高一升高二 数学旧知巩固测试卷第七章 复数章末复习卷（解析版）

第七章复数章末复习卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由复数的几何意义可得.2．已知复数，则复数的虚部为（

）A．i B． C．1 D．【答案】C【分析】利用虚数单位的幂次周期性化简复数，再根据复数虚部的定义确定结果.【详解】虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，对任意，满足：，，，，则，故，因此，根据复数虚部的定义：形如的复数，虚部为实数，可得的虚部为1.3．已知，，（，），若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】由，得，.4．若复数为纯虚数，则（

）A． B． C．0 D．10【答案】B【详解】，因为复数为纯虚数，所以，解得.5．在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（

）A．或 B． C．且 D．或【答案】A【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解.【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或.故选：A.6．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于y轴的对称点为B，则向量对应的复数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】向量对应的复数为，点A的坐标为，点A关于y轴的对称点为B，点B的坐标为向量对应的复数为．7．已知复数满足，则实数的可能取值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：，即，所以，得，将代入第一个方程得：，即，两边平方得：，所以，因为，且分母不能为0，所以，即，所以从判断选项来看，的可能取值只有.8．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由棣莫弗公式，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则的最大值为【答案】ABD【分析】利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D.【详解】对于A，，则，A正确；对于B，，，而，因此，B正确；对于C，，由，得，C错误；对于D，由，即，得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确.10．已知复数，其中为实数，为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若为虚数，则或B．若复平面内表示复数的点位于第二象限，则C．若，则D．若且，则【答案】BC【分析】根据题意，根据复数的定义，以及复数的几何意义，以及复数的运算形式，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，其中为实数，为虚数单位，对于A中，若为虚数，则满足，解得且，所以A不正确；对于B中，若复平面内表示复数的点位于第二象限，则满足，解得，所以B正确；对于C中，若，可得，解得，所以C正确；对于D中，当且，可得为虚数，为虚数，而，所以，所以D不正确.故选：BC.11．在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（

）A．的虚部为B．在复平面内对应的点位于第一象限C．D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为【答案】ABC【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断.【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确；对于B，因为，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确；对于C，因为，，所以，即，故C正确；对于选项D：因为，，则在复平面内分别对应点，可得，，则面积为，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为，故D错误.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．复数（其中为虚数单位）是实数，则实数__________.【答案】【详解】由复数为实数，则，得.13．若，则________.【答案】【分析】根据复数三角形式的运算法则，准确化简、运算，即可求解.【详解】因为，根据复数的运算法则，可得.故答案为：.14．已知复数，若复数满足，则的最大值为______.【答案】【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可.【详解】若复数满足，可设，则，所以，其中，由正弦函数性质可知，当时，，此时有最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知是虚数单位，复数．(1)当复数为实数时，求的值；(2)当复数为纯虚数时，求的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据复数为实数得出方程解出即可；（2）根据复数为纯虚数得出方程组解出即可.【详解】（1）由复数，当复数为实数时，，解得：或.（2）由复数，当复数为纯虚数时，，解得：.16．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？(1)位于第二象限；(2)位于第四象限．【答案】(1)(2)【分析】（1）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第二象限，列出不等式组，解得的范围．（2）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第四象限，列出不等式组，解得m的范围．【详解】（1）该复数对应的点的坐标为，当时，该点位于第二象限，由，得，解得，则当时，复平面内表示复数的点在第二象限．（2）该复数对应的点的坐标为，当时，该点位于第四象限，由，得，解得，则当时，复平面内表示复数的点在第四象限．17．已知复数．(1)若，求m，n的值；(2)若z是方程的一个复数根，求m，n的值．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根据复数相等的条件，列出关于的二元一次方程组求解；（2）解一元二次方程求出复数根，分两个根分别讨论，分别利用复数相等构造方程组求解．【详解】（1）已知复数，则，解得．（2）,解得，若，则，解得；若，则，解得．18．在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:.(1)将复数表示为三角形式;(2)根据复数乘方公式，化简:【答案】(1).(2)【分析】（1）求出的值即可得答案；（2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可.【详解】（1）由题意得，当时，，故；（2），故.19．已知复数满足，求的最小值．【答案】最小值为4．【分析】方法一，设复数的代数形式，利用模的代数运算公式，利用的取值范围，求模的最