高考数学一轮复习 复数

第12章复数考向1复数的概念及运算复数的概念及运算1.复数的概念（1）定义:形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部（为虚数单位）.注意:以4为周期，即.（2）分类:满足条件复数的分类为实数为虚数为纯虚数且2.复数相等与共轭复数复数相等:且共轭复数:与互为共轭复数且题型1复数的概念例1（2026・罗湖区校级模拟）已知，若（为虚数单位）是实数，则（）A.-2B.-1C.1D.2例2（2026春·唐山期中）已知为虚数单位，复数，则A.iB.-1C.D.0例3设复数例4（乙卷）设:列:，则（）A.B.C.D.题型2复数的运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设,则（1）； （2）；（3）（）.例5（甲卷）若复数,则（）A.-1B.0C.1D.2例6（新高考I）已知，则（）A.B.iC.0D.1②考向2复数的模向量的模叫做复数的模,记作或,表示点到原点的距离,即复数的模的速算技巧:（1）若，则；（2）若,则；（3）.例7（乙卷）（）A.1B.2C.D.5例8（2026·广东模拟）已知，为方程的两个虚根，则（）A.B.C.D.例9（甲卷）若，则（）A.B. C.D.考向3复数的几何意义复数的几何意义复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系.注:复数加、减法的几何意义以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形,对角线表示的向量就是复数所对应的向量.对应的向量是.即.若,（1）表示到的距离，即.（2）表示以为圆心，为半径的圆.例10（2026春·南京期末·多选）设是非零复数，分别是的共轭复数，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.若，则的最大值为例11.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如,,即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离.在复平面内,若复数对应的点为为曲线上的动点,则与之间的最小距离为（）A.3B.4C.5D.6例12（多选）已知复数为虚数单位，下列说法正确的是（）A.在复平面内对应的点位于第二象限B.若向量分别对应的复数为,则向量对应的复数为3-4iC.若,则D.若复数为虚数单位）,且,则的最大值为4考向4复数的三角形式复数的三角形式（1）复数的三角表示式一般地,任何一个复数都可以表示成形式,其中是复数的模;是以轴的非负半轴为始边,向量所在射线（射线）为终边的角,叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式,简称三角形式.（2）辐角的主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差的整数倍.规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作,即.复数的代数形式可以转化为三角形式,三角形式也可以转化为代数形式.（3）三角形式下的两个复数相等两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.（4）复数三角形式的乘法运算①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即②复数乘法运算的三角表示的几何意义复数对应的向量为,把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果,就要把绕点按顺时针方向旋转角,再把它的模变为原来的倍,得到向量表示的复数就是积.（5）复数三角形式的除法运算两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差,即.（6）复数三角形式的乘方运算利用复数的乘法运算法则可推乘方的运算公式,即.例13（陕西）设复数的辐角的主值为,虚部为,则（）A.B.C.D.例14（2026·贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数:与,我们把它们互称为共轭复数,时它们在复平面内的对应点关于实轴对称,这是共轭复数的特点.它们还有如下性质:（1）（2）（当时，为纯虚数）（3）（4）（5）.（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭