高考数学一轮复习 8.1 数列的概念

第一节数列的概念考向1数列的通项公式与递推公式一、数列及其有关概念1.一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第1项也叫做首项;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示;……;第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.类比函数中的定义域,容易得到数列中项的下角标.2.数列的一般形式可以写成,简记为.二、数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列三、数列的通项公式与递推公式1.如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.有的数列不止有一个通项公式（可类比相同函数），例如:，这个数列中的项是0与1交替出现,奇数项都是0,偶数项都是1,所以通项公式可以写成,也可以写成或.有的数列没有通项公式,比如无理数和中的数依次排成的数列.2.通项公式:数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.3.递推公式:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,比如数列满足:且,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.例1写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:（1）;（2）;（3）；（4）;（5）;（6）8,88,888,8888,;例2.-401是数列-5，-9，-13，-17中的第几项（）A.第98项B.第99项C.第100项D.第101项解析根据题意,数列的通项公式为,若,解可得,即-401是数列的第100项,故选C.例3设数列满足，写出这个数列的前5项.考向2数列的前项和（积）与的关系题型1数列的前项和与的关系1.把数列从第1项起到第项止的各项之和,称为数列的前项和,记作,即2..3.已知与的关系式,记为,它可由阶差公式直接求出通项,但要注意验证与两种情况能否统一,具体分三步进行:（1）时，由，求的值；（2）时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式.①若满足，则合写；②若不满足，则写成分段函数的形式:.4.前项和与通项的关系（1）为等差数列，.（2），即从第二项开始为等差数列.注:选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！例4已知数列的前项和为,求数列的通项公式.例5已知数列的前项和为.求数列的通项公式.例6在正项数列中,为其前项和,且,求通项公式.例7数列的前项和,求数列的通项公式.题型2数列的前项积与的关系1.把数列从第1项起到第项止的各项之积,称为数列的前项积,记作,即.2..3.已知与的关系式,记为,它可由阶商公式直接求出通项,但要注意验证与两种情况能否统一,具体分三步进行:（1）时，由，求的值；（2）时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式.①若满足，则合写；②若不满足，则写成分段函数的形式:.例题已知数列的前项积，求的通项公式.考向3数列的性质题型1数列的单调性与最值问题一般地,一个数列,如果从第2项起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫做递增数列.如果从第2项起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫做递减数列.如果数列的各项都相等,即,那么这个数列叫做常数列.1.利用定义法判断数列的单调性（1）作差比较法，即较与0的大小单调性是递增数列是递减数列是常数列（2）作商比较法，即比较与1的大小是递增数列是递减数列是常数列是递减数列是递增数列（3）转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.常见的数列母函数有一次函数、二次函数、分式函数、分段函数、类指数函数等等.例8数列的通项公式为.求证:为递增数列.例9已知数列的通项公式.（1）求证:；（2）判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.2.利用数列的单调性求参数的取值范围常利用以下等价关系:数列递增恒成立;数列递减恒成立,通过分离变量法转化为代数式的最值来解决.例10已知数列是单调递增数列,,则实数的取值范围为A.B. C.D.3.求数列中的最大（小）项问题（1）先利用作差法或作商法判断函数的单调性，再进一步求出数列的最值.（2）构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值.（3）利用“两边夹”，求数列中的最大项；利用求数列中的最小项.注:适用于单峰函数,若解不唯一时,比较各解大小即可确定.例11已知数列中,.（1）若是递增数列，求λ的取值范围；（2）若的第7项是最小项，求λ的取值范围.例12已知数列的通项公式为,求该数列的最大项.例13已知,则数列中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有，请说明理由.题型2数列的周期性1.定义类比周期函数的概念,我们可定义:对于数列,如果存在一个常数,使得对任意的正整数恒有成立,则称数列是从第项起的周期为的周期数列.若,则称数列为纯周期数列,若,则称数列为混周期数列,的最小值称为最小正周期,简称周期.2.常见的周期数列以下类型针对非常数数列,即.类型一:邻项等和①若，则；证明:，两式作差得.特别地,则;②若，则；证明同上.特别地,则；类型二:邻项等积①若，则；证明:，两式作商得.特别地,则;②若，则；证明同上.特别地,则;类型三:错号等值①若，则；证明类比类型一.特别地,则；②若，则；证明类比类型二.特别地,即,则;类型四:一次分式之若,其中,则.特别地,若,即为前面类型二（邻项之积如:,或,或,则;证明:,代入,得,则.类型五:一次分式之若,其中,则.如:,则.类比函数迭代法证:如,则,则.类型六:一次分式之若,其中,则.如:,则.,则.注:由类型二即得.类型七:一次分式之若,其中,则.如:,则.注:由类型二即得.例14在数列中,,设为数列的前项和,则（）A.-3B.-2C.3D.2例15若数列满足,则该数列