2026年广东清远市清新区初中学业水平第二次模拟测试数学试卷

年广东清远市清新区初中学业水平第二次模拟测试数学试卷1．下列各数中比3大的数是（）A．0 B．1 C．−1 D．22．下列几何体中；主视图是三角形的是（）A． B． C． D．3．清远立足“生态+文化+体验”核心优势，以“请到清远过大年”为主题，推出多元产品体系，叠加广清城际、高速公路网等交通红利，成为大湾区市民新春出游的热门目的地；2026年春节假期，清远市接待游客3287000人次；数据3287000用科学记数法表示为（）A．0.3287×107 B．3.287×106 C．4．根据有理数加法法则，计算2+−3A．+3+2 B．+3−2 C．−3+25．如图，将一副三角尺叠在一起，则∠α的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．75°6．在方差计算公式s2A．该组数据的个数和方差 B．该组数据的个数和平均数C．该组数据的方差和个数 D．该组数据的平均数和个数7．在平面直角坐标系xOy中，点P(1,A．(−1,−4) B．(−1,4) C．8．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，∠BOC=40°，则∠A等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°9．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥lA．38 B．34 C．5210．如图，函数y=mx和y=kx+b的图象相交于点P1,m，则−b≤kx−b≤mxA．0≤x≤1 B．−1≤x≤0 C．−1≤x≤1 D．m≤x≤m11．已知一个n边形的内角和是360°，则n=．12．已知一元二次方程x2−5x+2m=0有一个根为2，则另一根为13．篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度y（米）与水平距离x米的函数关系式为：y=−0.2x−1.52+3.20≤x≤414．如图，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到△A'OB'，若点A的坐标为−2,515．如图，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB边于点E，点F是AB边上的一点，且BF=13AB，连接CF，并将△BCF沿CF折叠，此时，点B的对应点B'恰好落在弧CE16．计算：3.14−π17．《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每50斗粟米，可兑换30斗糙米．某农户原存有粟米200斗，后续每天可收获新粟米8斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于150斗且不超过240斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？18．如图，四边形ABCD是平行四边形（1）将平行四边形ABCD沿过点C的直线CE翻折，使点D落在BC边上点F处，且边CD与CF重合．请用尺规作图法作出直线CE及点F；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，若BF=2，平行四边形ABCD的周长为24，求AB的长．19．【问题背景】解决分式问题时，在分式有意义的情况下，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式x+2x+1时，若将其转化为1+已知P=x+3x+2=A+【应用思考】（1）求A+B的值；（2）当x=1时，求5P+3Q的值．20．某学校为改善教学条件、满足日益增长的办学需求，某校计划对现有教学楼进行扩建，并在原有教学楼正前方新建一栋教学综合楼，如图1；在规划设计时，为保证冬至日正午时分，原有教学楼整栋楼都能获得充足日照，符合国家建筑日照规范，设计人员绘制出场地示意图进行测算．已知两栋楼水平间距相关数据为BD=25m，新建楼高度CD=20m，该地区冬至日正午的太阳高度角（即阳光与水平线的夹角）α=37.2°，如图2；（参考数据：sin37.2°≈0.61，cos37.2°≈0.80，tan37.2°≈0.76）（1）请计算冬至正午时，太阳光照射到原有教学楼的位置与地面之间的高度AB；（2）为满足日照规范要求，使原有教学楼在冬至正午能被阳光完全照射，需将新建的教学综合楼沿水平方向BD向后平移一段距离（楼体高度保持不变），求该楼至少需要移动多少米？（结果保留2位小数）21．【问题背景】如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上【问题情境】（1）元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由；【应用思考】（2）请你利用这四张卡片，设计一种方案对两人都公平的游戏规则．22．如图，反比例函数y=12x的图象经过矩形OABC的对角线AC和OB交于点D，点B的纵坐标为6．过点B作BE∥AC交x轴于点E．点F是线段AE上的动点，连接BE交反比例函数y=12（1）点D的坐标为__________；（2）判断△OBE的形状，并说明理由；（3）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．若△BEF为“反直角三角形”，求直线BF的表达式．23．解决下列问题【问题初探】（1）如图1所示，矩形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE，在BE的下方作∠EBG=90°，满足ABEB=BCBG，连接【实践探究】（2）如图2所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是线段OC上的一点，连接EB，作∠BEP=90°，点P在AD边上，EP交BD于M，求OE、DP、OC之间的数量关系．【拓展迁移】（3）如图3所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD边上一点，作∠BEG=90°，EG分别交BD、CD于点M、P，满足EG=BE，连接BG，如果EMMG=1

答案解析部分1．【答案】D【知识点】无理数的估值；不等式的性质【解析】【解答】解：∵1<3<4，∴1<3<四个选项中，只有2比3大。故答案为：D。【分析】先列出不等式1<3<4，再结合算术平方根以及不等式的性质，计算得出1<32．【答案】A【知识点】简单几何体的三视图【解析】【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意；C、三棱柱的主视图是长方形，不符合题意；D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．

故答案为：A。【分析】主视图，即从正面看到的图形。本题根据主视图的定义，并逐个选项进行主视图分析即可．3．【答案】B【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】解：数据3287000用科学记数法表示为3.287×106．

故答案为：B。

【分析】科学记数法，即将一个非常大或者非常小的数写成a×10n，其中4．【答案】D【知识点】有理数的加法法则【解析】【解答】解：2+−3故答案为：D．

【分析】利用有理数的加法运算法则（①同号两数相加，取相同的符号，再将绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③任何数与0相加都等于其本身。）分析求解即可.5．【答案】D【知识点】平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等；三角形的外角和【解析】【解答】解：如图，设两直尺分别交于点C,D,E,F,P，∵两个三角尺的竖直直角边在同一直线上（或均垂直于水平线），EF∥CD，∠EFC=30°，∴∠EFC=∠FCD=30°，∴∠α=∠FCD+∠CDE=30∘【分析】本题利用“两直线平行、内错角相等”得出∠EFC=∠FCD=30°，最后利用三角形外角和公式列式计算角度即可。6．【答案】B【知识点】方差【解析】【解答】解：方差的标准计算公式为s2∵公式中n表示该组数据的个数，x表示该组数据的平均数，∴对比题目给出的方差公式，可得2026对应公式中的n，是该组数据的个数，25对应公式中的x，是该组数据的平均数，

故答案为：B。【分析】根据方差的公式和定义，列出方差的标准计算公式并对比分析判断即可．7．【答案】B【知识点】关于原点对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：点P（1，-4）关于原点对称的点的坐标是（-1，4）.故答案为：B.【分析】根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，可得答案.8．【答案】A【知识点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵∠BOC=40°，∴∠A=1故选：A．【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.9．【答案】A【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥l3于点F，交l2∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，AD=BC=3．∵l2∴AG∴AG=1∴AGCD=【分析】由矩形的性质得出CD=AB=4，AD=BC=3，根据平行线分线段成比例定理，即“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，列式并变形得出AG=110．【答案】B【知识点】一次函数与不等式（组）的关系【解析】【解答】解：∵y=kx+b的图象经过点P1,m∴k+b=m，当x=−1时，kx−b=−k−b=−k+b即−1,−m在函数y=kx−b的图象上．又∵−1,−m在y=mx的图象上．∴y=kx−b与y=mx相交于点−1,−m．则函数图象如图．则不等式−b≤kx−b≤mx的解集为−1≤x≤0．

故答案为：B。【分析】首先计算确定y=mx和y=kx−b的交点−1,−m，然后作出y=kx−b的大体图象，最后根据图象判断即可．11．【答案】4​​​​​​​【知识点】多边形的内角和公式【解析】【解答】解：由题意，(n−2)·180°=360°，解得n=4.

故答案为：4.【分析】本题利用多边形内角和公式建立一元一次方程(n−2)·180°=360°，求解方程即可得到n的值.12．【答案】3【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【解析】【解答】解：一元二次方程x2−5x+2m=0有一个根为2，设另外一个根为x2，

则2+x2=5，

∴x故答案为：3.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x113．【答案】1.5【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题【解析】【解答】解：∵篮球的高度y（米）与水平距离x米的函数关系式为：y=−0.2x−1.5∴当x=1.5米时，篮球达到运动轨迹的最高点．

故答案为：1.5.【分析】结合二次项系数小于0可知，该抛物线开口向下，且顶点为轨迹最高点，此时求出顶点横坐标x=1.5米，即可得到结果．14．【答案】(5,2)【知识点】点的坐标；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；点的坐标与象限的关系【解析】【解答】解：∵点A的坐标是(−2,5)，∴AB=2，OB=5，∵△AOB旋转得到△A∴OB=OB'=5∵A'∴A'坐标为(5,2)．

故答案为：(5,2)【分析】本题先结合点A的坐标，得出AB=2，OB=5，利用旋转得出OB=OB'=5，AB=15．【答案】9【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的两锐角互余【解析】【解答】解：连接BB∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵AB=33，BF=∴BF=3在Rt△BCF中，tan∠BCF=∴∠BCF=30°，由折叠的性质可知，△B∴∠B'CF=∠BCF=30°，C∴∠BCB又∵点B'在弧CE∴BB∴△CBB∴∠CBB∴∠EBB由图可知，阴影部分的面积=扇形BCE的面积−四边形CBFB∴四边形CBFB'的面积∵S∴阴影部分的面积为94π−33．

【分析】根据矩形性质和已知边长可求出BF=3，在Rt△BCF中利用正切值求出∠BCF=30°，由折叠性质以及全等三角形的性质得出∠B'CF=∠BCF，CB'=CB，S△B'CF16．【答案】解：原式=1+3−1+2=5【知识点】零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式；有理数的加、减混合运算；求正切值【解析】【分析】零次幂求出3.14−π0=1、负整数指数幂求出13−1=317．【答案】解：设需要积攒x天，x为正整数，由题意得：每50斗粟米，可兑换30斗糙米，兑换糙米的比例为3050，总粟米量为200+8x∴兑换所得糙米总量为3050根据兑换要求列不等式组：35由①得：x≥6.25，由②得：x≤25，∴不等式组的解集为6.25≤x≤25，∵x为正整数，∴7≤x≤25．

答：需要积攒7天到25天才能满足兑换要求。【知识点】一元一次不等式组的应用【解析】【分析】根据粟米兑换糙米的比例得到糙米总量的表达式35200+8x，再结合糙米总量的范围要求“不少于150斗且不超过240斗”列出不等式组18．【答案】（1）解：如图，直线CE及点F即为所作；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，

由翻折得CF=CD，

∴CF=AB，

∵BF=2，

∴BC=BF+CF=AB+2，

∵平行四边形ABCD的周长为24，

∴2AB+BC=24，

∴AB+BC=12，

∴AB+2+AB=12，

∴【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线【解析】【分析】（1）以点C为圆心，CD为半径画弧，交BC于点F，则CF=CD；再作∠BCD的平分线，即分别以D点和F点为圆心、大于12CD长为半径画弧，交DF一侧于一点，最后连接C点和该点并延长，交AD于点E，此时直线（2）由平行四边形的性质和翻折性质可得CF=AB，从而得BC=AB+2，再根据平行四边形的性质列出周长公式2AB+BC=24，变形得到AB+2+AB=12，求解（1）略（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，由翻折得CF=CD，∴CF=AB，∵BF=2，∴BC=BF+CF=AB+2，∵平行四边形ABCD的周长为24，∴2AB+BC∴AB+BC=12，∴AB+2+AB=12，∴AB=5．19．【答案】（1）解：P=x+3对比P=A+1x+2，可得Q=3x+5对比Q=B−1x+2，可得∴A+B=1+3=4．​​​​（2）解：将P=1+1x+2、5P+3Q=51+当x=1时，5P+3Q=14+2【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入【解析】【分析】（1）利用分离常数法拆分分式，分别将P和Q变为1+1x+2和3−1x+2，此时和已知条件中进行对比即可得出（2）先将P和Q代入5P+3Q并化简得到14+2x+2，然后将（1）解：P=x+3=x+2=1+1对比P=A+1x+2，可得Q=3x+5=3=3−1对比Q=B−1x+2，可得因此：A+B=1+3=4．（2）解：将P=1+1x+2、5P+3Q=51+=5+5=14+2当x=1时：5P+3Q=14+220．【答案】（1）解：作AE⊥CD于点E，如图，

则四边形ABDE是矩形，

∴DE=AB，AE=BD=25m，

在Rt△ACE中，CE=CD−DE=20−DE，∠CAE=α=37.2°，

∴CEAE=tan∠CAE，即CE=AE⋅tan37.2°≈25×0.76=19m，

∴20−DE=19m，

（2）解：设沿水平方向BD向后平移xm，即DM=xm，如图，

则BM=BD+DM=25+xm，MN=20m，

在Rt△BMN中，MNBM=tan37.2°，

∴BM=MNtan37.2°≈200.76【知识点】矩形的性质；平移的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长【解析】【分析】（1）结合矩形的性质得出DE=AB，AE=BD=25m，再Rt△ACE中，利用正切定义列式求出CE=AE⋅tan37.2°≈19m，线段作差求出DE=1m，从而得出AB；

（2）结合条件得出BM=BD+DM=25+xm（1）解：作AE⊥CD于点E，如图，则四边形ABDE是矩形，∴DE=AB，AE=BD=25m，在Rt△ACE中，CE=CD−DE=20−DE，∠CAE=α=37.2°，∴CEAE=tan∴20−DE=19m∴DE=20−19=1m∴AB=1m；（2）解：设沿水平方向BD向后平移xm，即DM=xm，如图，则BM=BD+DM=25+xm，在Rt△BMN中，MNBM∴BM=MN∴25+x=26.32，解得：x=1.32，答：该楼至少移动1.32米．21．【答案】解：画树状图如下：从树状图可得，共有12种等可能的结果，其中和大于11的有8种情况，小于11的有4种情况，∴小明获胜的概率P和大于小亮获胜的概率P和不大于∵23≠13（2）解：方案：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和是奇数则小明胜，若和是偶数则小亮胜．【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性【解析】【分析】（1）画树状图表示出所有等可能的结果数，对比发现和大于11的有8种情况，小于11的有4种情况，结合概率公式分别计算出小明和小亮获胜的概率，最后进行比较即可判断游戏的公平性；（2）要让游戏公平，需要让双方获胜的概率相等，可以考虑奇偶情况，据此设计方案即可．22．【答案】（1）4,3（2）解：△OBE是等腰三角形，理由：∵四边形ABCO是矩形，∴AC=OB，由D是OB,AC的交点，∴DO=DA，∴∠DOA=∠DAO，∵BE∥AC∴∠DAO=∠BEO，∴∠BOE=∠BEO，∴BO=BE，∴△OBE是等腰三角形；（3）解：∵D4,3；OD=42+32=5，

∴OB=2OD=10=BE，

∵∠BOE=∠BEO，且∠BFE=∠BOE+∠OBF，

∴∠BFE>∠BOE，

∴∠BFE>∠BEO，

若△BFE为“反直角三角形”，

①当∠BFE−∠BEF=90°时，

∵∠BOE=∠BEF，

∴∠AFE−∠BOE=∠OBF=90°，

∵∠BOE=∠BOE，∠BAO=∠FBO=90°，

∴△BAO∽△FBO，

∴BOFO=OAOB，

∴10FO=810，

∴FO=252；

∴F252,0，

设直线BF的解析式为y=kx+b，

把B8,6，F252,0代入解析式得8k+b=6252k+b=0，

解得：k=−43b=503，

所以，直线BF的解析式为y=−43x+503；

②当∠EBF=∠E+90°时，如图，在EO上截取EP=BP，过点P作PQ⊥BE于Q，

则∠PBE=∠BEP，∠FBP=∠BAP=90°，

又∵∠BPA=∠FPB，

∴△BPA∽△FPB，

∴BPFP=PABP，

∵EP=BP，PQ⊥BE，

∴BQ=12BE=5，

∵∠BAE=∠PQE=90°，∠E=∠E，

∴△EQP∽△EAB，

∴EPBE=EQEA，即EP10=58，

∴EP=254=BP，

∴AP=AE−EP=74，

同理可得：△PAB∽△FBP，

∴FPBP=BPAP，即FP254=25474，

∴FP=62528，

又∵OP=OE−EP=394，62528>394，

∴FP＞OP，即点P在EO的延长线上，不符合题意；

③当∠BFE−∠EBF=90°时，过点F作FM⊥BE交BE于点M，

∴∠BFE−∠BFM=∠EFM=90°，

∴∠EBF=∠BFM，

∴BM=FM，

∵FM⊥OE，BA⊥OE，

∴FM∥BD，

∴△EMF∽△EBA，

∴EFEA=FMAB=【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；等腰三角形的判定与性质；分类讨论【解析】【解答】（1）解：矩形OABC中，对角线OB的中点为点D，点B的纵坐标为6，∴D的纵坐标为62∵D在反比例函数y=12当y=3时，3=12解得：x=4，∴D4,3故答案为：（1）4,3；

【分析】（1）根据中点坐标公式求出点D的纵坐标为3，用待定系数法将y=3代入反比例解析式y=12x，即可求出横坐标，此时可得点D的坐标；

（2）结合矩形的性质得出AC=OB、DO=DA，此时结合“等边对等角”得出∠DOA=∠DAO，“两直线平行、同位角相等”得出∠DAO=∠BEO，综合得出∠BOE=∠BEO，利用“等角对等边”得出BO=BE，从而得△OBE是等腰三角形；

（3）结合勾股定理计算出OD=5，然后得出OB=BE，结合三角形外角和列式∠BFE=∠BOE+∠OBF，得出∠BFE>∠BOE、∠BFE>∠BEO；此时根据“反直角三角形”分∠BFE−∠BEF=90°，∠EBF=∠BFE+90°，∠EBF=∠E+90°和（1）解：矩形OABC中，对角线OB的中点为点D，点B的纵坐标为6，所以D的纵坐标为62因为D在反比例函数y=12当y=3时，3=12解得：x=4，所以D4,3（2）略（3）解：∵D4,3OD=4∴OB=2OD=10=BE，∵∠BOE=∠BEO，且∠BFE=∠BOE+∠OBF，∴∠BFE>∠BOE，∴∠BFE>∠BEO，若△BFE为“反直角三角形”，①当∠BFE−∠BEF=90°时，∵∠BOE=∠BEF，∴∠AFE−∠BOE=∠OBF=90°，∵∠BOE=∠BOE，∠BAO=∠FBO=90°，∴△BAO∽△FBO，∴BOFO∴10FO∴FO=25∴F25设直线BF的解析式为y=kx+b，把B8,6，F252解得：k=−4所以，直线BF的解析式为y=−4②当∠EBF=∠E+90°时，如图，在EO上截取EP=BP，过点P作PQ⊥BE于Q，则∠PBE=∠BEP，∠FBP=∠BAP=90°，又∵∠BPA=∠FPB，∴△BPA∽△FPB，∴BPFP∵EP=BP，PQ⊥BE，∴BQ=1∵∠BAE=∠PQE=90°，∠E=∠E，∴△EQP∽△EAB，∴EPBE=EQ∴EP=25∴AP=AE−EP=7同理可得：△PAB∽△FBP，∴FPBP=BP∴FP=625又∵OP=OE−EP=394，∴FP＞OP，即点P在③当∠BFE−∠EBF=90°时，过点F作FM⊥BE交BE于点M，∴∠BFE−∠BFM=∠EFM=90°，∴∠EBF=∠BFM，∴BM=FM，∵FM⊥OE，BA⊥OE，∴FM∥BD，∴△EMF∽△EBA，∴EFEA设EF=x，则OF=16−x，∴x8∴FM=34x∴BE=BM+EM=FM+EM=3∴x=5，∴OF=16−5=11；∴F11,0设直线BF的解析式为y=mx+n，把F11,0，B8,6代入解析式得解得m=−2n=22∴直线BF的解析式为y=−2x+22；④当∠EBF=∠BFE+90°时，∵当点P与点B重合时，∠BFE最小，此时∠BFE=∠O>30°，同理可证，此种情况不存在；综上可知，BF的解析式为y=−2x+22或y=−423．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，且∠EBG=90°，∴∠ABE=∠CBG=90°−∠EBC．∵ABEB=∴△ABE∽△CBG，∴∠BAE=∠BCG.∵∠BAE+∠BCE=90°，∴∠BCG+∠BCE=90°，即AC⊥CG．（2）解：如图，过E点，作EF⊥BC于点F，延长FE交AD于点G，

在正方形ABCD中，∠ABF=∠BAG=90°，∵EF⊥BC，∴∠BFG=90°