQ是矩形，∴∠PHQ=90°，∵∠DHF=90°，∴∠PHF=∠DHQ，又在△PFF与△DQH中有:∴△HPF≌△DHQ，∴HP=HQ，所以矩形APHQ是正方形；设正方形APHQ边长为a，则在Rt△MQH中，有（a-3）2+a2=17，解得a=4；∴FP=QD=AD-AQ=6-4=2，又易证△FPH∽△EHG，则有，即,又FH2=22+42=20，PH=4，∴EG=5故答案为5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题19．如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D．若△ABC的边BC上的高为6，面积为12，求△DEF的边EF上的高和面积．【答案】的边EF上的高为3，面积为【分析】证明△ABC∽△DEF，借助相似三角形的性质即可解决问题．【解析】解：在和中，∵，，∴．又，∴，与的相似比为．∵的边BC上的高为6，面积为，∴的边EF上的高为，面积为．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质定理的应用问题；解题的关键是准确判断、深刻分析、灵活论证．20．如图，在和中，G，H分别是边和的中点，已知．（1）中线与的比是多少？（2）与的面积比是多少？【答案】（1）中线与的比是2∶1；（2）与的面积比是4∶1．【分析】（1）先证明△BAC∽△EDF，推出∠B=∠E，，再证明△ABG∽△DEH，即可求出答案；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出答案．【解析】解：（1）∵，∴，又∵，∴△BAC∽△EDF，∴∠B=∠E，，∵G，H分别是边和的中点，∴BC=2BG，EF=2EH，∴，∴△ABG∽△DEH，∴，即中线与的比是2∶1；（2）∵△BAC∽△EDF，∴，即与的面积比是4∶1．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理并运用证明是解题的关键．21．如图，与相似，AD，BE是的高，，是的高，求证．【答案】见解析【分析】由△ABC与△A′B′C′相似可得∠ABD=∠A′B′D′，可证明△ABD∽△A′B′D，可得，同理可证明，可得出结论．【解析】证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴，同理可得，∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边成比例是解题的关键．22．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．【答案】PQ的长为120m【分析】证△PQR∽△PST，利用对应边成比例建立方程求解即可．【解析】解：设PQ＝xm，由题意可知QR∥ST，∴△PQR∽△PST∴．∴，解得：x＝120．∴PQ的长为120m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用对应边成比例建立方程是解题的关键．23．如图，在中，点D，E分别在边和上，且．（1）若，则等于多少？（2）若，则，各等于多少？【答案】（1）；（2），．【分析】（1）根据平行线的性质，得出，可得，依据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，由图形中的三角形、四边形的关系即可得出面积比；（2）由（1）得：且，可得：，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出三角形的相似比，即：，然后再根据图形中AD、DB、AB之间的关系即可得出答案．【解析】解：（1）∵DE//BC，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵，由（1）得：，∴，∴，∴，∴，∴，．【点睛】题目主要考查相似三角形的相似比及面积比之间的关系，熟练掌握相似三角形的基本性质是解题关键．24．如图，已知，．（1）求的长；（2）求的长；（3）求的度数．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由