辽宁沈阳市第一二0中学2025−2026学年高一下学期期末质量监测数学试题（含答案）

辽宁沈阳市第一二0中学2025−2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷一、单选题1．已知(为虚数单位)，则复数的共轭复数等于A． B．C． D．2．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则3．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A． B． C． D．4．为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．5．已知，且，则（

）A． B． C． D．6．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（

）A． B． C． D．7．已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（

）A． B． C． D．8．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（

）A．13 B．11 C．9 D．7二、多选题9．下列叙述正确的是（

）A．若，，则 B．若，则与的夹角为钝角C．若为非零向量，则与同向 D．在等边三角形中，与的夹角为10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（

）A．若，则一定为等腰三角形B．在锐角中，不等式恒成立C．若，且有两解，则的取值范围是D．若的平分线交AC于点，则11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（

）A．若，则直线与直线的夹角为B．三棱锥体积的最大值为C．存在，使得平面D．若，则三棱锥外接球的表面积为8π三、填空题12．已知是单位向量，，若，则的最大值是_____．13．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________.14．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________．四、解答题15．已知复数，在复平面内对应的点分别为，．（1）若，求；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．16．已知向量，.（1）若，求；（2）若向量，，求与夹角的余弦值.17．已知，，函数．（1）求函数的解析式和单调增区间；（2）当时，求函数的最小值和最大值以及对应的值．18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．（1）证明：平面平面；（2）已知二面角的平面角的余弦为，求与平面所成角的正弦值．19．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中．（1）若，求的值；（2）当取最大值时，记，求M；（3）在（2）的条件下设，若时，对于任意的均有恒成立，求t的取值范围．

参考答案1．【答案】A【详解】由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足，即，所以复数的共轭复数等于，故选A．2．【答案】C【详解】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误；对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确；简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则，，则，，，则，所以.

对于D，若，，，则与相交，故D错误．故选C．3．【答案】C【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以，所以.4．【答案】B【详解】由题可知底面圆心为，是底面半径，因此，圆锥的高底面，故是直角三角形，由勾股定理得母线长，.5．【答案】C【详解】因为，所以，又，所以，所以.故选C.6．【答案】B【详解】因为，如图，取中点，又，所以，即，结合平面向量数量积的几何意义，又，得到，故选B.7．【答案】D【详解】正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和；，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得.故选D8．【答案】C【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴，，，且，，相减可得，，即，即为奇数．在单调，①若在单调递增，则，且，，即①，且，②，把①②可得：，，故有奇数的最大值为11．当时，，，，．此时在上不单调，不满足题意．当时，，，，，此时在上单调递减，不满足题意；故此时无解．②若在单调递减，则，且，，即③，且，④，把③④可得：，，故有奇数的最大值为11．当时，，，，．此时在上不单调，不满足题意．当时，由①在上单调递减，满足题意；故的最大值为9．故选C9．【答案】ACD【详解】对于A，由，得同向且模相等，由，得同向且模相等，所以同向且模相等，所以，故A正确；对于B，若与的夹角为，则，故B错误；对于C，表示与同向的单位向量，故C正确；对于D，在等边三角形中，，则与的夹角为，故D正确.故选ACD.10．【答案】BCD【详解】选项A，因为，即，所以有，整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；选项B，若为锐角三角形，所以，所以，由正弦函数在单调递增，则，故B正确；选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确；

选项D，的平分线交于点D，，由，由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确.11．【答案】ABC【详解】对A，因为，所以当时，分别为的中点，所以也是的中点.过M作于Q，连接，则，所以.因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即.又因为，所以，故A正确.对B，过M作于Q，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，即三棱锥的高为，又，所以三棱锥体积，当时，，故B正确.对C，当时，是的中点，所以也是的中点.因为是的中点，所以.又平面，平面，所以平面，故C正确.对D，当时，，故Q为的中点，又N为的中点，所以，，所以Q到A，B，M，N的距离都为1，即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误.12．【答案】/【详解】由及，将两边平方得，则，，而，所以，当且仅当向量与反向共线时取等号，所以的最大值是.13．【答案】【详解】因t=2sin18°，则有.14．【答案】【详解】在中，，，，所以，在中，，，所以，由正弦定理可得，所以，在中，，，所以，故黄鹤楼的高度为.15．【答案】（1）（2）【详解】（1）由题可知：，，则，所以．（2）由题意可知：，因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，故实数m的取值范围为．16．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以，即；（2）因为，，，所以，又，所以，所以，所以，所以，，，设与夹角为，所以，所以与夹角的余弦值为.17．【答案】（1），单调增区间为．（2）当时，取得最小值；当时，取得最大值．【详解】（1）已知，又，，所以由，，解得故，单调增区间为．（2）令，因为，所以，，在时取，即当时，为最小值，对应当时，18．【答案】（1）见详解；（2）.【详解】（1）如图，连接，因为，，，所以，因为是的中点，所以，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由题易知，，，，因为平面，平面，所以，因为，所以是二面角的平面角，因为二面角的平面角的余弦为，所以，因为平面，所以，，解得，，因为平面，所以是与平面所