2026年全国高中数学联赛预赛试题-上海市

PAGE205页/2872026年全国高中数学联赛预赛试题-填空题(14758860分在直角坐标平面上,方程x12y122表示的曲线围成的图形的面积 zzz是三个复数，满足z1,j123，且1112i(i为虚数单位), z1z2z3

ABCDEF

ABCD

4,

FA7，则圆的半径 个不同的四位数已知一个四面体的4个面是全等的三角形,这个三角形的三条边长分别为a,b,c(这里a,b,c是两两不 xOy中,椭圆

1x轴的正半轴和y AB

的最小值 an15a10a158 个.

ak1

2k12,,14

yx3ax2bxcx

AB,C,

AT,CTT1,T2,T1A不重合,T2C不重合,

AC1(15分,1

fx3x2x

的最小值与最大值Γ

1A,FPQΓ上的两个动点,FA (如图所示)，求证:PQ

A1A2,Akk(k是正整数,k6

AA1A2Ak,

A12(|A|

A1A2,Ak5个集合的交集都非空,6个集合的交集都是空集,kABCDEF

ABDEF90C270∘

abcdABCDEFl,S证明:l abl

证明:n5ABCDEFl2026年全国高中数学联赛预赛试题-上海市-填空题(14758860分在直角坐标平面上,方程x12y122表示的曲线围成的图形的面积 解:解:如图所示S422111 8 zzz是三个复数，满足z1,j123，且1112i(i为虚数单位), z1z2z3

ziz1z2z31,zizi1i12z1z2z3z1z2z32iz1z2z322z1 z1 z2 z3已知六边形ABCDEF内接于圆O,且ABCDEF4,BCDEFA7,则圆O的半径 解:解:如图所示:DOB因为ABCDEF4,BCDEFAMC2CH所以所以OC tan23 sin 个不同的四位数由题知:b3ab9aaa1b3c245,97种取法;a2,b6c124,97种取法；a3,b9c134,,87种取法；21种abc取值aabc412个2112252个.aa,bc412个四位数aa,bc2112252已知一个四面体的4个面是全等的三角形,这个三角形的三条边长分别为a,b,c(这里a,b,c是两两不 2ab 1a2b2c2a2c2 所以cbyxyz ab设长方体长，宽，高分别为x,y,za2b2xOy中,椭圆

1x轴的正半轴和yAB

的最小值 cossin 所以ABcos sin cossin,0,B 4AB 437.an15a10a158ak1ak2k12,,14 个.解:解:ak1akx2y个2xyyxC92002个满足要求的不同数列

yx3ax2bxcx

AB,C,

AT,CTT1,T2,T1A不重合,T2C不重合,

AC所以所以fxyx x 即x x x x x T1t1m,T2t2fx3x22ax:ym3t2at xy3t2at xt TT –1T TT在AC上的数量投影为TTcosTT––– xCxA,0,ACxA,nm1x111T1T2– T1T2ACAC 2对比二次项系数有:xxx2txtx .同理:xB1 ,m x 1解答题(151

fx3x2x

所以 4t2yt23ttyt23t11,2上单调递增y332因为 22设sincostt 422 Γ

1A,FPQΓ上的两个动点,FA (如图所示)，求证:PQ解:如图所示:FM为∠PFQ FAPFQ，FMPFQFMFAFMFAx2y2因为椭 a22,b2c2eA0,2,F2,由外角角平分线定理得:

22 2

21PMmx1,FPaex1

2 mx2 a 222 21 221所以mx1 mm 212 FM2,n,FA2,22n40nM4解法一FMPFQ的外角平分线,PQPFQM.FA

PFQ的外角平分线,FMFAFMFA0 FA2,

由外角平分线性质得PMPFPxyQxyMmn,则PMmx1,PFaex1,

m a m a 1 1m 4m a FM2n,FMFA02n220,n2PQ42解法二PQxmyn,Px1y1,Qx2y2xmy 联立

m22y22mnyn28084yy2mnyyn8 m2 1 m2FPk1FQk2,FAPFQk111k2k

1

11 1 1

myn2myn 1 m21yymn2yyn221 n28

2mn 即m mn n20m2 m2n28n164m20,n422m20n2m4n2m40n2m40n2m40n2m40PQxmy24PQM42；n2m40PQxmy24PQM42，但这时PFM三点共线，且FAPFQ的外角平分线，故不合题意，应舍去.因此,PQM42A1A2,Akk(k是正整数,k6),AA1A2Ak,且A12(|A|的元素个数)A1A2,Ak5个集合的交集都非空,6个集合的交集都是空集,kA4A7,8,A5A9,10,A6Ak6k6C5612k7C52112k6C5k1kkk5!kk 5!k注意到:k1另一方面,C5A的元素,C5A12 AA,A6个集合的交集,因而都是空集,C5 AA,A5C5个,其中每一个都取出一个元素作为代表,C5ABCDEFABDEF90∘C270∘ABBC,CDabcdABCDEFℓ,S证明:ℓ ab

证明:n5ABCDEF解:2acbdSabadl

acbd

abadcd4abc1,d24s1041045，以下证明:ab45l4Sl4a2c

，Sa2ad

l84a2c2d216a2adcd16c80,a1时上式成立104

2cd

2cd2因此①成立从而,ab时,4S104Sb