浙江省台州市玉环市玉城中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

2023-2024学年浙江省台州市玉环市玉城中学高一（上）入学数学试卷一．选择题（10×3′，共30分）1．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x2）3＝x6 D．（2x）3＝6x32．（3分）三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）​A．20° B．25° C．30° D．35°4．（3分）如果a＜b＜0，那么下列式子中一定成立的是（）A．a2＞ab B．a2＜b2 C． D．5．（3分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3} B．{﹣2，2，3} C．{﹣2，﹣1，0，3} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}6．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于3，则此正方形ABCD的面积等于（）​A．6 B．12 C．16 D．187．（3分）如图，Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB交y轴于点C，∠OAB＝30°，则k的值为（）​A． B． C． D．8．（3分）使不等式（2x+1）（x﹣3）≥0成立的一个充分不必要条件是（）A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x∈{﹣1，3，5} D．9．（3分）若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．{m|m≤﹣2或m≥2} B．{m|﹣2≤m≤2} C．{m|m＜﹣2或m＞2} D．{m|﹣2＜m＜2}10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，若点P沿A﹣D﹣C向点C运动，点Q沿A﹣B﹣C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．二．填空题（6×3′，共18分）11．（3分）二次函数y＝2x2﹣3x+5（﹣2≤x≤2）的最大值为．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B′处，则BE的长度为​13．（3分）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是°．14．（3分）关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是.​16．（3分）已知x＞2，则的最小值是．三．解答题17．（9分）（1）计算（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣（a+b）2；（2）分解因式①2x2+11x+12；②2ax﹣10ay+5by﹣bx．18．（8分）某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：（1）抽取的学生人数共有_____人，体重不低于58千克的学生有_____人；（2）这部分学生体重的中位数落在第_____组；（3）在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．19．（7分）判断函数f（x）＝在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．​（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及cos∠ACD的值．21．（9分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴于点E，交BC于点F．（1）求顶点D的坐标；（2）如图2所示，过点C的直线交直线BD于点M，交抛物线于点N．①若直线CM将△BCD分成的两部分面积之比为2：1，求点M的坐标；②若∠NCB＝∠DBC，求点N的坐标．22．（10分）如图（1）【问题发现】如图1，P是半径为2的⊙O上一点，直线m是⊙O外一直线，圆心O到直线m的距离为3，PQ⊥m于点Q，则PQ的最大值为_____；（2）【问题探究】如图2，将两个含有30°角的直角三角板的60°角的顶点重合（其中∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C'＝90°），绕点B旋转△C′A′B，当旋转至CC′＝4时，求AA′的长；（3）【问题解决】如图3，点O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，AC＝BC＝5，OE＝2，连接BE，作Rt△BEF，其中∠BEF＝90°，tan∠EBF＝，连接AF，求四边形ACBF的面积的最大值．

2023-2024学年浙江省台州市玉环市玉城中学高一（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（10×3′，共30分）1．（3分）下列计算正确的是（）A．x2+x3＝x5 B．x3•x2＝x6 C．（x2）3＝x6 D．（2x）3＝6x3【考点】有理数指数幂及根式；导数的运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．【解答】解：x2+x3≠x5，故A错误；x3•x2＝x5，故B错误；（x2）3＝x6，故C正确；（2x）3＝8x3，故D错误．故选：C．2．（3分）三个大小一样的正方体按如图摆放，它的主视图是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【答案】B【分析】直接根据正视图的看图方向以及实虚线的要求即可得到结论．【解答】解：因为正视图是从物体的正面去看，能看到的边界线画实线，被挡着的边界线画虚线，故几何体的三视图为答案B对应的图．故选：B．3．（3分）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）​A．20° B．25° C．30° D．35°【考点】与圆有关的比例线段；圆周角定理；圆内接多边形的性质与判定．【答案】C【分析】由题意可知四边形OBCD为菱形，由题意可得△OBC为正三角形，可得∠BOC为60°，再由∠A是所对的圆周角，可得它的大小．【解答】解：连接OC，因为OD＝BC，OB＝CD，OB＝OD，可得四边形OBCD为菱形，在圆中，OB＝OC，所以OC＝OC＝BC，即△OBC为等边三角形，所以∠BOC＝60°，∠A为是弦BC所对的圆周角，∠BOC为是弦BC所对的圆心角，由同弧所对的圆心角与圆周角的关系，可得∠A＝∠BOC＝30°．故选：C．4．（3分）如果a＜b＜0，那么下列式子中一定成立的是（）A．a2＞ab B．a2＜b2 C． D．【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质．【答案】A【分析】利用不等式的性质可判断AC，利用作差法可判断BD．【解答】解：对于A，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，故A正确；对于B，∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，a+b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，即a2＞b2，故B错误；对于C，∵a＜b＜0，∴，故C错误；对于D，∵a＜b＜0，∴ab＞0，b﹣a＞0，∴＝＞0，即，故D错误．故选：A．5．（3分）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则∁U（A∪B）＝（）A．{﹣2，3} B．{﹣2，2，3} C．{﹣2，﹣1，0，3} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】A【分析】利用交集、补集定义直接求解．【解答】解：集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{1，2}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}．故选：A．6．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于3，则此正方形ABCD的面积等于（）​A．6 B．12 C．16 D．18【考点】相似三角形的性质．【答案】D【分析】在正方形中，＝，E为BC的中点，所以＝＝，由△DEF的面积，可得△BEF的面积，进而求出△BDE的面积，求出△BDC的面积，再求正方形的面积．【解答】解：在正方形中，＝，E为BC的中点，所以＝＝，＝＝，而△DEF的面积等于3，所以△BEF的面积为，可得△BDE的面积为3+＝，又因为E为BC的中点，所以S△BCD＝2S△BDE＝2×＝9，所以正方形的面积为2S△BCD＝2×9＝18．故选：D．7．（3分）如图，Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB交y轴于点C，∠OAB＝30°，则k的值为（）​A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】B【分析】作BM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，先证△MBO∽△NOA，推出＝，tan∠OAB＝＝，由反比例函数的图象和性质可得S△NOA＝ON•NA＝，进而求出S△MBO，即可得出k的值．【解答】解：如图，作BM⊥x轴于点M，AN⊥x轴于点N，则∠BMO＝∠ONA＝90°，∴∠MBO+∠BOM＝90°，∵Rt△AOB中∠BOA＝90°，∴∠AON+∠BOM＝90°，∴∠MBO＝∠NOA，∴△MBO∽△NOA，∴＝，∵∠OAB＝30°，∴tan∠OAB＝＝，∴＝＝（）2＝，∵点A在反比例函数的图象上，∴S△NOA＝ON•NA＝，∴S△MBO＝×＝，∵点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，∴k＝﹣2S△MBO＝﹣2×＝﹣．故选：B．8．（3分）使不等式（2x+1）（x﹣3）≥0成立的一个充分不必要条件是（）A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x∈{﹣1，3，5} D．【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件．【答案】C【分析】求出不等式（2x+1）（x﹣3）≥0的解集，再求使不等式（2x+1）（x﹣3）≥0成立的一个充分不必要条件．【解答】解：不等式（2x+1）（x﹣3）≥0对应方程的两个实数解是﹣和3，所以不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥3}，所以使不等式（2x+1）（x﹣3）≥0成立的一个充分不必要条件是不等式解集的真子集．故选：C．9．（3分）若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．{m|m≤﹣2或m≥2} B．{m|﹣2≤m≤2} C．{m|m＜﹣2或m＞2} D．{m|﹣2＜m＜2}【考点】一元二次不等式及其应用．【答案】B【分析】先把一元二次不等式恒成立转化为Δ＝m2﹣4≤0，再解一元二次不等式即可求解．【解答】解：∵一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R，∴Δ＝m2﹣4≤0，∴﹣2≤m≤2，∴实数m的取值范围是[﹣2，2]，故选：B．10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，若点P沿A﹣D﹣C向点C运动，点Q沿A﹣B﹣C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换．【答案】C【分析】研究两个动点到正方形各顶点时的相对位置，分段讨论函数解析式，根据函数图象即可得出结论．【解答】解：根据两个动点的运动状态可知（1）当0≤t≤1时，S＝×2t×2t＝2t2，此时抛物线开口向上；（2）当1≤t≤2时，S＝2×2﹣2××2×（2t﹣2）﹣（4﹣2t）2＝﹣2t2+4t，此时抛物线的开口向下．故选：C．二．填空题（6×3′，共18分）11．（3分）二次函数y＝2x2﹣3x+5（﹣2≤x≤2）的最大值为19．【考点】二次函数的性质与图象．【答案】见试题解答内容【分析】先求对称轴方程，再根据二次函数的性质，结合x的取值范围求解．【解答】解：对称轴方程为x＝﹣＝．∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上，∴函数y＝2x2﹣3x+5在[﹣2，]上为减函数，在[，2]上为增函数故当x＝﹣2时，函数y＝2x2﹣3x+5的最大值为19故答案为：1912．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B′处，则BE的长度为2​【考点】三角形中的几何计算．【答案】2．【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B'处，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，∴B'E＝2AE，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，∴2（3﹣x）＝x，解得x＝2．故答案为：2．13．（3分）如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则此三角形最小内角的度数是36°．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【答案】36．【分析】可设这一内角为x，则它的外角为4x，从而可得x+4x＝180°，解得x＝36°，结合这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，求出另外两角的大小，从而可得此三角形最小内角的度数．【解答】解：因为三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，所以可设这一内角为x，则它的外角为4x，所以有x+4x＝180°，解得x＝36°，4x＝144°，又因为这个外角还等于与它不相邻的一个内角的2倍，所以这两个与它不相邻的内角分别为72°，72°，所以这个三角形各角的度数分别为36°，72°，72°，所以此三角形最小内角的度数是36°．故答案为：36．14．（3分）关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是[﹣1，）∪（，2）．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【答案】[﹣1，）∪（，2）．【分析】根据题意可得，从而即可求出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，∴﹣1≤k＜2，且k≠，∴k的取值范围是[﹣1，）∪（，2）．故答案为：[﹣1，）∪（，2）．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是.​【考点】三角形中的几何计算．【答案】．【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D'，再过D'作D'P'⊥AD，由角平分线的性质可得出D'是D关于AE的对称点，进而可知D'P'即为DQ+PQ的最小值，由此即可求解．【解答】解：作D关于AE的对称点D'，再过D'作D'P'⊥AD于P'，∵DD'⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD'，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D'AF，（ASA），∴D'是D关于AE的对称点，AD'＝AD＝1，∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD'＝45°，∴AP'＝P'D'，在Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2＝AD'2，∵AP'＝P'D'，2P'D'2＝AD'2﹣1，∴P'D'＝，即DQ+PQ的最小值为．故答案为：．16．（3分）已知x＞2，则的最小值是6．【考点】基本不等式及其应用．【答案】6【分析】配凑出分母x﹣2的形式，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，又∵＝+x﹣2+2＝6，当且仅当时等号成立，即x＝4时等号成立；故答案为：6．三．解答题17．（9分）（1）计算（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣（a+b）2；（2）分解因式①2x2+11x+12；②2ax﹣10ay+5by﹣bx．【考点】因式分解定理；有理数指数幂及根式．【答案】（1）a3+b3﹣a2﹣2ab﹣b2；（2）（x+4）（2x+3）；（3）（x﹣5y）（2a﹣b）．【分析】（1）利用多项式运算法则求解；（2）利用十字相乘法求解；（3）利用十字相乘法求解．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣（a+b）2＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3﹣a2﹣2ab﹣b2＝a3+b3﹣a2﹣2ab﹣b2．（2）①2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．②2ax﹣10ay+5by﹣bx＝（x﹣5y）（2a﹣b）．18．（8分）某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题：（1）抽取的学生人数共有_____人，体重不低于58千克的学生有_____人；（2）这部分学生体重的中位数落在第_____组；（3）在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率．【考点】频率分布直方图．【答案】（1）100，25；（2）四；（3）．【分析】（1）由频数，频率，样本容量的关系直接计算即可；（2）由频率分布直方图中中位数的估计方法直接计算可得；（3）由古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（1）因为第一组的频数为5，频率为0.05，所以抽取的学生人数为：，因为体重不低于58千克的频率为：1﹣0.05﹣0.10﹣0.25﹣0.35＝0.25，所以体重不低于58千克的学生人数为：100×0.25＝25；（2）因为前三组的频率为：0.05+0.10+0.25＝0.4＜0.5，前四组的频率为：0.4+0.35＝0.75＞0.5，所以这部分学生体重的中位数落在第四组；（3）设体重低于41千克的2人设为a，b，体重不低于41千克的3人设为1，2，3，从5名学生中随机抽取2人，则所有样本点为：（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（1，2），（1，3），（2，3），共10个，其中被抽到的2人体重都不低于41千克的样本点为：（1，2），（1，3），（2，3），共3个，所以被抽到的2人体重都不低于41千克的概率为．19．（7分）判断函数f（x）＝在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明．【考点】函数单调性的性质与判断．【答案】见试题解答内容【分析】任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）变形后易判＞0，由单调性的定义可得．【解答】解：函数f（x）＝在区间（1，+∞）上的单调递减，证明如下：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，又∵x1，x2∈（1，+∞），∴x2+x1＞0，，，∴＞0，即f（x1）＞f（x2）由单调性的定义可知函数在区间（1，+∞）上的单调递减．20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．​（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及cos∠ACD的值．【考点】与圆有关的比例线段．【答案】（1）见详解；（2）．【分析】（1）分别以A，C为圆心，以AO，CO为半径作圆，连接O与两个圆的交点F，并延长交弧于D，连接CD即可；（2）如图所示，求出DE，DC，CE的值，可得cos∠ACD的值．【解答】解：（1）以A为圆心，AO为半径作圆，以C为圆心，以CO为半径作圆，两个圆交于F点，连接OF并延长交AC于E，交圆弧于D，连接CD；（2）因为AC＝8，BC＝6，AB为直径，所以∠ACB＝90°，所以AB＝＝＝10，由（1）可知E为AC的中点，OD为圆的半径，即AE＝AC＝4，AO＝AB＝5，可得OE＝＝3，所以DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，CD＝＝＝2，所以cos∠ACD＝＝＝．21．（9分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴于点E，交BC于点F．（1）求顶点D的坐标；（2）如图2所示，过点C的直线交直线BD于点M，交抛物线于点N．①若直线CM将△BCD分成的两部分面积之比为2：1，求点M的坐标；②若∠NCB＝∠DBC，求点N的坐标．【考点】二次函数的性质与图象；直线与圆锥曲线的综合．【答案】（1）D（1，4）；（2）①M的坐标为：M1（，），M2（，）；②N的坐标为（，）．【分析】（1）由抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）及顶点横坐标1，建立方程组，可求得a，b，从而求出顶点坐标；（2）①由（1）及题意可得点B的坐标及BO的值，取DB的三等分点M1，M2，过点M1，M2分别作x轴，y轴的平行线，由相似三角形的性质，可得点M1，M2的坐标；②由∠NCB＝∠DBC，得MC＝MB，取线段BC的中点G，则可得GM⊥BC，G点坐标，再用待定系数法求直线方程，联立方程求交点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），顶点D的横坐标为1，∴a﹣b+3＝0，且﹣＝1，解得：a＝﹣1，b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3，顶点D的纵坐标为﹣12+2+3＝4，∴D（1，4）．（2）①由（1）得y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），即BO＝3，如图，取DB的三等分点M1，M2，过点M1，M2分别作x轴，y轴的平行线，分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，则可得△DGM1∽△DHM2∽△DEB，△BQM2∽△BPM1∽△BED，且相似比为1：2：3，∴＝yD＝，＝xD+（xB﹣xD）＝，∴M1（，），同理可得：M2（，），∴点M的坐标为：M1（，），M2（，）．②∵∠NCB＝∠DBC，∴MC＝MB，取线段BC的中点G，作直线GM，∵点B（3，0），点C（0，3），∴BC中点G的坐标为（，），∵MC＝MB，点G为线段BC的中点，∴GM⊥BC，∴设直线GM为y＝x+m，将G（，）代入得m＝0，∴lGM：y＝x①，设直线BD为y＝kx+n，将B，D坐标代入，得k＝﹣2，n＝6，∴lBD：y＝﹣2x+6②，联立①②解得，∴M（2，2），设直线MC为y＝k2x+n2，将M（2，2