第23讲 图形的位似（教师版）-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第23讲图形的位似1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.考点1：位似图形的有关概念例1．在平面直角坐标系中，把一个多边形的所有顶点坐标（其中有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上）分别乘以所对应的图形与原图形是（

）A．位似变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．平移变换【答案】A【分析】根据多边形的所有顶点坐标变化方式，判断即可．【解析】由题可得，多边形的所有顶点坐标分别乘以故原图形与新图形的对应点的坐标比为又∵有一个顶点为原点∴新图形是原图形以原点为位似中心，相似比为，得到的位似图形故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握其性质是解题的关键．例2．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_______.【答案】相似比【分析】根据性质“位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比”可填空．【解析】位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.故答案为相似比.【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是牢记位似图形的性质.例3．下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（

）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】B【分析】根据位似图形的定义判断即可.【解析】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，D中的两个图形是位似图形，C中的两个图形不是位似图形.故选B.【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形.例4．如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（）A．总与位似B．与不会位似C．当点D落在上时，与位似D．存在的两个位置使得与位似【答案】D【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，即可判断．【解析】解：与都是等边三角形，与相似，在旋转的过程中，只有当点D落在线段和线段的延长线上时，与相交与点C，在旋转的过程中，只有当点D落在线段和线段的延长线上时，与位似，故选：D．【点睛】本题考查了位似图形的定义，解决本题的关键在于位似图形对应顶点的连线交于一点，因此需熟练掌握位似图形的定义才能更好的解决本题．考点2：位似中心例5．图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（

）A．点A B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】根据位似图形的性质即可判断；【解析】解：根据位似图形的位似中心在对应点的连接线的交点处；故选：A．【点睛】本题主要考查位似图形的位似中心判断，掌握位似图形的性质是解题的关键．例6．如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（

）A．点 B．点 C．点 D．点【答案】A【分析】连接交于点，即可．【解析】解：如图，连接交于点，∴位似中心是点．故选：A．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．考点3：位似图形的性质例7．已知，如图，，，且，则与__________是位似图形，位似比为____________.【答案】7：4【分析】由平行易得△ABC∽△A′B′C′，且两三角形位似，位似比等于OA′：OA．【解析】解：∵A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴△ABC∽△A′B′C′，，，∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO，，∠A′B′C′=∠ABC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比=AB：A′B′=OA：OA′=（4+3）：4=7：4．【点睛】本题考查了相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比．例8．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是点________．

【答案】H【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．【解析】解：如图，连接并延长，

以点为位似中心，点D是点C的对应点，位似比为，则点A的对应点是H，故答案为：H．【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．例9．如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由位似三角形的性质逐一判断即可．【解析】解：位似属于相似，A对由位似可知：B对C对的相似比为D错故选D【点睛】本题考查了位似的性质，熟记位似的所有性质是解题的关键．考点4：求位似图形的有关坐标例10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，．以点O为位似中心，在原点的另一侧按2∶1的相似比将缩小，则点A的对应点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合A点坐标直接得出点的坐标．【解析】解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将A的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得．故选：D．【点睛】此题主要考查了位似变换问题，掌握性质及正确把握规律是解题关键．例11．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，且与的相似比为的位似图形，若点的坐标为，则点的坐标为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】相似比为，点是点的对应点，根据相似比与点的关系即可求解．【解析】解：点的坐标为，相似比为，∴当对应坐标的比为时，点的横坐标为，纵坐标为，即；当对应坐标的比为时，点的横坐标为，纵坐标为，即；综上所述，点的坐标为或，故选：．【点睛】本题主要考查图形的位似，理解并掌握位似图形中位似比与点坐标的关系是解题的关键．例12．如图，在平面直角坐标系中有两点和，以原点为位似中心，相似比为，把线段缩短为线段，其中点与点对应，点与点对应，且在y轴右侧，则点的坐标为________.【答案】【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解析】∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），∴点D的坐标为：，即，故答案为：．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．例13．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为_______．（结果用含，的式子表示）

【答案】【分析】过点分别作轴的垂线垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解．【解析】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，

∵与的相似比为，点是位似中心，∴∵，∴,∴，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．考点5：求位似图形的有关比值或数值例14．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形的面积与四边形的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【解析】∵四边形与四边形位似，位似中心点是点O，，∴，则＝＝故选：D【点睛】本题考查了位似的概念、相似多边形的性质，注意：根据性质，面积的比等于相似比的平方，而不是等于相似比．例15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图．正方形的面积为1，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为______．【答案】8【分析】根据正方形的面积为1，求出，根据位似比求出，周长即可得出.【解析】解：∵正方形的面积为1，∴，∵，∴，∴所求周长=；故答案为：8．【点睛】本题考查位似图形；根据位似性质得到大正方形的边长是解题的关键．例16．如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(4，0)，O(0，0)，B(2，6)，以点O为位似中心，将△AOB在第一象限缩小，若点B的对应点的坐标(1，3)，则的比值为_________．【答案】/0.25【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解析】解：如图，∵的坐标(1，3)，B(2，6)∴位似比为1：2∴．故答案为．【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．例17．如图，四边形的顶点为坐标原点，以为位似中心，作出四边形与四边形位似，若，的对应点为，四边形的面积为27，则四边形的面积为__________．【答案】12【分析】利用点A，A1的坐标可得到AO，A1O的长，可求出AO与A1O的比值，再利用位似图形面积比等于相似比的平方，就可求出四边形OA1B1C1的面积.【解析】∵A(6，0)的对应点为A1(4，0)，∴AO=6，A1O=4，∴，∵四边形OA1B1C1与四边形OABC位似，∴，即，∴，故答案为：12.【点睛】本题考查位似图形的性质，解题的关键是根据坐标求出位似比.考点6：位似图形的坐标变换，规律性问题例18．如图，在平面直角坐标系中，正方形，，关于原点O位似，其中点B，，，都在x轴上，点在上，在上．依此方式，继续作正方形，若点坐标为，则点的坐标为______．

【答案】【分析】根据题意求出直线的解析式为，点均在直线上，再根据正方形的性质求出点，，，，的坐标即可．【解析】解：∵点坐标为，四边形是正方形，，∵正方形，，关于原点O位似，直线的解析式为，点均在直线上，时，则，正方形的边长为2，，同理可得：，，,故答案为：．【点睛】本题考查的是位似变换、正方形的性质、图形的变化规律，掌握位似变换的概念和性质是解题的关键．例19．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为1：2；再以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为以此类推，则点的坐标为_______．

【答案】【分析】结合位似图形的性质，确定点的变化规律，即可获得答案．【解析】解：根据题意，点的坐标为，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为，则，再以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为，则，……所以，点，故点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点的变化规律是解题关键．考点7：位似图形的解答题例20．如图所示，在学习《图形的位似》时，小华利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．

(1)仅借助不带刻度的直尺，在图1中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹），并写出点M的坐标________；(2)若以点O为位似中心，仅借助不带刻度的直尺，在图2中画出在y轴左侧的位似图形，且与的相似比为；(3)在（2）中，若边上的一点的坐标为，则点在在上的对应点的坐标为________．【答案】(1)图见解析，(2)见解析(3)【分析】（1）连接，它们的交点为M点，然后写出M点的坐标；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用位似图形的性质即可求解．【解析】（1）解：如图，点M为所作，M点的坐标为；

故答案为：；（2）解：如图，为所作．

（3）解：∵若边上的一点的坐标为，∴点在在上的对应点的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了位似的性质．一、单选题1．（2022·重庆·统考中考真题）如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（

）A．4 B．6 C．9 D．16【答案】B【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．【解析】设的周长是x，∵与位似，相似比为，的周长为4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．2．（2021·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，与位似，位似中心是点O，若，则与的周长比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到△，，进而得出△，根据相似三角形的性质解答即可．【解析】解：与△位似，△，，△，，与△的周长比为，故选：．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．3．（2020·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（

）A． B．2 C．4 D．【答案】D【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．【解析】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF＝=，故选：D．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．4．（2020·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（）

A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）【答案】B【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．【解析】解：∵以点O为位似中心，位似比为，而A（4，3），∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．故选：B．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．5．（2023·四川遂宁·统考中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【解析】解：由图得：，设直线的解析式为：，将点代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，∴当时，，∴位似中心的坐标为，故选：A．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．二、填空题6．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

【答案】【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【解析】解：，，设周长为，设周长为，和是以点为位似中心的位似图形，．．和的周长之比为．故答案为：．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．7．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为___________．

【答案】【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可．【解析】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍，∴四边形和四边形的相似比为，∵，∴第一象限内点，即，故答案为：．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．三、解答题8．（2022·广西河池·统考中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．【解析】（1）如图，为所作．（2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．一、单选题1．在下列图形中，不是位似图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可；【解析】据位似图形的概念可知，A、B、C三组图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选D．【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，准确分析判断是解题的关键．2．下列说法正确的是（

）A．位似中心一定在图形的外部 B．位似中心一定在图形的内部C．位似中心可能在图形的一个顶点上 D．位似中心只能在图形的外部或内部，不可能在图形的一个顶点上【答案】C【分析】根据位似中心是任意两对对应点连线的交点，任意两对对应点的连线的交点有可能在图形的外部，图形的内部，也有可能位于图形的一个顶点处，对选项进行分析，即可得到答案.【解析】任意两对对应点的连线的交点有可能在图形的外部，图形的内部，也有可能位于图形的一个顶点处，故A、B、D错误，故选C．【点睛】本题考查位似中心，解题的关键是理解位似图形位似中心的找法，位似中心是任意两对对应点连线的交点．3．如图，两个四边形是位似图形，则它们的位似中心是（

）A．点M B．点N C．点O D．点P【答案】D【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线所在直线交于一点，交点就是位似中心，直接利用位似图形的性质得出答案．【解析】解：如图，位似中心是点P．故选D【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．4．如图，中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，FO=m，CF=m+1，CE=（m+1），进而得出点B的横坐标．【解析】解：过点B’作B’F⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，∵点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．点B的对应点B′的横坐标是m，∴FO=m，CF=m+1，∴CE=（m+1），∴点B的横坐标是：-（m+1）-1=-（m+3）．故选：A．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，以为位似中心，与位似，若点的对应点的坐标为（0，－6），则点的对应点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知对应点的坐标变化规律得出位似比为1：2，则可求A'坐标．【解析】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B（0，3）的对应点B′的坐标为（0，-6），∴OB：OB'=1：2=OA：OA'，∵A（1，2），∴A'（-2，-4），故选：A．【点睛】此题主要考查了位似变换与坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键6．如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：【答案】A【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【解析】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.7．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法正确的有（

）个①②③点A，O，三点在同一条直线上④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．【解析】解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；故选C．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点的坐标为(

)A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分点在y轴左侧与右侧两种情况，根据对应线段比等于相似比，求出与的长度即可【解析】解：如图所示，∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当时；当时，，∴，，∴，，∵与是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，∴，，∴，，当点在y轴右侧时，，∴点B的对应点的坐标为；当点在y轴左侧时，，∴点B的对应点的坐标为；综上，点B的对应点的坐标为或．故选D．【点睛】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的定义是解题的关键，注意分情况讨论，避免漏解．位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．9．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．【解析】解：延长A′B′交BC于点E，如图．∵在正方形ABCD中，AC＝3，∴BC＝AB＝3，∵点A′的坐标为（1，2），∴OE＝1，EC＝A′E＝3﹣1＝2，∴CE：BC＝2：3，∵A′E∥AB，∴△A′CE∽△ACB，∴CA′：AC＝2：3，∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，∴AA′＝CC′，∴AA′＝CC′＝A′C′，∴A′C′：AC＝1：3，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．故选：B．【点睛】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为，从而计算面积即可.【解析】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为，此时正方形的面积为：，故选C.【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键.二、填空题11．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝___．【答案】【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可．【解析】解：∵以点为位似中心，放大后得到，．故答案为：．【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质．12．如图，△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1:2，则点A（1,2）在第一象限的对应点A1的坐标是______．【答案】（2,4）【分析】根据位似图形的性质，点A的对应点A1的坐标是点A的横纵坐标的2倍，直接写出即可．【解析】解：∵△与△是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1∶2，∴点A（1，2）在第一象限的对应点（2，4）故答案是（2，4）【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．13．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为_______________．【答案】（5，5）【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．【解析】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（10，10），B（12，6），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为（5，5）．故答案为：（5，5）．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．14．已知点、的坐标分别为、，以原点为位似中心，按相似比把△缩小，则点的对应点的坐标为__________．【答案】（-2，1）或（2，-1）/（-2，1）或（2，-1）【分析】根据题意利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，即可得出点的对应点的坐标．【解析】解：∵点A（-4，2），B（-1，-1），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A'的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故答案为：（-2，1）或（2，-1）．【点睛】本题主要考查位似图形的性质，根据题意得出位似图形对应点坐标性质是解题的关键．15．以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，现已知，，五边形的周长为，那么五边形的周长是_____．【答案】/42厘米【分析】利用位似图形的性质求解即可．【解析】解：∵以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，∴五边形的周长与五边形的相似比为：，∴五边形的周长与五边形的周长比是：，故五边形的周长为：，故答案为：．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟知相似图形的周长比等于相似比是解答的关键．16．如图,点是正三角形的中心,分别是的中点,则与是位似三角形,此时与位似中心是,位似比为.【答案】O，.【分析】如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而位似中心是O，位似比是OP′：OP=1：2．【解析】各对应点的连线交于点O，那么位似中心为点O；∴位似中心是O；∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，∴△P′Q′R′∽△PQR，∴相似比等于P′Q′：PQ，∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，∴P′Q′=PQ，∴△P′Q′R′与△PQR的位似比为1：2．故答案为点O，.【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．17．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，把按相似比缩小，得到．若点A的坐标为，则第一象限内点C的坐标为______．【答案】【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解析】解：是以点O为位似中心，且与的相似比为的位似图形，∵点A的坐标为，∴点C的坐标为或即点C的坐标为或，∴第一象限内点C的坐标为；故答案为：．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，熟记位似变换的性质是解题的关键．18．下图是用12个相似的直角三角形组成的图案.

（1）与位似的三角形是______；（2）已知的面积是3，则的面积为______．【答案】4【分析】（1）先根据垂直的定义和直角的性质即可解答；（2）先说明，设，则、，由可得；再设，则、，即，然后运用三角形面积公式即可解答．【解析】解：∵在和中，∴，∴，故答案为．∵12个相似的直角三角形，∴,∴，设，则、，∵∴再设，则、，∴，即∴故答案为4．【点睛】本题主要考查了位似的判定、直角三角形的性质、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键三、解答题19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，3）、C（2，1）．(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC位似，且相似比为2；(2)求出△A'B'C'的面积．【答案】(1)图见解析(2)6【分析】（1）把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A'、B'、C'的坐标，然后描点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A'B'C'的面积．（1）解：如图，△A'B'C'为所作；（2）△A'B'C'的面积＝4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4＝6．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：熟练掌握以原点为位似中心的对应点的坐标的关系是解决问题的关键．20．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△OA1B1；(2)以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先找到A、B的对应点A1、B1，然后顺次连接O、A1、B1即可；（2）先找到A1、B1的对应点A2、B2，然后顺次连接O、A2、B2即可；．【解析】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，即为所求．【点睛】本题主要考查了再坐标系中画旋转图形，画位似图形，熟知画旋转图形和画位似图形的方法是解题的关键．21．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1；(2)以点M(1，2)为位似中心，作出△A1B1C1按2：1放大后的位似图形△A2B2C2；(3)填空：点A2的坐标；△ABC与△A2B2C2的周长比是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；（3）根据点的位置写出坐标即可，利用轴对称变换，位似变换的性质求出周长比．【解析】（1）如图，△A1B1C1即为所作；（2）如图，△A2B2C2即为所作；（3）如图，点A2的坐标(3，6)，周长比是1：2．故答案为：(3，6)；1：2．【点睛】本题考查作图−轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是作为轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．22．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直